Учебное пособие 1993

Часто вместо равномерной близости рассматривают их близость “в среднем”. В качестве меры близости берут среднее квадратическое отклонение

разумно по крайне мере по двум причинам:

1.Если узлов интерполяции много ( n велико), то с аппроксимацией трудно обращаться как при ручном счете, так

ипри машинном.

2.Часто табличные значения yi f (xi ) ( i 0,1,..., m )

находят из опыта и содержат ошибки измерений. Построение интерполирующего многочлена в этом случае означало бы сознательное повторение допущенных при измерениях ошибок. В этом случае достаточно потребовать, чтобы график функции (x) отклонялся от точек M i ( i 0,1,..., m ) по

ординате на величину, не превышающую погрешность измерений.

В связи с этим возникает задача приближения таблично заданной функции f (x) многочленом Pn (x) , который имеет не

слишком высокую степень n разумную точность аппроксимации.

Для решения этой задачи воспользуемся методом

50

коэффициенты A0 , A1 ,..., An так, чтобы минимизировать

После преобразования система принимает вид

51

точки зрения для не слишком высокой степени многочлена n , а именно n 5 . На практике стараются подобрать многочлен как можно меньшей степени ( n 1,2,3 ). Если же n 5 , то система (2.42) может иметь определитель, хотя и отличный от нуля, но малый. Тогда система становится плохо обусловленной, то есть решение связано с большей потери точности.

Пример. Пусть на основании эксперимента получены

Решение. Составим систему (2.42) для определения A0 , A1

52

53

54

3.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Выделяют четыре основных задачи линейной алгебры:

1.Решение систем линейных уравнений;

2.Вычисление определителя;

3.Нахождение обратной матрицы;

4.Определение собственных значений и собственных векторов матрицы.

3.1. Линейные системы уравнений

Решение систем линейных уравнений одна из наиболее часто встречающихся задач в научных исследованиях. При этом число уравнений обычно равно числу неизвестных. Такую систему коротко можно записать в матричной форме:

итерационные. Прямые методы дают решение за конечное число шагов, просты и наиболее универсальны. Для систем небольшого порядка (n 200) применяются практически

только прямые методы.

Итерационные методы выгодны для систем специального вида, со слабозаполненной матрицей очень большого порядка n 103 105 .

55

Метод Гаусса прямой метод. Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается с помощью последовательного исключения переменных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается x1, из всех последующих уравнений системы.

Затем с помощью второго уравнения исключается x2 из

третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса. Он продолжается до тех пор, пока в левой части последнего ( n - го) уравнения

последовательном вычислении искомых неизвестных: решая

56

Матрица системы (3.3) имеет треугольный вид. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса.

Замечание. В процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на коэффициенты ak k . Поэтому они должны быть отличны от нуля. В противном

случае нужно соответственным образом переставить уравнения системы. Перестановка уравнений должна быть предусмотрена в вычислительном алгоритме при его реализации на ЭВМ.

Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (3.3)

x3 b33 . a33

Используя это значение, можно найти x2 из второго уравнения, а затем x1 из первого:

57

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Здесь требование akk 0

заменяется более жестким: из всех оставшихся в k -м столбце элементов нужно выбрать наибольший по модулю элемент и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента ak k .

Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений. Это способствует снижению погрешностей вычислений. Поэтому метод Гаусса с выбором главного элемента обеспечивает приемлемую точность решения для сравнительно небольшого ( n 100 ) числа уравнений.

Только для плохо обусловленных систем решения, полученные по этому методу ненадежны.

Метод Гаусса целесообразно использовать для решения систем с плотно заполненной матрицей. Все элементы матрицы и правые части системы уравнений находятся в оперативной памяти машины.

Объем вычислений определяется порядком системы n :

число арифметических операций примерно равно 23 n3 .

Пример. Рассмотрим алгоритм решения линейной системы методом Гаусса и некоторые особенности этого метода на числовом примере.

58

Прежде чем исключать x2 из третьего уравнения, заметим, что коэффициент при x2 (ведущий элемент) мал.

Поэтому было бы лучше переставить второе и третье уравнения. Однако сейчас проводятся вычисления в рамках точной арифметики и погрешности округлений не опасны.

На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Обратный ход состоит в последовательном вычислении x1 , x2 , x3 снизу вверх:

Проверкой легко убедиться, что (0; 11;) и есть точное

решение системы.

Изменим теперь слегка коэффициенты системы таким образом, чтобы сохранить решение прежним и вместе с тем при вычислениях использовать округления. Такой будет система:

Исключение проведем в рамках арифметики с плавающей точкой, сохраняя пять разрядов числа. После первого шага получим:

59