Учебное пособие 1993

(имеет непрерывную производную порядка 2n ), то формула Гаусса обеспечивает высокую точность при небольшом числе узлов, так как для формулы с n узлами справедлива оценка:

Концы а и b отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формулы Гаусса. Это позволяет использовать эту формулу для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки лежат на концах отрезка интегрирования. Например, можно вычислить интеграл

Симпсона здесь неприменима.

130

определенных интегралов, можно прийти к следующим рекомендациям.

Интегрирование функций, заданных таблично, методом Симпсона возможно только для функций с равноотстоящими узлами при четном n , а методом Гаусса можно пользоваться только при «правильно» расположенных абсциссах. Поэтому при интегрировании функции с неравноотстоящими узлами можно использовать лишь метод прямоугольников или трапеций. Для интегрирования функций, заданных аналитически, выгоднее применять метод Симпсона или Гаусса. Формула Симпсона при n узлах дает примерно ту же точность, что и формула трапеций при 2n узлах. Метод Гаусса при n узлах дает приблизительно ту же точность, что и метод Симпсона при 2n узлах. Метод Гаусса позволяет достичь большой степени точности, нежели формула Симпсона при том же количестве ординат, но зато точки, где следует вычислить эти ординаты, полностью определены и иррациональны, что является довольно большим неудобством. В силу этого на практике чаще используется метод Симпсона.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить интеграл по формуле прямоугольников и оценить погрешность.

131

2. Вычислить интеграл по формуле трапеций и оценить погрешность.

1.2 0.5 x2

3.Вычислить интеграл по формуле Симпсона и оценить погрешность.

0

заранее, чтобы определить с каким числом знаков надо вести вычисления.

n 8 . Оценить погрешность по методу удвоения шага; сравнить с точным значением интеграла. Вычисления вести с пятью знаками после запятой.

132

7. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решением дифференциального уравнения (7.1) называется функция (x) , подстановка которой в уравнение обращает его

в тождество. График решения y (x) называется интегральной кривой. Задача Коши для дифференциального

Пару чисел ( x0 , y0 ) называют начальными данными.

Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (7.1) при условии (7.2).

Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящих через точку ( x0 , y0 ) .

Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция f (x, y) - правая часть дифференциального уравнения (7.1) – непрерывна вместе со

(x0 , y0 ) на плоскости проходит единственная интегральная кривая.

133

дифференциального уравнения интегрированием элементарных функций, а это удается не всегда. В приближенных методах

применим для сравнительно простых задач. Иногда используется прием упрощения дифференциального уравнения, заключающийся в обоснованном отбрасывании некоторых членов уравнения.

Численное решение задачи Коши (7.1) - (7.2) состоит в том, чтобы получить искомое решение y (x) в виде таблицы его приближенных значений для заданных значений

Для любого численного метода решения задачи (7.1) - (7.2) начальное условие (7.2) выполняется точно, т.е. y0 (x0 ) .

Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка a, b оценивается величиной

134

т.е. расстоянием между векторами приближенного решения

( y0 , y1,..., yn ) и точного ( (x0 ), (x1),...., (xn )) .

Численные методы применимы к очень широкому классу дифференциальных уравнений. Это обстоятельство, а также появление ПЭВМ послужило основой для выбора этих методов в качестве основного инструмента решения дифференциальных уравнений.

Рассмотрим некоторые методы решения задачи Коши.

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (7.1) в пределах от x0 до x

x x

y (t)dt f (t, y(t))dt . x0 x0

Отсюда с учетом того, что одной из первообразных для y (x) служит y(x) , получаем

135

интегральное уравнение. Применим к этому уравнению метод простых итераций, рассматривающийся применительно к системам линейных и нелинейных уравнений, а также к

x0

Таким образом, этот приближенно-аналитический метод, называемый методом последовательных приближений или методом Пикара, определяется формулой

136

Отметим два обстоятельства, которые не позволяют часто использовать метод последовательных приближений в практических вычислениях. Во-первых, первообразную не всегда удается найти. Поэтому в чистом виде метод (7.5) редко реализуем. Во-вторых, это метод следует считать локальным, пригодным для приближенного решения в малой окрестности начальной точки. Большее значение метод Пикара имеет для доказательства существования и единственности решения задачи Коши, нежели для его практического нахождения.

7.3. Метод Эйлера

Простейшим численным методом решения задачи Коши (7.1)-(7.2) является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера. В практических вычислениях он применяется редко из-за невысокой точности, однако он лежит в основе

этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (7.6) значения x1 x0 h , по непрерывности должна мало

отличаться от ординаты y(x1) решения y(x) задачи (7.1)-(7.2). Следовательно, точка (x1, y1) пересечения касательной с прямой x x1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую

y y1 f (x1, y1)(x x1) ,

137

которая уже приближенно отражает поведение касательной к y(x) в точке (x1; y(x1)). Подставляя сюда x x2 ( x1 h) , получим приближение значения y(x2 ) значением

y2 y1 hf (x1, y1)

и т.д. Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулу Эйлера для решения задачи Коши

(7.1) - (7.2)

интегральная кривая заменяется ломаной, проходящей через

называется ломаной Эйлера (рис.17).

Рис.17

138

Рассмотрим еще один способ получения формулы Эйлера

y (xi ) f (xi , y(xi )) f (xi , yi ) .

Пренебрегая в (7.9) членами порядка o(h 2 ) , получим

формулу (7.7).

Из формулы (7.9) видно, что на каждом шаге погрешность имеет порядок o(h 2 ) . При оценке погрешности

т.е. метод Эйлера имеет первый порядок точности: R ~ h . Главный недостаток метода Эйлера - большая

погрешность на каждом шаге. Это заставляет использовать очень мелкий шаг, что приводит к большому количеству вычислений. При этом происходит систематическое накопление ошибок из-за неточных входных данных на последующих отрезках, что приводит к ухудшению результата.

Несмотря на существенные недостатки, метод Эйлера до сих пор сохраняет известное практическое значение. Вопервых, метод Эйлера лежит в основе других, более точных методов. Во-вторых, более сложные методы имеют большую

139