Учебное пособие 2032

n

n

2

L

L

1

f c

i

x

.

n

i

i

i

1

i

1

Длина дуги AB по определению равна

n

n

2

.

L

lim

L

lim

1

f

c

x

i

n

i

n

i

Li 0 i 1

0 i

1

max

max

Li

Поскольку

по

условию

f

x

непрерывна,

то

n

интегральная

сумма

1

f

ci

2

xi

составлена

для

i 1

непрерывной функции, а значит, имеет предел при

xi

0

( xi

0 при

Li

0 )

b

2 dx .

L

1

f

x

a

Пусть уравнение кривой АВ задано в параметрической

форме

x

x t ,

t

,

y

y t ,

где

x x y

и y

y t

являются непрерывными функциями

вместе со своими производными,

x

a ,

x

b ,

то длина

b

y

t

x 2 dx . Тогда dx

1

f

x

t dt, f x

, а

a

x

t

b

y t

2

f x 2 dx

x t 2 y t 2 dt.

L

1

1

x t dt

x

t

a

Пример 9.5. Вычислить длину линии, заданной

параметрически:

x

cos3 t, 0

t

.

y

sin3 t,

2

y (t)

3sin2 t

cost . Тогда

2

2

L

9cos4 t sin2 t 9sin4 t cos2 tdt

9cos2 t sin2 t cos2 t

sin2 t

0

0

2 cost sintdt

3

2 sin 2tdt

3

3

3

3

cos2t

2

cos

cos0

.

0

2 0

4

0

4

2

Пусть кривая задана в полярных координатах

непрерывной функцией

,

.

В

уравнениях

связи

декартовых и полярных

координат

x

cos

и

y

sin формально можно принять параметром

полярный

угол

, тогда кривую оказывается возможным задать

параметрически

x

cos

,

y

sin .

Вычисляя

производные x

cos

sin

,

y

sin

cos

, имеем

x

t

2

y t 2

cos

sin

2

sin

cos

2

L

2

2 d .

Пример 9.6. Вычислить длину кардиоиды

1 sin .

перпендикулярной оси

Ox , есть круг радиуса R y f (x) .

Поэтому площадь поперечного сечения равна

S(x) y 2

f (x) 2 и dV

f (x) 2 dx .

Объем тела вращения равен

a

y

y f x

O

a

x

b

x

вращением

вокруг оси

Ox

фигуры,

ограниченной линиями

y x3 , x

1, y 0 .

Решение:

Объѐм тела вращения равен

1

1

V

x6 dx

x7

.

7

0

7

0

Пусть кривая

AB

является

графиком функции

y

f (x)

0 , заданной на отрезке a, b

и непрерывной вместе

с

ее производной

y x .

Найдѐм

площадь

поверхности

вращения,

образованной вращением кривой AB

вокруг оси

внутреннюю точку x

a,b

проведем перпендикулярную оси

Ox плоскость .

Плоскость

пересекает

поверхность по

окружности

радиуса

y f

x

. Величина

S

части поверхности вращения,

расположенная

левее

плоскости

, является функцией x .

Пусть

через

точку

x dx

проведена другая

плоскость,

равна dl , а радиусы оснований равны y и y

dy :

dS

y y

dy

dl 2 ydl

dydl .

y

y

f

x

O a

x

b

b

Поскольку dl

1 y x 2 dx , то S 2 y 1 y x 2 dx. .

a

вращения полуокружности y

a2 x2

вокруг оси Ox .

a

2

a

a

2x

S 2

a2

x2

1

dx 2 a dx 2 a x

4 a2 .

a

2 a

2

x

2

a

a

Если поверхность вращения вокруг оси Ox образована

кривой,

заданной параметрическими

уравнениями

x x t ,

y y t

, t1

t

t2 , то площадь поверхности вращения равна

t2

S 2

y t

x t 2

y t 2 dt.

t1

2

2

1

cost

1

cost

2

sin t

2

dt

0

2

2 t

2

t

2

2

2

dt =

2

2 sin

1

2 cost

cos

t

sin

t dt

4

sin

2

2 cost

2

2

0

0

2

2

2

2

t

2

t

2

t

t

3

t

4

2

sin

2 sin

dt

8

sin

sin

dt

8

sin

dt

2

2

2

2

2

0