Учебное пособие 1993
.pdfПоложим |
x0 1.2 ; |
|
тогда |
|
q |
x x0 |
|
1.2 1.2 |
0 . |
|||||||
|
|
|
h |
|
|
0.4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Воспользуемся для вычисления формулами |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y (x0 ) |
1 |
|
|
y0 |
|
2 y0 |
|
3 y0 |
..... |
, |
|
|
|||
|
h |
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y (x0 ) |
|
1 |
|
2 y0 |
3 y0 ..... , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
h2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получающимися из первой интерполяционной формулы Ньютона.
Находим
y (1.2) |
1 |
0.992 |
1 |
|
0.129 |
|
1 |
0.032 |
|
||
0.4 |
2 |
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2.5 |
(0.992 |
0.0645 |
0.0107) |
2.614; |
||||||
y (1.2) |
|
|
1 |
0.129 |
0.032 |
|
0.606 . |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
0.42 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Найти |
y (50) |
функции |
y |
lg x , |
заданной |
|||||||||
таблицей 17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 17 |
|
||||
|
x |
|
|
y |
|
|
y |
|
2 y |
|
3 y |
|
|
|
|
|
50 |
|
1.6990 |
|
414 |
|
-36 |
|
5 |
|
|
|
|||
|
55 |
|
1.7404 |
|
378 |
|
-31 |
|
|
|
|
|
|||
|
60 |
|
1.7782 |
|
347 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
65 |
|
1.8129 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
Здесь |
h |
5 . |
Используя |
первую |
строчку |
||||||||
таблицы, на основании |
формулы (5.5), |
с точностью до |
|||||||||||||
разностей третьего порядка, будем иметь |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y (50) |
|
1 |
(0.0414 |
0.0018 |
0.0002) |
0.0087. |
||||||||
|
5 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для оценки точности найденного значения, заметим, что |
|||||||||||||||
так как табулированная |
выше функция |
есть |
y |
lg x , то |
110
yx |
M |
|
|
0.43429 |
. |
Следовательно, |
|
y (50) |
|
M |
|
0.0087. |
||||||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
50 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Таким образом, результаты совпадают с точностью до |
|||||||||||||||||||||||
четвертого десятичного знака. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5.3. Конечно-разностные |
аппроксимации производных |
|||||||||||||||||||||||
|
Пусть отрезок |
|
a, b |
разбит на |
n |
( n |
2 ) |
равных частей |
||||||||||||||||
точками |
xi |
: |
a |
|
|
x0 |
|
x1 |
x2 |
... xi |
1 |
xi |
xi |
1 ... |
xn |
b . |
||||||||
|
Разность |
между |
|
соседними |
значениями |
аргумента |
||||||||||||||||||
постоянна, т.е. шаг |
h |
|
xi |
xi 1 , ( i |
1,2,..., n ). Далее, пусть на |
|||||||||||||||||||
отрезке |
a, b |
|
определена функция y |
|
f (x) , значения которой |
|||||||||||||||||||
в точках xi равны yi |
|
|
f (xi ) ( i |
0,1,2,..., n ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Запишем выражения для первой производной функции в |
|||||||||||||||||||||||
точке xi |
с помощью отношения конечных разностей: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) аппроксимация с помощью разностей вперед (правых |
|||||||||||||||||||||||
разностей) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y (xi ) |
|
|
yi |
, |
|
|
|
xi |
xi 1 |
xi |
|
h , |
yi |
yi 1 |
yi , |
||||||||
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (xi ) |
|
|
yi |
1 |
yi |
|
( i |
0,1,2,..., n |
1); |
|
|
|
|
(5.7) |
|||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) аппроксимация с помощью разностей назад (левых |
|||||||||||||||||||||||
разностей) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y (xi ) |
|
|
yi |
, |
|
|
|
xi |
xi 1 |
xi |
h , |
yi |
yi 1 |
|
yi , |
|
|||||||
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (xi ) |
|
|
yi |
|
yi 1 |
|
|
( i |
1,2,..., n ) ; |
|
|
|
|
(5.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) аппроксимация с помощью центральных разностей |
|||||||||||||||||||||||
(точка xi |
является центром системы точек xi 1 , xi , xi |
1 ) |
|
|||||||||||||||||||||
|
y (xi ) |
|
|
yi |
, |
|
|
|
xi |
xi 1 |
xi 1 |
2h , |
|
|
yi |
|
yi 1 |
yi , |
||||||
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
y (xi ) |
yi 1 |
yi 1 |
( i 1,2,..., n 1). |
(5.9) |
|
2h |
|||
|
|
|
|
Аппроксимация производной с помощью центральных разностей представляет собой среднее арифметическое
соотношений (5.7) и (5.8) в точках |
xi |
( i 1,2,..., n 1). |
||
Отметим, что соотношения (5.7) и (5.9) не позволяют |
||||
вычислить производную в точке xn |
b , |
а |
(5.8) |
и (5.9) - в |
точке x0 a . |
|
|
|
|
Можно показать, что для функции |
y |
f (x) , |
имеющей |
непрерывные производные до второго порядка включительно, погрешности аппроксимации производных разностями вперед и назад имеют один и тот же порядок o(h) , а погрешности аппроксимации центральными разностями (5.9) для функции y f (x) , имеющей непрерывные производные до третьего
порядка включительно, имеют порядок o(h2 ) .
Приближенное значение производной второго порядка в точке xi выразим через значения функции yi 1 , yi , yi 1 . Для
этого представим вторую производную с помощью правой разности
y (xi ) |
|
yi |
, |
|
|
xi |
xi 1 |
xi |
h , |
yi |
yi 1 |
yi , |
|||||
|
xi |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а производные первого порядка |
yi |
и |
yi |
1 - |
с помощью |
||||||||||||
левых разностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yi 1 |
y (xi 1 ) |
|
yi |
1 |
yi |
|
, |
yi |
y (xi ) |
|
yi yi |
1 |
. |
||||
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y (xi ) |
|
yi 1 2 yi |
yi |
1 |
, |
(i |
1,2,..., n |
1) |
|
|
(5.10) |
||||||
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112
Погрешность последней аппроксимации имеет порядок o(h 2 ) для функции y f (x) , имеющей непрерывные производные до четвертого порядка включительно на отрезке a, b . Естественно, что представление (5.10) с помощью
конечных разностей позволяет вычислять значения второй производной только во внутренних точках отрезка.
Задачи для самостоятельного решения
1.С помощью интерполяционной формулы Ньютона
найти значение первой и второй производных при значении
x 2.4 0.05 n (n |
1,3,5,7,9,11) |
для |
|
функции, заданной |
|||
таблицей 18: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 18 |
||
|
x |
|
y(x) |
x |
|
y(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4 |
|
3.526 |
3.6 |
|
4.222 |
|
|
2.6 |
|
3.782 |
3.8 |
|
4.331 |
|
|
2.8 |
|
3.945 |
4.0 |
|
4.507 |
|
|
3.0 |
|
4.043 |
4.2 |
|
4.775 |
|
|
3.2 |
|
4.104 |
4.4 |
|
5.159 |
|
2.С помощью интерполяционной формулы Ньютона
найти значение первой и второй производных при значении
x 1.6 0.08 n (n |
2,4,6,8,10) |
для функции, заданной таблицей |
|||||
19: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 19 |
|
|
x |
|
y(x) |
|
x |
y(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
10.517 |
|
4.5 |
8.442 |
|
|
2.0 |
|
10.193 |
|
5.0 |
8.482 |
|
|
2.5 |
|
9.807 |
|
5.5 |
8.862 |
|
|
3.0 |
|
9.387 |
|
6.0 |
9.701 |
|
|
3.5 |
|
8.977 |
|
6.5 |
11.132 |
|
|
4.0 |
|
8.637 |
|
7.0 |
13.302 |
|
113
|
|
6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
|
||||||
|
|
6.1. Постановка задачи |
|
|
|
||||
|
Пусть |
на отрезке a, b |
задана |
непрерывная |
функция |
||||
y |
f (x) . Точками x0 |
a, x1, x2 ,..., xn |
b разобьем исходный |
||||||
отрезок на |
n элементарных отрезков длиной |
xi |
xi xi 1 . |
||||||
На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку |
i |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( xi 1 |
i |
xi ) и составим интегральную сумму |
|
|
|||||
|
|
|
n |
xi . |
|
|
(6.1) |
||
|
|
I |
f ( i ) |
|
|
||||
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
По определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
lim |
0 |
f ( |
i ) xi . |
|
(6.2) |
|
|
|
a |
max xi |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Геометрический смысл определенного интеграла от |
||||||||
неотрицательной на интервале |
a, b функции |
f (x) - площадь |
|||||||
криволинейной трапеции. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для непрерывной |
функции f (x) |
первообразная всегда |
существует и определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:
b
f (x)dx F(b) F(a),
a
где F(x) - некоторая первообразная для данной функции f (x) . Однако во многих случаях первообразная F(x) не может
быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; например, таким способом не удается вычислить интегралы
b |
sin x |
dx, |
b dx |
, |
b e x2 , |
и т.д. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
a ln x |
|||||
a x |
|
a |
|
||||
Кроме того, на практике функция |
f (x) часто задается |
таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. В
114
таких |
случаях |
|
используются |
методы |
численного |
|
интегрирования, состоящие в том, что данную функцию |
f (x) |
|||||
на отрезке |
a, b |
заменяют |
интерполирующей |
или |
аппроксимирующей функцией более простого вида. Такие
специальные |
приближенные |
формулы |
для вычисления |
||
определенных |
интегралов |
|
называют |
квадратурными |
|
формулами или формулами численного интегрирования. |
|||||
|
6.2. Метод прямоугольников |
||||
Простые квадратурные формулы можно вывести |
|||||
непосредственно из определения |
интеграла, |
т.е. из формулы |
|||
(6.1). Зафиксировав там некоторое n |
1, будем иметь |
||||
|
n |
|
|
xi . |
(6.3) |
|
I |
f ( |
i ) |
||
|
i 1 |
|
|
|
|
Это приближенное равенство называют общей формулой прямоугольников (площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, основаниями которых
служат отрезки [xi |
1, xi ] , а высотами – ординаты |
f ( |
i ) ). |
|||||
|
Условимся в дальнейшем пользоваться равномерным |
|||||||
разбиением отрезка |
[a,b] |
на |
n частей точками |
xi |
с шагом |
|||
h |
b a |
, полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 a , |
xi |
xi 1 |
h |
( i 1,2,..., n 1), |
xn |
b . |
|
При таком разбиении формула (6.3) приобретает вид |
|||||||
|
|
|
|
n |
i ) , |
i [xi 1, xi ] . |
|
(6.4) |
|
|
I |
h |
f ( |
|
i1
Вкачестве промежуточных точек i можно выбрать левые ( i xi 1 ) или правые ( i xi ) концы элементарных отрезков [xi 1, xi ] . Соответственно получим две интегральные суммы:
115
|
I П |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) , (6.5) |
I |
h |
f (x |
1 |
) |
h( y |
0 |
y |
... |
y |
i |
... |
y |
n 1 |
||||||
|
|
|
i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I П |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) , |
(6.6) |
I |
h |
f (x ) |
h( y |
|
y |
2 |
... |
y |
i |
|
... |
y |
n |
||||||
|
|
i |
1 |
i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которые называются квадратурными формулами левых и правых прямоугольников.
Часто применяется еще одна формула прямоугольников,
использующая |
|
значения |
|
функции |
|
f (x) |
|
|
|
в |
середине |
|||||||||||||||||
элементарных отрезков, т.е. |
|
|
|
|
1 |
(x |
|
x ) . В результате |
||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
i |
|
i |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
имеем квадратурную формулу средних прямоугольников |
||||||||||||||||||||||||||||
|
I П |
|
|
n |
|
|
|
|
h |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
h |
. |
(6.7) |
|||||||
I |
h |
|
|
f |
x |
|
|
h |
|
f |
x |
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
i |
2 |
|
|
|
i 1 |
|
i |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Для формул (6.5) и (6.6) может быть получена следующая |
||||||||||||||||||||||||||||
оценка погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
R(h) |
|
b |
a |
M1 h; |
|
M1 |
max |
|
f '(x) |
|
, |
|
|
|
(6.8) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
a;b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а для формулы (6.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
R(h) |
|
|
b |
a |
M |
2h2 ; |
M 2 |
|
|
|
max |
|
f (x) |
|
, |
(6.9) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a;b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
то есть |
формула |
средних |
имеет |
|
более |
высокий порядок |
||||||||||||||||||||||
точности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Как видно из формулы (6.9), |
|
при увеличении числа n |
элементарных отрезков, на которые разбивается промежуток интегрирования [a,b] , погрешность интегрирования по
формуле (6.7) убывает пропорционально квадрату шага h . А погрешность интегрирования по формулам (6.5), (6.6) убывает лишь по линейному закону.
116
Пример. Вычислить по формуле прямоугольников
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
xdx , |
разбив интервал |
интегрирования на 10 частей. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценить погрешность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||
|
Решение. Здесь |
y |
|
|
|
|
x ; при n |
10 имеем h |
|
0.1. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Точками деления служат x0 |
1 , |
x1 |
x0 |
h |
1.1 , |
x2 |
1.2 ,…, |
||||||||||||||||||||||||||
x9 |
1.9 . Найдем соответствующие значения подынтегральной |
||||||||||||||||||||||||||||||||
функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.049 , |
|
|
1.095, |
||||||||||
y0 |
|
|
x0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
y1 |
1.1. |
|
y2 |
|||||||||||||||||||
y3 |
1.140 , |
y4 |
1.183, |
|
y5 |
1.225 , |
y6 |
1.265, |
|
y7 |
1.304, |
||||||||||||||||||||||
y8 |
1.342 , |
y9 |
1.378. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Используя формулу прямоугольников, получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
I |
0.1 (1.000 |
1.049 |
1.095 |
1.140 |
1.183 |
1.225 |
1.265 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1.304 |
1.342 |
1.378) |
|
|
0.1 11.981 |
1.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Оценим погрешность. В данном случае |
f |
(x) |
|
|
1 |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на отрезке |
1;2 |
достигает наибольшего значения, |
равного 0.5 , |
||||||||||||||||||||||||||||||
при |
x 1. |
Таким |
образом, |
|
|
|
f (x) |
|
M1 |
1 2 . |
По формуле |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(6.8) находим: |
|
R(h) |
|
0.1 |
1 |
1 |
|
|
0.025. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Следовательно, |
I |
1.20 |
0.025. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
6.3. |
Метод трапеций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Для |
получения |
|
|
|
|
|
|
других |
|
формул |
|
численного |
интегрирования, как говорилось ранее, подынтегральную функцию f (x) на отрезке интегрирования a, b заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией более простого вида. Заменим подынтегральную функцию y первым интерполяционным многочленом Ньютона
117
P (x) |
y |
0 |
|
q y |
0 |
q(q 1) 2 |
y |
0 |
... |
|
q(q |
|
1) |
... (q |
|
n 1) n |
y |
0 |
, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в |
котором |
|
x |
x0 |
|
hq . |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
hdq, |
|
|
пределы |
|
||||||||||||||||
интегрирования |
|
равны a |
|
|
x0 , |
b |
x0 |
nh . Проинтегрировав |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
многочлен Ньютона на отрезке |
a, b , |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
x0 |
|
nh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
q(q |
1) |
2 y0 |
|
|
|
||||||
|
f (x)dx |
|
|
|
F (x0 |
hq)hdq |
h |
|
y0 |
|
q |
y0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
q(q |
|
1)(q |
2) |
|
3 |
y0 |
|
... dq. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате интегрирования будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x0 |
nh |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
n3 |
|
n2 |
|
|
2 y0 |
|
n |
4 |
|
|
3 |
|
2 |
|
3 y0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ydx |
h ny0 |
|
|
y0 |
|
|
n |
n |
|
|
... . (6.10) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
2! |
|
4 |
|
|
|
3! |
|
|
|
|||||||||||||||||||
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (6.10) можно получить целый ряд формул численного интегрирования (формул квадратур), придавая n различные значения, т.е. деля участок на различное число частей, и пользуясь интерполяционными многочленами различных степеней.
Положим в формуле (6.10) n 1. В этом случае разности выше первого порядка пропадают, так как имеем
только две точки x0 |
и x0 |
h . Тогда |
|
|
|
|||
x0 h |
1 |
|
|
|
y1 y0 |
|
y0 y1 |
|
ydx h y0 |
|
y0 |
h y0 |
h |
. (6.11) |
|||
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|||
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрически этот результат совершенно очевиден. Действительно, положив n 1, заменяем функцию интерполяционным многочленом первой степени, т.е. заменяем кривую хордой (рис.14). При этом интеграл заменяется
118
площадью обычной прямолинейной трапеции. Очевидно, что формула будет точной, если f (x) - линейная функция.
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14 |
|
|
|
|||
|
Для формулы (6.11) может быть получена следующая |
||||||||||||
оценка погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(x |
x |
0 |
)3 |
|
|
|
|
|
|
|
R(h) |
1 |
|
|
max |
f (x) |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 , x1 |
|
|
|
|
Так как ошибка вычислений возрастает с увеличением |
|||||||||||||
длины |
отрезка интегрирования, |
|
то для |
уменьшения этой |
|||||||||
ошибки |
поступают |
следующим |
образом. |
Разбив |
интервал |
||||||||
a,b |
на |
n частей, |
можно |
применять формулу |
(6.11) для |
каждого из этих участков в отдельности, т.е. рассматривать не один интерполяционный многочлен степени n на всем интервале a,b , а n интерполяционных многочленов первой
степени, различных на каждом из отдельных участков. При этом кривая заменяется ломаной линией (рис.15).
119