Учебное пособие 1993

y

yi

1

x

xi

1

.

yi

yi 1

xi

xi 1

Отсюда

y yi

1

yi

yi

1

(x

xi

1) .

xi

xi

1

Тогда:

y

yi

yi

1

x

yi

1

yi

yi

1

xi

1 .

xi

xi

1

xi

xi

1

Обозначим:

a

i

yi

yi

1

;

b

y

i

1

a

i

x

i

1

.

xi

xi

i

1

Получим

y

ai x

bi ,

xi

1

x

xi .

(2.7)

y a

i

x2

b x

c

(x

i 1

x x

i

1

) .

(2.8)

i

i

a

x2

1

b x

i

1

c

i

y

i

1

i

i

i

a

x2

b x

i

c

i

y

i

(2.9)

i

i

i

a

x 2

1

b x

i

1

c

i

y

.

i

i

i

i

1

Интерполяция для любой точки

x

[x0 , xn ]

проводится

по трем ближайшим к ней узлам.

Пример.

Найти

приближенное

значение

функции

y

f (x) при

x

0.32,

если ее значения заданы в таблице 2:

Таблица 2

x

0.15

0.30

0.40

0.55

y

2.17

3.633.

5.07

7.78

Решение.

1.

Воспользуемся

формулой (2.7). Значение

x

0.32 находится между узлами

xi 1

0.30

и

xi

0.40 . В

этом случае

ai

yi

yi

1

5.07

3.63

14.4

,

xi

xi

1

0.40

0.30

bi

yi

1

ai xi

1

3.63 14.4

0.30

0.69 ,

y

14.4x

0.69

14.4 0.32

0.69

3.92.

xi

1

0.15 ;

xi

0.30 ;

xi

1

0.40 .

Соответственно,

yi

1

2.17 ;

yi

3.63 ; yi

1

5.07 .

Система принимает вид:

0.152 a

i

0.15b

c

i

2.17

i

0.302 a

i

0.30b

c

i

3.63

i

0.402 a

i

0.40b

c

i

5.07.

i

Решая

эту

систему,

находим:

ai

18.67 ,

bi

1.33 ,

ci 1.55 .

y a

x2

b x

c

18.670.322 1.33 0.32

1.55

3.89 .

i

i

i

Пусть задано n

1

значение

функции f (x) в n 1

различных точках - узлах интерполяции:

x0 , x1,..., xn

y0 , y1,..., yn .

Требуется построить многочлен (2.6)

(x)

a

0

a x ...

a

n

xn ,

1

значениям функции

f (x) в тех же узлах. То есть,

получаем

a

0

a x

0

a

2

x2

...

a

n

xn

y

0

1

0

0

a

a x

a

x2

...

a

n

xn

y

(2.10)

0

1

1

2

1

1

1

.......... .......... .......... .......... ..........

a

0

a x

n

a

2

x2

...

a

n

xn

y

n

.

1

n

n

1

x0

x02

....

x0n

1

x

x2

....

xn

1

1

1

.......... .......... .......... ...

1

xn

xn2

....

xnn

система (2.10)

имеет единственное

решение и

интерполяционный

многочлен

Pn (x)

определяется

единственным образом. Однако, для большого

числа узлов

интерполяции, решать эту систему сложно.

Многочлен Pn (x) можно построить другим способом.

Запишем многочлен (2.6) в виде:

(x) A0 (x x1)(x x2 )(x x3 )...(x xn )

A1(x x0 )(x x2 )(x x3 )...(x xn )

A2 (x

x0 )(x x1)(x x3 )...(x xn )

(2.11)

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ...

An (x x0 )(x x1)(x x2 )...(x xn 1).

Коэффициенты

A0 , A1,..., An

определим

по условию

( xi ) f (xi ) yi

(i

0,1,..., n) .

Положим в (2.11) x

x0 . Найдем:

(x0 )

y0

A0 (x0 x1)(x0

x2 )...(x0 xn ) ;

т.е.

A0

y0

.

(x0

x1 )(x0

x2 )...(x0

xn )

Положим x

x1 : A1

y1

,

(x1 x0 )(x1 x2 )...(x1 xn )

далее

A2

y2

(x2

x0 )(x2

x1 )...( x2

xn )

и т.д.:

An

yn

.

(xn

x0 )(xn

x1 )...(xn

xn 1 )

n

(x

x0 )...(x

xi 1)(x

xi 1)...(x

xn )

. (2.12)

Ln (x)

yi

(x

x

0

)...(x

x

)(x

x

)...(x

x

n

)

i 0

i

i

i 1

i

i 1

i

Очевидно, что степень многочлена Лагранжа не

превышает числа

n .

Часто многочлен Лагранжа записывают

виде

n

n

x

x j

Ln (x)

yi

.

0 xi

x j

i 0

j

j

i

При

n 1 имеем

две

точки,

и формула

Лагранжа

представляет в этом случае уравнение прямой

y L1(x) ,

проходящей через две заданные точки

y

x

x1

y

0

x

x0

y ,

x0

x1

x1

1

x0

При

n

2

получим уравнение

параболы

y

L2 (x) ,

проходящей через три точки

y

(x x1 )(x x2 )

y0

(x

x0 )(x x2 )

y

0

(x x0 )(x x1 )

y2 .

(x

0

x )(x

0

x

2

)

(x

x

0

)(x

x

2

)

(x

2

x

0

)(x

2

x )

1

1

1

1

Пример.

Для

функции

y

sin

x

построить

интерполяционный многочлен Лагранжа, выбрав узлы

x

0,

x

1

,

x

1

.

0

2

1

6

2

Решение. Многочлен Лагранжа для трех узлов

интерполирования запишется так

(x x1 )(x x2 )

(x x0 )(x x2 )

(x x0 )(x x1 )

L2 (x)

y0

y1

y2

.

(x

0

x )(x

0

x

2

)

(x

x

0

)(x

x

2

)

(x

2

x

0

)(x

2

x )

1

1

1

1

Вычисляем соответствующие значения функции

y

0,

y

sin

1

,

y

sin

1.

0

2

1

6

2

2

Применяя формулу Лагранжа, получим

x

1

x

1

x

x

1

x

x

1

1

L2 (x)

0

6

2

2

1

6

1

1

2

1

1

1

1

1

1

6

2

6

6

2

2

2

6

функции

y

f (x) совпадают в узлах xi (i 0,1,..., n) .

Если

функция

y

f (x) сама является многочленом

степени

n ,

то имеет

место тождественное совпадение:

интерполяции, Rn (x)

f (x) Ln (x) 0 .

Эта разность

есть погрешность интерполяции,

и

Если функция

y

f (x) имеет непрерывные производные

до n 1 порядка включительно,

то остаточный член формулы

Лагранжа имеет вид:

R

(x)

f (n

1) ( )

(x x

)(x x )...(x

x

) ,

(2.13)

n

0

n

(n

1)!

1

кратной дифференцируемости

f (x)

позволяет записать точное

представление f (x) через

ее

интерполяционный

многочлен

Ln (x) :

f (x) L (x)

f (n

1) (

)

(x x

)(x

x )...(x x

) . (2.14)

0

n

n

(n

1)!

1

Абсолютную

погрешность

интерполяционного

~

a,b

можно оценить

многочлена Лагранжа в любой точке x

с помощью неравенства

~

~

~

M n 1

~

,

(2.15)

Rn (x )

f (x )

Ln (x )

Пn

1(x )

(n

1)!

где M n

1

max

f (n

1) (x)

,

x

a,b

Пn 1(x)

(x

x0 )(x

x1)....( x xn ) .

Максимальная

погрешность

интерполирования

на

отрезке

a, b

оценивается величиной

max

Rn (x)

M n

1

max

Пn 1(x)

.

(n

1)!

x

a,b

x a,b

Так как максимумы функций

f (n 1) (x)

и Пn

1(x)

достигаются, чаще всего, в разных точках

отрезка

a, b , то более

max

R (x)

1

max

f (n 1) (x)П

n

1

(x)

.

x a,b

n

(n 1)! x

a,b

C помощью интерполяционного многочлена Лагранжа,

построенного для

промежутка

a, b , можно решать задачи

y0

y1

y0

f (x0

h)

f (x0 ),

y1

y2

y1

f (x0

2h) f (x0 h),

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .

yn 1

yn

yn 1 f (x0

nh) f x0 (n 1)h .

2 y

0

y

y

0

;

2 y

y

2

y ; ....;

2 y

n 2

y

n 1

y

n 2

.

1

1

1

2 y

0

y

y

0

( y

2

y ) ( y

y

0

) y

2

2y

y

0

;