Учебное пособие 1920

Из полученного решения при 0<t< l имеем φ(аt-х)=0 и a

u(x,t)=-φ(аt+х), т. е. по стержню распространяется только обратная волна, идущая от конца х=l, подвергнувшегося удару;

к ней прибавится отраженная волна φ(at-х), т. е. решение будет иметь вид u(х, t)=φ(at-x) - φ(at+x).

При t= 2l волна φ(аt-х) отразится от конца х=l, так что a

слагаемое φ(at+x) в решении на интервале 2l < t < 3l будет a a

иметь другое выражение. Таким образом, u(х,t) имеет различные выражения в интервалах

В данной задаче считается, что стержень как бы соединяется с ударяющим телом для любого момента времени t > 0. И если тело отделяется от стержня, то полученное решение при-

годно на тот промежуток времени, пока u(l,t) < 0. Когда же в

30

можно также проверить, заканчивается ли соударение в мо-

мент времени t, лежащий в интервале 4l < t < 6l . a a

1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами

Рассмотрим (другой метод) решения задачи о колебаниях конечной струны. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

22

u(t,x) a2 u(t,x),

t2 x2

удовлетворяющего начальным условиям u(t,0)=u(t,l)=0 и граничным условиям:

31

Вычислим частные решения нашего уравнения, отличные от тождественного нуля, удовлетворяющие граничным

переменным t и x и подставляя полученные производные в уравнение, получим

Левая часть этого уравнения не зависит от х, правая не зависит от t, поэтому правая и левая части могут быть только постоянными. Обозначая эту постоянную через , получим дифференциальные уравнения для определения функции T (t)

и

T (t) a2T(t) 0;

X (x) X(x) 0.

Решения уравнений отличны от тождественного нуля и

X (0) X (l) 0.

Ненулевые решения уравнения, удовлетворяющие граничному условию, называются собственными функциями, а те значения , для которых эти решения существуют, называются собственными значениями краевой задачи. Можно показать, что если 0, то наше уравнение имеет единственное решение X (x) 0,удовлетворяющее граничному условию. Поэтому

будем рассматривать случаи, когда 2 0.

Общее решение уравнения X (x) X (x) 0 имеет вид X(x) C1 cos x C2 sin x. Полагая в нем х=0 и х=l, получим систему уравнений для определения C1 и C2 :

C1 cos0 C2 sin0 0;

C1 cos l C2 sin l 0.

32

образом, наше уравнение имеет ненулевые решения, удовле-

нашего уравнения, удовлетворяющих граничному условию. Данное дифференциальное уравнение линейное одно-

родное. Сумма конечного числа частных решений этого уравнения также является решением уравнения, удовлетворяющим граничному условию.

Допустим, что решение исходной задачи можно искать в виде суммы бесконечного числа частных решений, то есть в виде ряда

коэффициенты An и Bn которого находятся таким образом,

чтобы выполнялись начальные условия. Это возможно, если ряд можно дифференцировать дважды по переменным t и x.

Дифференцируя ряд по переменной t, получим

33

Теорема. Если функция (x) имеет кусочнонепрерывную производную на отрезке [0,l] и удовлетворяет граничному условию (0) (l) 0, то ряд можно дифференцировать дважды по переменным t и х.

1.7.Вынужденные колебания струны

сзакрепленными концами

Пусть на точки струны длинной l в направлении колебаний действует непрерывно распределенная сила, плотность

34

распределения которой равна g(t,x). В начальный момент времени точкам струны придаются начальное отклонение (х) и начальная скорость (x) . Требуется найти отклонение u(t,x) точек струны при t 0. Эта задача сводится к следующей математической задаче. Найти функцию u(t,x), определенную на отрезке [0,l], удовлетворяющую уравнению

колебаниях струны с заданными начальными и граничными условиями, а w(t, x) - решение задачи о вынужденных колебаниях струны с нулевыми начальными условиями. Функция u(t, x) определяется по формуле

35

начальным условиям

Функцию w(t, x) будем искать в виде ряда Фурье

36

потребуем для функции n (t) удовлетворяли начальным усло-

виям