Учебное пособие 1920

ные до второго порядка в окрестности точки (х0, у0). Левые части интегралов будут решениями уравнений.

Кривые (решения) называются характеристиками, а уравнение - уравнением характеристик.

Для гиперболических уравнений (В2-АС>0) интегралы вещественны и различны. В этом случае имеем два различных семейства вещественных характеристик. Пусть в преобразова-

нии ξ ξ x, y φ1 x, y , η η x, y φ2 x, y , где φ1(x, у) и φ2(х, у) - соответственно дважды непрерывно дифференцируемые решения уравнений. Решения можно выбирать так, чтобы

якобиан D 1, 2 0 в некоторой окрестности точки (х0, у0)

D x, y

области D.

Функции φ1(х,у) и φ2(х,у) удовлетворяют уравнениям и А=С=0. В рассматриваемой области коэффициент В≠0.

Приведем наше уравнение к виду

Оно также будет каноническим.

Если основное уравнение линейное относительно производных первого порядка и самой функции, то преобразованное уравнение также линейное:

2u a , u b , u c , u f ,n .

Это канонический вид гиперболического уравнения.

2. В2-AС=0. В области D уравнение будет параболическим. Коэффициенты А, В, С уравнения не равны нулю (одновременно), и из условия В2–АС=0 следует, что в каждой точке

90

области один из коэффициентов А и С не равен нулю. Пусть А≠0 в точке (х0, у0), в окрестности которой наше уравнение приводится к каноническому виду. Тогда оба уравнения для φ совпадают и удовлетворяют уравнению

A B 0.x y

Решение уравнения, в силу условия В2-AС=0, удовлетворяет также уравнению

B C 0.x y

Можно найти решение для φ(x, у) такое, чтобы функция φ(х, у) имела непрерывные частные производные второго порядка и первые производные, не равные нулю одновременно в окрестности точки (х0, у0). Для уравнения параболического типа имеется одно семейство вещественных характеристик φ(х,у)=const, а за η(х,у) можно брать любую дважды непрерывно дифференцируемую функцию такую, чтобы якобиан

D ,

т. е. С≠0, так как в противном случае якобиан D x, y 0.

Поделим на С≠0 уравнение и приведем его к виду

91

Это канонический вид уравнения параболического типа. 3. В2-АС<0. В области D уравнение будет эллиптическим.

Коэффициенты А, В, С - это аналитические функции от х и у.

Решение φ(х, у) выбирается так, чтобы равенства не выполнялись одновременно. В нашем уравнении А=С≠0, и после деления на А оно имеет вид

Это каноническое уравнение эллиптического типа.

92

Замечание. В различных частях области D уравнение может быть различного типа. Точки параболичности уравнения характеризуются B2-АС=0.

Пусть множество точек области D будет простым с гладкой кривой σ. Кривая σ будет называться линией параболического вырождения. Если кривая σ делит область D на две части, в одной из которых наше уравнение является эллиптическим, а в другой - гиперболическим, то в области D будет смешанного типа.

2u 2u

1. Уравнение Трикоми y x2 y2 0 - уравнение сме-

шанного типа в любой области D в точках оси Ох. При у>0 оно будет эллиптическим, при у<0 - гиперболическим, при у=0 - линией параболичности.

типа в области D, содержащей точки оси Ох; у=0 - линия параболичности, которая будет характеристикой (у=0 -огибающая семейства характеристик).

3.УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

СДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

3.1. Задача Коши

Рассмотрим уравнение

непрерывные функции). Уравнение характеристик для этого уравнения

93

дw дw 0 или дw 0,дw 0.

Уравнения имеют соответственно решения у и х. Следовательно, x=const, у=const – это характеристики уравнения.

Пусть в плоскости хОу задана дуга кривой l, которая пересекается не более чем в одной точке с прямыми, параллельными осям координат. Уравнение этой дуги может быть записано в виде y=g(x) или x=h(y). При этом существуют производные g'(х) и h'(х), отличные от нуля. Пусть вдоль дуги

кривой l определены значения u и дu :

Задача Коши: найти решение уравнения в некоторой окрестности кривой l, удовлетворяющее условиям Коши.

Рассмотрим функции v дu, w дu.

дx дy

Тогда наше уравнение равносильно системе трех уравнений:

94

Рис. 3.1. Иллюстрация к решению задачи Коши

В прямоугольнике ABCD (рис. 3.1) возьмем произвольную точку N (х>у) и проведем через нее характеристики NP и NQ до пересечения с кривой l. Интегрируя первое и третье уравнения системы по прямой QN, а второе - по PN, получим:

Если u(x,у) есть решение нашего уравнения, удовлетворяющее условиям Коши, то функции v, w и u удовлетворяют системе интегральных уравнений. Решение системы

95

определяется методом последовательных приближений. Нулевым приближением будет v0 w(x), w0 1(x), u0 0(x).

3.2. Задача Гурса

Необходимо найти решение уравнения

имеющего заданные значения на характеристиках х=х0 и у=у0: u x x0 1(y), y0 y b;

u y y0 2 (x),x0 x a.

Пусть 1(y) и 2(x) имеют непрерывные производные первого порядка и 1(y0) 2(x0).

Введем, как и в задаче Коши, v дu , w дu.

дx дy

Основное уравнение равносильно системе трех уравнений в частных производных и их интегралов:

дu f (x,y) a(x,y)v b(x,y)w c(x,y)u;

дy

дw f (x,y) a(x, y)v b(x,y)w c(x, y)u;

дx

дu w.

дy

96

Для задачи Гурса существование и единственность решения системы доказывается методом последовательных приближений.

3.3. Метод Римана

Получим интегральную формулу, определяющую в явном виде решение задачи Коши. Предполагается, что решение этой задачи существует.

Рассмотрим

Здесь коэффициенты а и b непрерывно дифференцируемы. Сопряженное ему дифференциальное выражение имеет вид

L*(v) д2v д(av) д(bv) cv.

дxдy дx дy

Уравнение L*(v) g будем называть сопряженным с уравнением L(u) f.

Запишем тождество

MQ

n

A P

Рис. 3.2. Формирование контура PQM

97

Пусть Q область, ограниченная дугой PQ кривой АВ и двумя прямыми, параллельными осям и выходящими из точек М(х0 ,у0 ) (рис. 3.2). Запишем формулу Остроградского:

где контур Г имеет три части: характеристики QM и MP и дуга

PQ.

Рассмотрим интегралы, взятые вдоль кривых QM и MP. Вдоль характеристики QM меняется у, и при интегрировании

vL(u) uL*(v)dxdy.

Пусть – решение задачи Коши основного уравнения. Обозначим за v– решение однородного сопряженного уравне-

ния L*(v) 0 с условиями:

98

уравнения с заданными условиями называется функцией Римана. Эта функция не зависит ни от данных Коши на l, ни от вида этой кривой. Для нее точка (х,у) – аргумент, а точка (х0 ,у0) – параметр.

Получим формулу Римана

Формула Римана это решение исходного уравнения для произвольных начальных данных (на произвольной не характеристической кривой l) через функцию Римана v=v(x,у;х0 ,у0 ). Из формулы Римана имеем, что если достаточно мало изменить данные Коши на кривой l, то и решение задачи изменится также малым образом. Решение и в точке М будет зависеть от начальных данных вдоль дуги PQ кривой l и вырезаемой из характеристик, выходящими из точки М . Если данные Коши на кривой l вне дуги PQ изменить, сохраняя непрерывность в точках Р и Q, то решение будет меняться только вне криволинейного треугольника MPQ. Каждая ха-

99