Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 2032

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

4.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Ax	B

x2 px	q k

tdt

p 2

, где

2 k

Первый интеграл легко вычисляется:

tdt

d t 2

C .

2 k

2 1

2 k 1

При вычислении второго интеграла, который обозначим как I k , используются рекуррентные соотношения:

1 t 2

t 2

2 dt

t 2

2 k

t 2

2 k

t 2

2 k 1

t 2

2 k

Последний интеграл найдем с помощью интегрирования

по частям:

t 2 dt

tdt

, v

2 k

2 1 k

k 1

Ik 1.

2 1 k

2 k 1

2 1 k

2 k 1

2 1

2 k 1

2 1 k

В результате получим рекуррентное соотношение:

I k

I k 1

2k 2

2 k

1 t

2 k 1

Пример 7.14. Найти интеграл I3

t 2

9 3

Решение: Поскольку I1

arctg

C , а

t 2

I 2

2 2

arctg

2 2

1 t 2

18 3

121

1				t			C, то

18		t 2			9
18		t 2			9
1		3					t	1	1		t	1	t	1		t
I3				I2						arctg							C .
I3	9		4	I2		4 t 2 9 2		12	54	arctg	3	18 t 2	9		36 t 2	9 2	C .

7.8. Разложение правильной дробно–рациональной функции на сумму простейших дробей.

Теорема: Всякую правильную рациональную дробь

P x , знаменатель которой разложен на множители

Q x

Q x	x x k	x	x	l ... x2	p x	q S	x2	p	2	x	q	p	...,
	1			2	1	1			2			2

можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:

P x

...

Q x

x x1

x x

...

x x2

M1 x N1

M 2 x N2

...

M S

N S

p1 x q1

p x q

P x

...

... ,

p2 x q2

x q

x2 p

x q

где

A1, A2 ,..., Qp

некоторые

действительные

числа,

находящиеся по методу неопределѐнных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов сводится к

тому, что предыдущее равенство приводится к общему знаменателю, после чего тождественно приравниваются

122

числители правой и левой части. Условие тождественности означает равенство коэффициентов при одинаковых степенях x слева и справа, из чего и получается система уравнений относительно искомых чисел A1 , A2 , B1… и т.д.

Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, ровно кратности соответствующего корня.

Пример 7.15. Вычислить интеграл	x	1	dx..

	x(x	2)2

Решение: Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей.

x x 2 2

x x 2

x 2 2

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю

и приравняем числители.

A x 2 2

Bx x 2 Cx

x 2 2

x 2 2 x

A B x2

2A 2B C x 4A

2 2 x

A B x2

2A 2B C x 4A x 1.

Приравнивая одинаковые коэффициенты, получим

систему уравнений:

x 2

A B

2 A 2B C 1

, B

, C 1 2 A 2B 1 .

4 A 1

Подставим найденные коэффициенты в разложение

рациональной функции:

x-2 2 x

4x 4 x 2

x 2 2

123

Искомый интеграл представляется в виде суммы интегралов от простейших дробей:

x(x 2)2

4x 4 x 2

x 2 2

C .

x 2

Пример 7.16. Вычислить интеграл

dx .

1)(x2

Решение: Разложим правильную рациональную дробь на

простейшие

Bx C

A x2

x 1 Bx x 1 C x 1

x 1 x2

x 1 x 1 x2

x 1

x 1 x2

x 1

Приравняем числители:

A x2

x 1 B x2 x C x 1 1.

x 2

A B C 0

B A, C 1 A, A A 1 A 0, .

1, B

1, C

Подставим найденные коэффициенты в разложение

рациональной функции:

x 1 x2

x 1

Окончательно получим:

124

						1							dx					dx								x				dx			ln		x	1								xdx
						1												dx								x																		xdx

							2										x 1								2																				1	3
	(x				1)(x		2			x		1)												x	2	x	1													x 2				x

																																													4	4
																																													4	4
													x	1						1		dx														x		1				d x			1
														2				2
		ln			x	1																				ln		x		1								2							2



													x	1				2			3																x					1	2		3
														1				2			3																					1	2		3

														2							4																					2			4
														2							4																					2			4
									1															d		x	1			2		3														1
					d		x		1																																			2 x		1
		1																			1						2					4				2
									2																																					2

													ln		x			1																					arctg
2									2												2									2
					x		1					3														x	1					3				2		3							3
							1					3															1					3				2		3							3

							2					4															2					4
							2					4															2					4
										1	ln x2												1			arctg					2x			1
		ln		x		1				1						x		1					1								2x			1		C.
									2

																									3							3
			7. 9. Интегрирование тригонометрических выражений
					Рассмотрим случаи интегрирования тригонометрических
функций. Рациональную функцию переменных																																									sin x				и cos x
обозначим													R sin x, cos x .															Пусть								надо								вычислить
неопределенный интеграл от функции R sin x, cos x :
																							R cos x, sin x dx .
					Вычисление																	неопределенных																						интегралов
	R cos x, sin x dx														с			помощью											универсальной														подстановки
tg			x		t			сводится								к			вычислению													интегралов											от		дробно–
tg					t			сводится								к			вычислению													интегралов											от		дробно–

рациональной функции относительно t. Действительно,

125

				2sin									x	cos	x						2tg		x
																												2t
sin x												2			2								2					2t		,
sin x			sin			2				x				cos	2			x	1		tg		2	x			1		t 2	,
			sin						2					cos			2		1		tg			2
									2								2							2
				cos				2			x			sin		2		x	1		tg		2		x				t 2
cos x				cos					2					sin			2		1		tg			2			1		t 2		,

				sin			2			x				cos		2		x	1		tg		2		x		1		t 2
				sin					2					cos			2		1		tg			2
									2								2							2
x 2arctgt; dx	2dt				.
x 2arctgt; dx					.
1		t 2
Поэтому
R cos x,sin x dx 2																		R	1		t 2	,			2t				dt			.
R cos x,sin x dx 2																		R	1		t 2	,	1			t 2	1		t 2			.
																			1		t 2		1			t 2	1		t 2
Необходимо отметить, что, поскольку интеграл от
рациональной функции R sin x, cos x																				сводится к интегралу от

рациональной функции относительно t , то рациональное тригонометрическое выражение всегда интегрируемо в конечном виде. Часто метод является достаточно громоздким.

Пример 7.17. Вычислить интеграл

3 sin x cos x

Решение:

sin x

cos x

2dt

1 t 2

2dt

t 2

1 t 2

3t 2

3 2t

1 t 2

t 2

t 2 1

d t

2dt

2t 2 2t

t 2

1 7

1 2

126

sin x 1

						2tg	x	1
2		2t 1		2
2		2t 1		2			2
	arctg		C		arctg				C .

7		7		7			7
7		7		7			7

Поскольку метод универсальной замены чаще оказывается громоздким, рассматривается несколько частных случаев, допускающих альтернативные варианты замены переменной, возникающие при наличии особых свойств подынтегральной функции, связанных со свойствами четности

и нечетности.

Если функция

R sin x, cos x

нечѐтна относительно sin x :

R cos x, sin x

R cos x,sin x ,

тогда

помощью

замены

cos x

подынтегральная

функция

преобразуется

рациональную функцию относительно переменной t .

Пример 7.18. Вычислить интеграл

sin x cos2 x

dx .

sin2

Решение:

sin x cos

x dx

cos x

sin2 x

sin xdx dt

t 2

dt t 2

t 2

2 2

cos x

Если функция

R sin x, cos x

нечѐтна относительно cos x :

R cos x,sin x

R cos x,sin x ,

тогда

помощью

замены

sin x

подынтегральная

функция

преобразуется

рациональную функцию относительно переменной t .

Пример 7.19. Вычислить интеграл sin2 x cos xdx .

127

Решение:

sin2 x cos x

sin x

t 2 dt

t 2

1 1

cos xdx

sin x

t 2

sin2 x

sin x

sin x 1

Если подынтегральная функция не изменяется при

одновременном

изменении

знака

sin x

cos x ,

т.е.

cos x,

sin x

R cos x,sin x ,

тогда

с помощью

замены

tgx

подынтегральная

функция

преобразуется

рациональную функцию относительно переменной t .

В этом

случае

sin x

tgx

, cos x

1 tg 2 x

1 t 2

1 tg 2 x

1 t 2

arctgt,

t 2

Пример 7.20. Вычислить интеграл

dx .

sin2

x sin x cos x

Решение:

tgx

t 2

sin2 x

sin x cos x

t 2

t 2 t

1 1

1 2

2 1

tgx

128

		Пример 7.21. Вычислить интеграл																																	dx							.

																														sin2
																														sin2					x cos4 x
		Решение:
														x			arctgt															dt

							dx																								t 2				1
							dx												dt												t 2				1
			sin			2	x cos		4		x			dx					dt								t		2						1						2

																		t 2			1


																										t 2				1				t 2				1
																										t 2				1				t 2				1
				1			t	2 2	dt						1				2			t 2 dt					1				2t					t		3			C
							t 2		dt						t 2				2			t 2 dt						t			2t					3					C
							t 2								t 2													t								3
											1				2tgx					tg 3 x				C.
											tgx				2tgx						3			C.
											tgx										3
		Интегралы вида													sin2n x cos2m x dx ,																sin2n x sin2m x dx ,
cos2n x cos2m x dx															вычисляются															с							п					омощью
тригонометрических формул понижения степени
								cos2 x					1			cos2x						, sin2 x					1 cos2x												.
								cos2 x														, sin2 x																	.
																2														2
		Пример 7.22. Вычислить интеграл																												sin4 xdx.
		Решение:
sin4 xdx								1	cos2x 2							dx			1			1		2 cos2x									cos2 2x dx
sin4 xdx										2						dx				4		1		2 cos2x									cos2 2x dx
										2										4
	1	1		2 cos2x								1 cos4x						dx					1		3		2 cos2x													cos4x			dx
4		1		2 cos2x														dx			4			2			2 cos2x														2		dx
4													2								4			2																	2
	3	dx			1		cos2xdx								1		cos4xdx							3x					sin 2x									1			sin 4x C.
8		dx		2			cos2xdx						8				cos4xdx							8						4								32			sin 4x C.
8				2									8											8						4								32
		Интегралы вида													sin ax cosbx dx ,														sin ax sinbx dx ,

cosax cosbx dx вычисляются с помощью тригонометрических формул умножения:

129

sin	cos			1	sin	sin			,
sin	cos		2		sin	sin			,
			2
cos	cos		1		cos		cos		,
cos	cos		2		cos		cos		,
			2
sin	sin		1		cos	cos			.
sin	sin		2		cos	cos			.
			2
Пример 7.23. Вычислить интеграл sin10x cos3xdx.
Решение:
sin10x cos3xdx	1	sin 13x			sin 7x dx		1	cos13x		1	cos7x C.
sin10x cos3xdx	2	sin 13x			sin 7x dx	26		cos13x	14		cos7x C.
	2					26			14

7.10. Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование иррациональных выражений сопряжено с целым рядом сложностей и в некоторых простейших случаях возможно в элементарных функциях.


Вычисление		интегралов	вида		R x, m x, n x,... dx
производится	с	помощью замены	x	tW ,	где W является
наименьшим	общим кратным чисел			m, n,... . Данная замена

позволяет перейти к интегрированию дробно-рациональной функции:

		W W
dx WtW 1dt ,
dx WtW 1dt ,	R x, m x, n x,... dx = R tW , t m , t n ,... WtW 1dt .

Пример 7.24. Вычислить интеграл

Решение:

t dt

t 1 1

t 3

t 2

x 3 x

dx 6t 5 dt

t 1

6 t 2

t 3

t 2

t 1 dt

t ln

t 1

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20224.16 Mб8Учебное пособие 2028.pdf
#
30.04.20224.19 Mб5Учебное пособие 2029.pdf
#
30.04.2022326.65 Кб2Учебное пособие 203.pdf
#
30.04.20224.19 Mб13Учебное пособие 2030.pdf
#
30.04.20224.22 Mб12Учебное пособие 2031.pdf
#
30.04.20224.24 Mб5Учебное пособие 2032.pdf
#
30.04.20224.25 Mб3Учебное пособие 2033.pdf
#
30.04.20224.26 Mб2Учебное пособие 2034.pdf
#
30.04.20224.27 Mб14Учебное пособие 2035.pdf
#
30.04.20224.3 Mб13Учебное пособие 2036.pdf
#
30.04.20224.31 Mб2Учебное пособие 2037.pdf