Учебное пособие 1920

Задача (2.7) представляет собою изопериметрическую задачу с вспомогательной функцией F и закреплёнными концами. В ней необходимо найти две неизвестные функции ω(t) и(t), причём в данном частном случае в силу изопериметрического условия (2.3) справедливо (t)= = const. Для определения ω(t) и имеем два уравнения – уравнение Эйлера

Положив ω(0)=ω1 и ω(Т)=ω2, из (2.9) получим с0=ω1. То-

гда совместное решение (2.9) для t=T и (2.10) даёт:

12J2 ( 1 T23)T 2 ; c1 6 2(2T21 2)T .

Для условий (2.7) ω(0)=0 и ω(Т)=0 имеем:

130

Таким образом, найденное решение (2.11) и (2.12) обеспечивает функционалу Q минимум.

Рис. 2.1. Имитационная модель системы оптимального управления поворотом платформы

Для иллюстрации полученного решения составим имита-

ционную модель объекта (рис. 2.1) с параметрами L=0,05 Гн;

R=0,06 Ом; J=100 кг м2; U=400 В; M=300 Н м; се=сm=2,5; iном=200 А; ωном=1500 об/мин. Функция момента сопротивле-

интегрирующим регулятором с передаточной функцией W(s):

W(s) 10s 70 , в совокупности с которым образует следя- s

щую систему регулирования тока двигателя по желаемому закону, в частности, вида (2.12). Графики изменения тока i(t) при оптимальном управлении (2.12), частоты вращения ω(t) и угла

131

поворота (t) при заданном значении последнего 100 радиан за время Т=5 с, представлены на рис. 2.2а,б.

Рис. 2.2а. Изменение тока при оптимальном управлении (2.12)

Потери энергии при полученном оптимальном управлении (2.12) для Т=5 с, М=300 Н м и =100 рад составляют

Рис. 2.2б. Изменение частоты вращения ω(t) и угла поворота (t) при оптимальном управлении

132

Для сравнения рассмотрим изменения тока при оптимальном управлении (2.12) с тривиальным решением задачи, при котором половину времени поворота платформы её частота вращения линейно возрастает до значения ωmax, а вторую половину – снижается до нуля.

В этом случае для того чтобы за время T повернуть платформу на угол , потребуется выполнение равенства

С учётом (2.4) получаем

Графики изменения тока i(t) при неоптимальном управлении (2.13), частоты вращения ω(t) и угла поворота (t) при тех же заданных значениях =100 радиан и Т=5 с представлены на рис. 2.3а,б.

133

500 i(t)

i, A

0

-500 0 1 2 3 4 5 6t, c

Рис. 2.3а. Изменение тока при неоптимальном управлении (2.13)

Рис. 2.3б. Изменение частоты вращения ω(t)

и угла поворота (t) при неоптимальном управлении

Потери энергии при неоптимальном управлении (2.13)

cm 2,5 R 0,06

134

Значение потерь при неоптимальном управлении (2.13) превышает найденные потери при управлении (2.12) на 30,72 кДж, причём эта разница растёт пропорционально второй степени всех основных рабочих характеристик объекта: угла поворота , момента инерции J и момента сухого трения М.

Найденные выражения для экстремалей (2.11) и (2.12) позволяют реализовать управление электроприводом не только по току i в соответствии с (2.12), но и по частоте вращения ω, подавая на вход системы регулирования задающее воздействие вида (2.11).

Рис. 2.4. Имитационная модель системы оптимального управления поворотом платформы с обратной связью по частоте вращения

На рис. 2.4 представлена имитационная модель такой системы регулирования с обратной связью по частоте вращения.

Рис. 2.5а. Изменение тока при оптимальном управлении частотой вращения (2.11)

135

рование возникающих при этом раскачиваний (колебаний) груза (рис. 2.6).

m1 Fтр F

μ x

L

v

m2

Рис. 2.6. Иллюстрация постановки задачи

На рис. 2.6 обозначены: m1, m2 – массы тележки и груза соответственно, кг; L – длина подвеса груза, м; х – координата горизонтального перемещения каретки, м; – угловое отклонение подвешенного груза от вертикали, рад; μ – коэффициент сухого трения тележки (вязким трением в силу малых значений скорости перемещения подвижных частей системы пренебрегаем); Fтр – сила сухого трения, действующая на каретку, Н.

Ставится задача: найти закон изменения силы F, прикладываемой со стороны электропривода к тележке, обеспечивающий за заданное время Т перемещение груза на расстояние S без раскачиваний, т. е. проекция абсолютной скорости v груза на неподвижную ось х не должна менять своего знака.

Рассматриваемый в задаче объект представим схемой математического маятника со свободной и подвижной по горизонтали точкой подвеса (рис. 2.7), на котором (t)= (t) – частота вращения груза в момент времени t, с-1; Fн – сила на-

тяжения троса, Н; g – ускорение свободного падения, g=9,81 м/с2.

137

Fтр m1 F

Fн

L

Fн

х

m2

Lv

m2g

Рис. 2.7. Расчётная схема объекта “тележка-груз”

Для описания объекта составим уравнения его движения в координатах х и в виде уравнений Лагранжа:

где E m1x2 m2v2 – кинетическая энергия системы.

2 2

Получая абсолютную скорость v груза в виде

v2 x2 ( L)2 2x Lcos x2 L2 2 2Lx cos ,

придём к развёрнутому выражению для Е:

Силу сухого трения Fтр определим в виде Fтр Fн cos ,

138

Система уравнений (2.16), (2.17) полностью описывает движение рассматриваемого объекта.

Имитационная модель, составленная по этим уравнениям в пакете MatLab, представлена на рис. 2.8 для параметров: m1=100 кг; m2=200 кг; L =5 м; Т=5 с; S=10 м; μ=0,01.

Поведение тележки и груза при тривиальном управлении таким объектом (включение привода на постоянный номинальный режим и его выключение при достижении кареткой заданной координаты х) показано на рис. 2.9 и хорошо иллюстрирует колебательность системы “тележка-груз”, причём при отсутствии активного торможения после отключения привода тележка продолжает двигаться по инерции, постепенно теряя избыточно запасённую энергию системы на преодоление силы трения. Для дальнейшей работы с моделью (2.16), (2.17) линеаризуем её для диапазона малых значений и учтём некоторые упрощающие условия:

правую часть равенства (2.20) в дальнейшем будем обозначать как одну функцию F (t)=F m2g. Имитационная модель линеаризованной системы представлена на рис. 2.10.

Перейдём к нахождению оптимального управления F (t). В качестве критерия оптимальности, обеспечивающего наименьшую колебательность системы, выберем используемый в теории управления интегральный квадратичный критерий

139