Учебное пособие 2032

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

e x sin x cos x

Перенося J в левую часть уравнения, имеем

Окончательно: e x sin xdx

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

4.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

7.4 Замена переменной в неопределенном интеграле

Одним из основных методов интегрирование является

метод замены переменной.
Теорема. Пусть функция t				x	непрерывна		и
дифференцируема,	а	функция	g t	непрерывна		и имеет
первообразную G t	,	т.е. G t	g t	или	g t dt	G t	C ,

тогда

g	x	x dx	G	x C .
Пример 7.2. Найти	esin x cos xdx.
Решение: Пусть t	sin x , тогда dt			cos xdx. Тогда
esin x cos xdx et dt et	C	esin x	C .

Как отмечалось выше, вид неопределѐнного интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования, что используется при интегрировании способом введения новой функции под знак дифференциала. В данном варианте метода новая переменная интегрирования не обозначается новым символом, а берется в скобки для наглядности.

Пример 7.3. Найти

ln x

dx .

Решение:

ln x

ln x d ln x

ln x 2

C .

Пример 7.4. Найти

sin x cos xdx.

Решение:

sin x

3 / 2

sin x cos xdx

sin x 2 d sin x

C .

Часто замена переменной выполняется в виде x

t .

Тогда dx

t dt и

111

f x dx

t dt .

Доказательство формулы производиться по аналогии с предыдущим посредством взятия производной от обеих частей:

f x dx		f x dx	x t	f x	t	f t	t
t		x
и
f t	t dt	f t	t .
Поскольку	производные		двух	функций		тождественно

равны, то сами функции отличаются на постоянное слагаемое

C .

Пример 7.5. Вычислить интеграл

x 2

dx.

3)2

Решение: Положим x 3

t ,

тогда

Отсюда

dt .

t 3

6 ln

3 2

t 2

Возвращаясь к переменной x , окончательно получаем

dx x 1 6 ln

x 1

x 3 2

x 1

Пример 7.6. Вычислить интеграл

e x

Решение:

Обозначим

e x

t ,

Тогда

lnt,

Следовательно,

d t

e x

t 2

t t

t 2

2t 1 1

t 1 2

112

t 1

e x

C .

e x

t 1 1

7.5. Правило интегрирования по частям

Пусть функции u

u x и v v x имеют непрерывные

производные. Тогда d uv

vdu

udv .

Интегрируя обе части равенства по x , имеем:

d uv

vdu

udv ,

vdu

udv или

udv uv

vdu .

Эта формула называется формулой интегрирования по

частям. Формула сводит вычисление

интеграла

udv к

вычислению интегралов

vdu и

dv , которое может оказаться

проще исходного.

Интегрирование

по

частям

требует представление

подынтегрального выражения в виде произведения множителей u и dv . Существуют три типа интегралов, в которых по разным соображениям происходит выбор множителей u и dv в подынтегральных выражениях.

В интегралах		первого		типа	P x ekx dx ,		P x sin kxdx ,
P x coskxdx, где		P x	многочлен, k			число,	в качестве		u
выбирается многочлен			P x ,	а в качестве dv			все остальные
сомножители.
Пример 7.7.		Вычислить			неопределенный			интеграл
xex dx , используя метод интегрирования по частям.
Решение:
xex dx	u	x	du	dx	xex	e x dx	xex	e x	C.
				e x
dv e x dx			v

113

Пример 7.8. Вычислить неопределенный интеграл

x cos xdx.

Решение:

x cos xdx	u	x	du	dx	x sin x sin xdx x sin x	cos x C.
x cos xdx					x sin x sin xdx x sin x	cos x C.
dv		cos xdx	v	sin x
В некоторых интегралах приходится несколько раз
интегрировать по частям.
Пример		7.9.	Вычислить неопределенный			интеграл

x2e x dx .

Решение:

x 2 e x dx

x 2 ,

2xdx

x 2 e x

2xex dx.

e x dx,

e x

Применим ко второму интегралу еще раз формулу

интегрирования по частям

x2e x

2xex dx

2x,

2dx

x2e x

2xex

e x dx,

e x

2 e x dx x2e x

2xex

2e x

интегралах

второго

типа

P x arcsin xdx,

P x arccos xdx , P x ln xdx ,

P x arctgxdx,

P x arcctgxdx

удобно

положить

P x ,

качестве

выбрать

оставшиеся сомножители.

Пример 7.10. Вычислить неопределенный интеграл x4 ln xdx.

Решение:

114

ln x, du

x 4 ln xdx

ln x

x 4 dx, v

ln x

C .

В интегралах третьего вида

eax sinbxdx,

eax cosbxdx в

качестве

выбирается

eax .

После

двукратного

интегрирования по частям решается уравнение относительно

исходного интеграла.
Пример 7.11.			Вычислить		неопределенный		интеграл
e x sin xdx .
Решение:
e x sin xdx	u e x ,		du	e x dx		e x cos x
	dv	sin xdx, v		cos x

e x cos xdx	u	e x ,		du	e x dx	e x cos x	e x sin x
	dv		cos xdx, v		sin x

e x sin xdx.

Получили нетривиальный результат-уравнение относительно исходного интеграла. Обозначив его за J , получим уравнение

115

7.6. Интегрирование рациональных функций. Понятие о рациональных функциях.

Многочленом степени n (или					целой рациональной
функцией) называется функция вида
P x a	a x	a	2	x2	... a	n	xn	,
n	0 1		2			n

где n натуральное число, называемое степенью многочлена, ai постоянные коэффициенты, i 0,1,..., n.

Корнем многочлена Pn x называется такое значение x0 (действительное или комплексное) переменной x , при котором

многочлен обращается в нуль,								т.е. Pn x0		0 . Следовательно,
корни		многочлена			Pn	x	представляют собой решения
алгебраического уравнения n								ой степени:
							Pn x		0.
	Теорема			Безу:	Если		x1	является		корнем многочлена
Pn x , то многочлен делится без остатка на двучлен x											x1 ,
т.е.
					Pn x			x x1 Pn 1 x ,
где	Pn 1	x	многочлен			степени			n 1 .	Теорема приводится
без доказательства.
	Всякий ли многочлен имеет корень? Ответ дает основная
теорема алгебры.
	Основная теорема алгебры: Всякий многочлен степени
n	имеет,		по	крайней		мере,			один	действительный	или
комплексный корень.

116

Важнейшим следствием основной теоремы алгебры является терема о разложении многочлена на линейные множители.

Терема о разложении многочлена на линейные множители: Всякий многочлен Pn x можно представить в виде

x an

x1 x x2

... x

где x1 ,

x2 ,…, xn корни многочлена,

коэффициент при

xn .

Если

разложении

многочлена

на

линейные

множители

какой-нибудь корень встречается k

раз, то

корень

называется

корнем

кратности

k .

Если

корень

встретился один раз, что происходит при

1 ,

то

корень

называется простым.

С учетом кратности корней разложение многочлена

можно записать в виде

x a

k2 ... x

kr ,

где r

число различных корней, корень x1

имеет кратность k1 ,

корень

кратность

т.

д.

Существенно,

что

k1 k2

...

n .

Используя

теорему

разложении

многочлена

на

линейные множители можно доказать несколько теорем. Теорема 1. Если два многочлена тождественно равны

друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого многочлена.

Теорема 2. Если многочлен Pn x с действительными

коэффициентами имеет комплексный корень a ib , то он имеет и сопряженный корень a ib .

Последняя теорема говорит о том, что если коэффициенты многочлена действительны, то комплексные корни входят сопряженными парами. Перемножив линейные множители

117

x a ib x a ib

x a 2 b2 x2 2ax a 2 b2 ,

получим квадратный трехчлен с действительными коэффициентами и отрицательным дискиминантом, который можно записать в виде

x2 px q ,

где p 2a, q a2 b2 . Следовательно, объединяя скобки,

соответствующие комплексно-сопряженными корнями многочлен степени n с действительными коэффициентами можно разложить только на линейные и квадратичные действительные множители:

P x

x k1

... x 2

p x

q S1

... ,

где все трѐхчлены не имеют действительных корней. При этом

	k1	k2 ...	2 s1	s2	... n .
Пример 7.12. Разложить на множители многочлен
	x5	4x4	4x3	x2	4x 4 .
Решение:
x5 4x4 4x3 x2	4x 4 x3 x2			4x 4 x2 4x 4
x2 4x 4 x3	1	x 2 2 x 1 x2			x 1 .

7.7. Дробно-рациональные функции. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Дробно - рациональная функция или рациональная дробь

R x

a x

...

R x

b1 x

b2 x2

...

bm xm

называется правильной,

если степень числителя n меньше

степени знаменателя m .

Если n

m , то рациональная дробь

называется неправильной.

118

Всякую неправильную дробно-рациональную функцию путѐм деления числителя на знаменатель всегда можно представить, в виде суммы многочлена N x и правильной рациональной дроби:

R x N x	Pk	x	k m .
	Qm x

Пример 7.13 Представить неправильную рациональную

дробь в виде суммы целой части от деления x 2 1

(многочлена) и правильной рациональной дроби Решение: Разделив числитель на знаменатель, выделим

целую часть:

	x3		x2	1
	x3	x	x
		x
		x3	x		x
В результате получим						.
В результате получим		x 2 1		x 2 1		.

Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.

Среди правильных рациональных дробей можно выделить четыре типа дробей, называемых простейшими:

Ax B

, 2.

, 3.

, 4.

x a

x a k

px q

px q k

где A, B, p, q

действительные числа, а трѐхчлен

x2 px q

имеет отрицательный дискриминант, т.е.

0 .

Простейшие дроби интегрируются несложным образом:

119

d x a

C ,

dx A

Aln

x a

x a k 1

dx A x a k d x a A

a k

1 x

a k

x 2

p 2

B d x

p 2

Произведем

замену

переменной

dx, и

p 2

обозначим положительную постоянную величину

2 .

В результате получим

A t

tdt

px q

t 2

d t 2

arctg

ln t 2

t 2

arctg

ln x

arctg

4. Простейшие дроби четвертого типа сводятся с

помощью замены переменной t

, dt

dx к сумме двух

интегралов

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20224.16 Mб8Учебное пособие 2028.pdf
#
30.04.20224.19 Mб5Учебное пособие 2029.pdf
#
30.04.2022326.65 Кб2Учебное пособие 203.pdf
#
30.04.20224.19 Mб13Учебное пособие 2030.pdf
#
30.04.20224.22 Mб12Учебное пособие 2031.pdf
#
30.04.20224.24 Mб5Учебное пособие 2032.pdf
#
30.04.20224.25 Mб3Учебное пособие 2033.pdf
#
30.04.20224.26 Mб2Учебное пособие 2034.pdf
#
30.04.20224.27 Mб14Учебное пособие 2035.pdf
#
30.04.20224.3 Mб13Учебное пособие 2036.pdf
#
30.04.20224.31 Mб2Учебное пособие 2037.pdf