Учебное пособие 1993

Решая эту систему, получим

c1 0.023 c2 0.954.

Приближенное решение имеет вид:

y2 0.954 0.977x2 0.023x4 .

Задачи для самостоятельного решения

1. Составьте алгоритм решения методом пристрелки (с точностью 0 удовлетворения правому краевому условию) краевой задачи:

2. Методом конечных разностей второго порядка составьте алгебраическую систему уравнений относительно значений решения краевой задачи

160

4. Используя метод прогонки, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального

161

9. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

9.1.Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

методом сеток

Пусть в плоскости XOY дана область D , ограниченная контуром C . Требуется найти непрерывную функцию u(x, y) , удовлетворяющую внутри области D уравнению Лапласа

где f (x, y) - непрерывная функция, заданная в точках контура

C .

этих прямых будем называть узлами сетки. Из отрезков этих прямых строится контур Ch максимально приближенный к

контуру C . В результате получим область Dh , состоящую из узловых точек (рис.18). Приближенные значения искомой

разностями второго порядка

162

приближенных значений функции u(x, y) в узлах сетки

( xi , yk ).

При получении сеточных уравнений (9.3) была использована схема узлов, изображенная на рис.19. Набор узлов, используемых для аппроксимации уравнения в точке, называется шаблоном.

Таким образом, численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа состоит в нахождении приближенных значений ui,k искомой функции u(x, y) во внутренних узлах

сетки. Для определения величин ui,k требуется решить

Рис. 19

систему линейных алгебраических уравнений (9.3). Такие системы обычно решаются одним из приближенных методов, например, методом итераций или методом Зейделя. Метод итераций состоит в построении последовательности вычислений вида

(верхним индексом обозначен номер итерации). Начальное приближение ui(0),k выбирается произвольно; можно во всех

164

последовательность ui(,sk) сходится к точному решению системы (9.3). В качестве условия окончания итерационного процесса

точность. Метод Зейделя отличается от метода итераций тем,

Погрешность приближенного решения, полученного методом сеток, складывается из двух погрешностей: погрешности аппроксимации дифференциального разностными и погрешности, возникающей в результате приближенного решения системы разностных уравнений (9.3). Рассмотренная разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Устойчивость схемы означает, что малые изменения в начальных данных приводят к малым изменениям решения разностной задачи. Только такие схемы применяют в реальных вычислениях. Сходимость схемы означает, что при стремлении шага к нулю (т.е. при h 0) решение разностной задачи стремится к решению исходной задачи. Таким образом, выбрав достаточно малый шаг h , можно как угодно точно решить исходную задачу.

9.2. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

Пусть в плоскости XOY дана прямоугольная область

165

непрерывную функцию u(x,t) , удовлетворяющую внутри области D дифференциальному уравнению

Для получения разностного уравнения аппроксимируем частные производные второго порядка в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне, показанным на рис. 16. Эти производные, выраженные через разностные отношения, будут иметь вид

166

на первом слое ( k 1 ) можно использовать прием, состоящий в том, что если положить

167

(9.10). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по этим формулам.

Описанная выше схема аппроксимирует задачу (9.6) –

грубой аппроксимации для производной по t в формуле (9.6). Схема устойчива, если выполнено условие Куранта h .

Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному условию. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при , h 0 решение

разностной задачи равномерно стремится к решению исходной смешанной задачи (9.6) – (9.8).

Недостаток схемы в том, что как только выбрана величина шага сетки h в направлении x , появляется ограничение на величину шага по переменной t . Если необходимо произвести вычисления для большого значения величины T , то может потребоваться большое количество шагов по переменной. Указанный недостаток характерен для всех явных разностных схем.

9.3. Решение смешанной задачи для уравнения

непрерывную функцию u(x,t) , удовлетворяющую внутри области D дифференциальному уравнению

168

распространении тепла в стержне длины a , на концах которого поддерживается заданный температурный режим.

Для построения разностной схемы решения задачи (9.11) - (9.13) построим в области D (x, t) 0 x a, 0 t T равномерную прямоугольную сетку с шагом h в направлении

m T , Tm .

Для получения разностного уравнения заменим частные производные второго порядка в каждом внутреннем узле сетки разностными отношениями

169