Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1852

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

	1					3			1

	3
									x
3.3.				e

														dx.
								2

	0					x
	0
	1 ln(3x 1)																	dx.
3.5.					3x 1													dx.
3.5.					3x 1
	1

	3
	1										ln 2 dx
											ln 2 dx										.

3.7.															2
3.7.			(1 x) ln												2			(1	x)
	1		(1 x) ln															(1	x)

	2
	1				x dx
3.9.					x dx									.
3.9.														.
	0		1 x 4
	0
	1						2x dx
3.11.							2x dx										.


	0						1 x4
	1							dx
								dx							.
3.13.
			5
			5			3						4x
		3
	4
							1			2			arcsin x
	1						1						arcsin x
	1		2e
3.15.																				dx.


										1 x 2
	0									1 x 2
				sin x dx
3.17.																.

			7 cos 2 x


	2

	3							dx
3.4.								dx				.


		3 (3 x)5
	1	3 (3 x)5
	1							dx
3.6.								dx						.


	1	20x2 9x 1
	1

	4
	2

	3
	3	3 ln(2 3x)
3.8.													dx.
3.8.							2		3x				dx.
	0						2		3x
	0

	6							cos 3x
3.10.								cos 3x							dx.


	0	6 1 sin 3x 5
	0							dx
3.12.								dx			.

					3
					3		1		3x
		1					1		3x
		1
		3
		3

	2					etgx
3.14.						etgx				dx.
3.14.										dx.
	0			cos 2x
	0
	2								dx
3.16.									dx						.


			5 4x x2
	1		5 4x x2									4
	0							dx
3.18.								dx				.


								4x	3
		3						4x	3
		3
		4
		4

	2								x dx
3.19.									x dx						.



		1 ln 2 (x2 1)3

3.21.	2			3sin 3 x dx
3.21.				3sin 3 x dx									.


	0							cos x
	0
	1					x 4 dx
3.23.						x 4 dx					.


	0		3 1 x5
	1					dx
						dx				.

3.25.			9
					1		2x

	1

	2
	3

3.27.	2								dx
									dx					.


						3x x2
	1					3x x2						2
	1

1

3			dx
3.20.			dx	.

	9x	2	9x 2
0	9x		9x 2
0

33 9x dx

3.22..

039 x 2

2x2dx

3.24. .

064 x6

5x2dx

3.26. .

131(x3 1)

4		10x dx
3.28.		10x dx	.


	4 (16 x2 )3
0	4 (16 x2 )3
1

3.29.	4			dx		2	dx
3.29.				dx	.	3.30.	dx		.
		3			.	3.30.		2	.
	0		1 4x			0	(2x 1)
	0					0

Задача 4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

4.1.	y (x 2)3 , y 4x 8.			4.2.	y x2 , y 3 x.
4.3.	y				x ( y 2)3 , x 4y 8.
		x	, y x3.	4.4.
	x 4 y2 , x y2 2y.
4.5.				4.6. x		4 y 2 , x 0.
4.7.	x 4 ( y 1)2 ,			4.8.	y 4 x2 ,
	x y 2 4 y 3.				y x 2 2x.

				81

4.9.	y	e x 1,	y 0,
4.9.	x 0, x 1.
	x 0, x 1.

4.11. y x9 x2 , y 0, (0 x 3).

4.13.	y	1		,	y	x2		.

	1 x2					2
4.15.	y2 x3 , x 0, y 4.

4.17.	y x arctg x,				x		3, y 0.
4.19.	y 2x x2				3 ,
	y x2	4x 3 .

4.21.	y 2 x3 ,		x 2.
4.23.	y2 (4 x3 ), x 0.
4.25.	y x3 , y 1, x 0.

4.27.	y x2	16 x2 , y 0.
	0 x 3 .

	4.29.	y x 1, y cos x,
	4.29.	y 0.
		y 0.

4.10.y (1 xx ) , y 0, x 1.

	y	x	,

4.12.		(x2 1)2
	y 0, x 1.
4.14.	y2 x 1, y 2		9 x.
4.16.	x arccos y,
	x 0, y 0.

4.18.	y 2 9x, y 3x.

4.20.y 2 4x, x2 4y.

4.22.	y x2 , y 2 x2 .
4.24.	y (x 1)2 , y2	x 1.
4.26.	xy 6, x y 7 0.
4.28.	x2 4 y, y	8		.

		x2	4

4.30.y 2 x , y 2x x2 ,

x0, x 2.

Задача 5. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии.

5.1.	x 2cos3 t, y 2sin3 t.
5.2.	x 2(cos t t sin t), y 2(sin t t cos t)	0 t .

5.3.y arccos x x x2 4 0 x 1 2 .

5.4.	x et (cos t		sin t), y et (cos t sin t) 0 t 3		2 .

	3 x2 3 y 2
5.5.	3 x2 3 y 2		3 9.
5.6.	2	2	2

	x 3	y 3 4 3.
	x 3	y 3 4 3.
5.7.	y 2 (x 1)3 , отсеченной			прямой x 4.

5.8.y 1 ln cos x 0 x .

5.9.y e x 13 ln 15 x ln 24 .

5.10.x 4cos3 t, y 4sin3 t.

5.11. x 6(cos t t sin t), y 6(sin t t cos t) 0 t .

5.12.y 2 (x 1)3 от точки A(1,0) до точки B(6, 125).

5.13.	y 2 x5 , отсеченной прямой x 5.
5.14.	x (t 2 2) sin t 2t cos t, y (2 t 2 ) cos t 2t sin t
5.14.	0 t .
	0 t .
5.15.	x et (cos t sin t), y et (cos t sin t)		0 t .
5.16.	y 1 ln(x2 1)	(3 x 4).

5.17.	x 5cos	2	t, y 5sin		2	t		t
5.17.	x 5cos		t, y 5sin			t	0	t	.
									2
	9 y 2 4(3 x)3 между точками пересечения с осью
5.18. OY.
5.19.	y ln(x2 1)			2 x 3 .
5.20.	y ln sin x			x .
5.20.
			3	2

5.21.x 9(t sin t), y 9(1 cos t) 0 t 2 .

5.22.y 2 (x 1)3 от точки A(2, 1) до точки B(5, 8).

5.23.x 7(t sin t), y 7(1 cos t) 2 t 4 .

5.24.		x		x
	y e 2 e				0 x 2 .
			2

5.25.	x 4(cos t		t sin t), y 4(sin t t cos t)			0 t 2 .

5.26.x 3t 2 , y t t 3 (петля).

5.27.	y ln cos x 2	0 x 6 .

5.28.	y 1 arcsin x		1 x2	0 x 3 4 .

5.29.x 4cos3 t, y 4sin3 t.

5.30.y 2 x3 от точки A(0,0) до точки B(4,8).

Задача 6. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат.

6.1.Ф : y2 4 x, x 0, OY.


6.2. Ф : x			y		2, x 0,		y 0, OX.

x2 y 2

6.3.Ф : 9 4 1, OY.

6.4.Ф : y3 x2 , y 1, OX.

6.5.Ф : x 1 y 2 , y 32 x, y 0, OX.

6.6.Ф : y sin x, y 0 0 x , OX.

6.7.Ф : y2 4x, x2 4 y, OX.

6.8.Ф : x 2cos t, y 5sin t, OY.

6.9.Ф : y x2 , 8x y2 , OY.

6.10.Ф : y ex , x 0, y 0, x 1, OX.

6.11.Ф : y 2 43x , x 3, OX.

6.12. Ф : y 2x x2 , y 0, OX.

6.13.Ф : y x2 , y 1, x 2, OX.

6.14.Ф : x 7 cos3 t, y 7sin3 t, OY.

Ф: x2 y 2 1, OX. 16 1

6.16.Ф : x3 ( y 1)2 , x 0, y 0, OX.

6.17.Ф : xy 4, 2x y 6 0, OX.


6.18.	Ф : x 3 cos t,	y 2sin t, OY.
6.19.	Ф : y 2 x2 ,	y x2 ,	OX.
6.20.	Ф : y x2 8,	y x2 ,	OX.

6.21.Ф : y2 (x 4)3 , x 0, OX.

6.22.Ф : y x3, x 0, y 8, OY.

6.23.	Ф : x cos3 t,	y sin3 t, OX.
6.24.	Ф : 2y x2 , 2x 2y 3 0, OX.
6.25.	Ф : y x x2 ,	y 0, OX.
	x2

6.26. Ф : y 2 2 , x y 2, OY.

6.27.Ф : x 6(t sin t), y 6(1 cos t), OX.

6.28. Ф : x 3cos	2	t,	y 4sin	2	t		t
6.28. Ф : x 3cos		t,	y 4sin		t	0	t	, OY.
								2

6.29.Ф : y2 x, x2 y, OX.

6.30.Ф : y2 (x 1)3 , x 2, OX.

ных рассматривают как функцию точки М

5. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Литература: [1, гл. 8, §§ 1 17].

5.1. Понятие функции двух переменных

Говорят, что определена функция z = f (x,y) двух переменных х,у , если каждой паре значений независимых переменных (аргументов) х,у из области D по некоторому закону f ставится в соответствие определенное значение переменной z из множества Z. Область D называется областью определения функции z, а множество Z - множеством значений функции. Поскольку каждой паре чисел х,у на плоскости Оху можно поставить в соответствие точку М (х,у), то функцию двух перемен-

z f M из неко-

торой области D плоскости Оху .

Геометрической интерпретацией функции двух переменных является поверхность (рис. 7), аппликата каждой точки которой вычисляется по закону z =f(х,у). Например, для функ-

ции z 1 x2 y2 геометрическим образом является верхняя полусфера. Область определения данной функции определяется неравенством 1 x2 y 2 0 или x 2 y 2 1.

Z= f (x,y) z

P (x1,y1,z1)

Рис. 7 86

Существует еще один способ изображения функции двух переменных, основанный на построении сечений поверхности z = f (х,у) плоскостями z c , где с - любое число. Линией уровня называется множество точек плоскости Оху, в которых функция принимает одно и то же значение с. Множество линий уровня дает представление о поверхности подобно тому, как в картографии линии уровня описывают рельеф местности.

5.2. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка

Пусть функция z =f (х, у) определена и непрерывна в точке М0(х0, у0) и ее некоторой окрестности. Зафиксируем значение у = у0, а переменная х пусть испытает приращение х. При этом переместимся из точки M0 x0 , y0 в точку M1 x0 x, y0 .

Получим функцию одной переменной z =f (х, у0). Разность

x z f x0 x, y0 f x0 , y0 называется частным приращением функции z по переменной х.

Частной производной функции z по переменной х в точке

М0 (х0, у0) называется предел отношения

x z

при х0

= f

, y

) = lim x z

= lim

f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )

x 0 x

x 0

В определении частной производной по переменной x переменная у фиксирована, а х изменяется.

При перемещении из точки М0(х0,у0) в точку М2(х0,у0+ у) получим частное приращение функции z по переменной y

y z f x0 , y0 y f x0 , y0 .

Частной производной функции z по переменной y в

точке М0 (х0, у0) называется предел отношения y z при y 0y

= f (x , y ) = lim

y z

f (x , y y) f (x , y )

= lim

0 0

y 0 0

y 0

Частные производные

характеризуют мгновен-

ную скорость изменения функции z в точке М0 (х0, у0) в направлении координатных осей Ох и Оу.

При вычислении частных производных остаются в силе правила дифференцирования функции одной переменной, а также таблица производных, если другие аргументы считаются постоянными величинами.

Пример.			Найти			частные			производные функции
z x3 9x2 y y4 .
Решение:			z	= 3x2	18xy ,		z	=	9x2 4 y3 . Здесь при на-
			x				y
	z
хождении		переменная				y считается константой, при нахо-
хождении	x	переменная				y считается константой, при нахо-

ждении y переменная x считается константой.

Пример. Найти частные производные функции z ln(x2 y y3 ) .

Решение:	z	2xy	,	z	x2 3y2	.
	x	x2 y y3		y	x2 y y3

Рассмотрим геометрический смысл частных производ-

ных функции двух переменных. Пусть уравнение z =f(х, у) есть уравнение поверхности, изображенной на рис. 8.

Проведем плоскость х= х0. В сечении этой плоскостью поверхности получается линия L2. При данном х0 рассмотрим на плоскости точку М0. На поверхности ей соответствует точка

Р. Частная производная z равна тангенсу угла, образованно-

го касательной к кривой L2 в точке М с положительным на-

правлением оси Оу:

tg . Для уточнения стоит отме-

тить, что касательная лежит в плоскости х= х0.

По аналогии частная производная

численно равна тан-

генсу угла наклона касательной к линии

L1 , представляющей

сечение

поверхности

z f x, y

плоскостью

у=у0,

т.е.

tg .

Рис. 8

5.3.Полное приращение функции

иполный дифференциал

Пусть функция двух переменных f(x,у) определена и непрерывна в точке М0(х0 ,у0) и ее окрестности. Если переменные x и y изменились, приняв значения x x0 x и у=у0+ у, то

функция f(x,у) испытала полное приращение z=f(М) - f(М0) = =f(x0+ x, у0+ у) - f(x0, у0), соответствующее

перемещению из точки в точку М(х ,у). 89

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.46 Mб7Учебное пособие 1848.pdf
#
30.04.20222.47 Mб1Учебное пособие 1849.pdf
#
30.04.2022316.27 Кб2Учебное пособие 185.pdf
#
30.04.20222.47 Mб10Учебное пособие 1850.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1851.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1852.pdf
#
30.04.20222.49 Mб9Учебное пособие 1853.pdf
#
30.04.20222.49 Mб4Учебное пособие 1854.pdf
#
30.04.20222.49 Mб3Учебное пособие 1855.pdf
#
30.04.20222.5 Mб6Учебное пособие 1856.pdf
#
30.04.20222.51 Mб7Учебное пособие 1857.pdf