Учебное пособие 1920

Рис. 2.17. Результаты проверки оптимального управления (2.29) на имитационной модели системы регулирования

2

F, Н

0

-2

10

х, м

5

0

0.5

, рад

Рис. 2.18. Иллюстрация эмпирического способа импульсного управления объектом

Решение задачи оптимального движения объекта при ограничениях на управление.Принцип максимума Понтрягина

При рассмотрении задач 1 и 2 отмечалось, что найденные экстремали могут потребовать для своей реализации техниче-

150

ски недопустимых значений управляющих воздействий, т. е. в условие задачи необходимо вводить соответствующие ограничения.

Задачи с ограничениями могут быть решены с помощью уравнения Эйлера, однако в том случае, если уравнения движения объекта представимы в нормальной форме Коши и являются линейными относительно управления, то целесообразно воспользоваться другим методом вариационного исчисления – принципом максимума.

Рассмотрим примеры таких задач.

Задача 3. Вернёмся к задаче 1, где рассматривался электропривод поворота платформы экскаватора, для которой требовалось найти закон управления током i(t) двигателя, обеспечивающего поворот платформы за заданное время Т на известный угол с минимальными затратами энергии.

Введём в эту задачу ограничение на управление:

|i(t)| Imax,

где для конкретного примера примем Imax=200 А. Исходные уравнения движения электропривода:

(обозначения см. в задаче 1) перепишем в явном виде относительно регулируемой величины (t) и управления i(t):

Вводя обозначения х1= ; x2 , перейдём к нормальной

форме Коши:

151

Минимизируемый функционал задачи:

включим в число фазовых координат х

x0(t) i2(t). (2.33)

Составим вспомогательную функцию – гамильтониан Н:

Найдём максимум для (2.34), не учитывая ограничение на управление.

Для определения функции i(t), доставляющей экстремум гамильтониану, запишем необходимое условие существования

Для нахождения в выражении (2.35) неизвестных функций 0(t) и 2(t) воспользуемся известным соотношением между неопределёнными множителями i(t) и гамильтонианом

Н:

d i H . dt xi

Для H вида (2.34) последнее соотношение образует систему трёх дифференциальных уравнений:

d 0 H 0; dt x0

d 2 H 1. dt x2

152

Из (2.36) получаем выражения для i:

Выражение (2.37) является искомой экстремалью для управляющего воздействия i(t), обеспечивающего минимум функционалу (2.32). Эта экстремаль найдена с использованием принципа максимума для гамильтониана Н.

Для того чтобы сравнить (2.37) с аналогичным результатом (2.12), полученным с помощью уравнения Эйлера, найдём неизвестные параметры а1 и а2, входящие в (2.37).

Интегрируем (2.30) с учётом (2.37):

Для нахождения неизвестных коэффициентов а1, а2 и постоянной интегрирования а3 обратимся к граничным условиям задачи:

T

(0)=0, (Т)=0, (t)dt .

0

Получим систему уравнений

153

решение которой

приводит к выражениям (2.39) и (2.40), полностью совпадающим с соответствующими экстремалями (2.11) и (2.12), полученными с помощью уравнения Эйлера в задаче 1:

Таким образом, мы показали, что принцип максимума позволяет решать вариационные задачи без ограничений на управление и даёт те же результаты, что и уравнения Эйлера.

Учтём теперь наличие ограничения |i(t)| Imax.

Анализ выражения (2.34) для гамильтониана показывает, что при 0(t) 0 его максимум достигается при максимальных по модулю значениях управления |i(t)|=Imax, точнее, если

i(t)=Imaxsign( 2). (2.41)

Из (2.41) следует, что экстремаль i(t) имеет кусочнопостоянную форму (структуру), причём в силу вещественности корней характеристического уравнения для (2.30)

p2=0; p1,2=0 i(t) имеет два интервала постоянства.

154

Для получения неизвестной функции 2(t), входящей в (2.41), воспользуемся системой уравнений (2.36), из которой2(t)=с2-с1t, и окончательно

i(t)=Imaxsign(с2-с1t); 0=с0 0.

Для определения параметров с1 и с2 закона управления можно снова воспользоваться граничными условиями (0)=0,

T

(Т)=0, (t)dt , однако неизвестный коэффициент с0 не

0

входит в выражения для i(t) и (t) и останется неопределённым, т. е. исходная предпосылка о том, что 0 0, не может быть подтверждена, и наше предположение о структуре управления вида (2.41) обосновать не удаётся.

Таким образом, наша попытка сформировать с помощью принципа максимума оптимальное управление i(t) с учётом ограничения |i(t)| Imax завершилась неудачей и была предпринята с учебными целями для иллюстрации основного условия применимости этого метода – линейности уравнений движения и функционала Q относительно управления. Это условие, как следует из (2.32) и (2.33), в поставленной задаче не выполняется. Вместе с тем нелинейность уравнения (2.33) не является препятствием для решения задачи с помощью уравнения Эйлера.

Для этого неравенство |i(t)| Imax преобразуем в ограниче- ние-равенство путём введения дополнительной переменной z

(для i(t) 0):

i(t)=Imax-z

или

i-Imax+z2=0. (2.42)

В результате задача поиска минимума функционала

должна содержать два ограничения равенства:

155

T

(t)dt ; i-Imax+z2=0.

0

Составим функцию Лагранжа:

F i2 1 2(t) i Imax z2 ,

или

F J Mc 2 1 2(t) J Mc Imax z2 . (2.43)

Сформировав указанным образом функцию Лагранжа, мы получаем классическую вариационную задачу без ограничений. Решим её с помощью уравнений Эйлера для двух переменных и z:

С учётом изопериметрического условия получим:

T

(t)dt .

0

Система трёх уравнений (2.45) для четырёх неизвестных(t), z(t), 1, 2(t) содержит одну свободную переменную, в качестве которой удобно взять 2=const.

Тогда (2.45) распадается на два независимых уравнения:

1 2J2 0

156

полученным ранее в (2.9) –(2.12); и уравнение z=0 или i(t)=Imax.

Аналогично, для i(t) 0 запишем i(t) -Imax, или i+Imax-z2=0, и придём к равенству i(t)=-Imax.

Общее решение

|i(t)|=Imax. (2.47)

Вид полученного решения (2.46), (2.47) свидетельствует о том, что искомый экстремум функционала Q достигается на кривых, составленных из фрагментов экстремали (2.46) и отрезков границы допустимой области (2.47), и для завершения решения задачи осталось найти точки перехода (сопряжения) от экстремали к границе и обратно.

Рассмотрим общий случай такого перехода, когда имеются две точки сопряжения (рис. 2.19).

-Imax

i(t)(2.47)

Рис. 2.19. Общий случай сопряжения экстремали (2.46) и границ допустимой области (2.47)

157

Определим неизвестные параметры t1 и t2 в (2.48). Из граничных условий (0)=0, (Т)=0 следует, что

(см. (2.30)), придём к интегралу

Поскольку из условия сопряжения участков экстремали i(t1)=Imax; i(t2)=-Imax, то

t2

i(t)dt 0,

t1

и (2.49) получит вид

или

cmImax(t1-(T-t2))=McT. (2.50)

Из (2.50), в частности, следует, что с ростом момента сопротивления Мс значение t2 приблизится к Т и участок экстремали с i(t)=-Imax исчезнет.

158

Для определения двух неизвестных t1 и t2 одного уравнения (2.50) недостаточно, и в качестве второго уравнения используем граничное условие

T

(t)dt .

0

где постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из условий сопряжения участков экстремали в точках t1 и t2:

откуда

Отметим, что постоянная с2 может быть найдена из (2.51) и граничного условия (Т)=0, т. е.

Интегрируем (2.51) по участкам [0;t1], [t1;t2], [t2;T]:

159