Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1852

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

v x e Pdx , где Pdx - какая-нибудь первообразная. Очевид-

но, что v (x)0.

Подставляя найденное значение v (x) в уравнение (6.6),

получим	e Pdx	du	Q(x)	или	du	Q(x)	, откуда
		dx			dx	e Pdx

u x e PdxQ x dx C .

Подставляя u и v в формулу (6.5), окончательно получим

e PdxQ x dx C .

y e Pdx

Пример. Решить уравнение

y (x 1)3 .

x 1

Решение. Пусть y=uv, тогда

Подставляя выражение

в исходное уравнение, получим

uv (x 1)3 .

(x 1)

(6.8)

Для определения v получим уравнение

v 0

, т.е.

x 1

2dx

, откуда

2 ln

x 1

или

v (x 1)2 .

Подставляя

x 1

выражение функции v в уравнение (6.8), получаем для опреде-

ления u уравнение x 1 2				du	(x 1)3 , или			du	(x 1) ,
ления u уравнение x 1 2				dx	(x 1)3 , или			dx	(x 1) ,
				dx				dx
откуда u	(x 1)	2	C . Следовательно, общий интеграл задан-

	2
	2
ного уравнения будет иметь вид						y	(x 1)4		C(x 1)2 .
ного уравнения будет иметь вид						y	2		C(x 1)2 .
							2
					110

Пример. Найти частное решение дифференциального

уравнения

y ytgx cos2 x ,

удовлетворяющее начальному ус-

ловию у(0) =1.

Решение. Положим y=uv, тогда

vtgx

cos

x . Определим v так, чтобы выра-

жение в скобках обратилось в нуль. Тогда dvdx vtgx , разделяя

переменные,

получим

sin x

dx , интегрируя уравнение,

cos x

найдем ln

cos x

или v cos x

Для определения u имеем уравнение

u cos xdx sin x C .

cos x

cos2

x ,

cos x ;

Умножив u на v, получим общее решение y cos x(sin x c) .

Используя начальное условие у(0) =1, найдем 1= сos0 (sin0 +C), откуда С=1. Искомое частное решение будет иметь вид y cos x(sin x 1) .

6.1.4. Уравнения Бернулли

Уравнение (нелинейное) вида

dy	P(x) y Q(x) y m ,	(6.9)
dx

где m0, m1, называется уравнением Бернулли. Уравнение преобразуется в линейное подстановкой z x y1 m .

		В результате уравнение	(6.9) преобразуется к виду
1		z P(x)z Q(x) , то есть	к линейному относительно

	1 m
функции z(x) уравнению.
111

Пример. Решить уравнение y xy x2 y 4 .

Решение. Поскольку данное уравнение является уравнением Бернулли, разделим правую и левую часть уравнения на

y 4 . Получим

x 2 . Введем замену

z x y 3 , тогда

y 4

xy 3

z x 3y 4 y .

Тогда

x 2

- линейное уравнение.

Введем

замену

(x)

(x),

Тогда

3uv

. Отсюда v

;

3dx

Интегрируя

уравнение,

имеем

3ln

или

v x3 . Для определения u имеем уравнение

3x2

или

3 .

Тогда

u 3ln

z x x3 3ln

C .

Сделав

обратную

замену,

имеем

x 3

Задачи для самостоятельного решения [6, №№ 39013906, 3913, 3914, 3934-3942, 3945, 3954-3958, 3965-3967].

112

Задачи для самостоятельного решения

В следующих уравнениях: 1) найти общие решения уравнений; 2) найти частные решения по начальному условию

y0 4 при x0		2.
1.	xy y 0.	2. xy y 0.		3. yy x 0.	4.	y y.
	Найти общие решения уравнений:
5.	x2 y y 0.		6. x xy y y xy 0.
7. (1 y2 )dx (1 x2 )dy			8. y xy 1 x2 y .
9.	(xy 2 x)dx ( y x2 y)dy 0.			10. 1 2y xdx (1 x2 )dy 0.
11. xy(1 x2 ) y 1 y 2 .			12. e y (1 x2 )dy 2x(1 e y )dx 0.

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

13.2 y x y, y0 1 при x0 4.

14.y 2 y 1 ctg x, y0 1/ 2 при x0 / 4.

15.x2y y 2 0, y0 1 при x0 1.

16. (1 e x ) yy e x , y	0	1 при x	0	0.
	0		0

	y 2						y0 1 при			x0 e.
17.				y ln x,
18.	xy		y		, y		1 при	x		e.
						0			0
		ln x

19.y tg x y 1, y0 1 при x0 / 2.

20.y sin x y ln y, y0 1 при x0 / 2.

21.	(1 y2 )dx xydy 0,		y	0	1	при x	0	2.
				0			0

22.	2 ydx dy,	y0 1 при x0				0.
					113

23. 2x 1 dy y 2dx 0,

1при x

Найти общие решения уравнений:

24. y y e x . 25. y x y.

26. y x2 y x2 . 27. xy y 3.

28.

xy y e x .

29.

30. y 2xy 2xe x2 .

31.

1 2x

y 1.

32.

y y cos x.

33.

y cos x y sin x sin 2x.

34. xy y ln x 1.

35. y

2 y

e x2

36. y y tg x ctg x.

37. y y cos x sin 2x.

38. xy 2 y x2 .

39.y 2 y e x x 2 .

Решить уравнения Бернулли:

40. y x y xy 2 .

41. y xy y3e x2 .

42. y y xy 3.

43. y x3 y3 xy.

44. x2 y y 2

xy.

45. xy y y 2 ln x.

46. y xy xy 3.

47. xy 2 y x5 y 2 .

Ответы

1. y = Cx, y = 2x. 2.

xy = C, xy = 8.

3. x2 y 2 C.2

x2 y 2 20. 4.

y Ce x , y 4e x 2. .

y Ce1/ x. .

6. x y ln C(x 1)( y 1).

7. y

C x

8. y 1

1 Cx.

1 x

9. 1 y 2 C(1 x2 ) . 10.

x2 )

2(1

114


11.	(1 y 2 )(1 x2 ) Cx2 .																						12. 1 e y							C(1 x2 ).												13. y e x 2 .
	y 2sin 2								x						1			15. y x.										16. 2e y2 / 2
14.															1	.																									e		(1 e x ).
14.														2		.																									e		(1 e x ).
														2

17.		y x ln x x 1. 18.																				y ln x.						19.					y 2sin x 1. 20. y = 1
		2									2														2										2					1						1
21.	x		2 2 y										.	22.						y x 1							.	23.					ln					x								2		1 .
21.	x		2 2 y										.	22.						y x 1							.	23.					ln					x								2		1 .
																																			9					9
																																			9					9						y
24.	y x C e x . 25.																		y Ce x x 1.											26.					y 1 Ce x3 / 3.
27.	y 3						C	.						28.				y			e x C				.					29.					y Cx3						x2 .
27.	y 3						x	.						28.				y					x		.					29.					y Cx3						x2 .
							x																x
30.	y x2 C e x2 .																			31.		y Cx2e1/ x x2.
32.	y Ce x										1			cos x sin x .													33.			y					C cos 2x									.
32.	y Ce x													cos x sin x .													33.			y														.
											2																									2 cos x
																							C e x2																						ln Ctg			x
									C																													y 1
34.	y ln x								C			.					35.			y									.					36.														2				.
34.	y ln x											.					35.			y									.					36.																		.
									x														2x2																							cos x
37.	y 2 sin x 1 Ce sin x . 38.																										y			x2						C		. 39. y Cx2											e x .
37.	y 2 sin x 1 Ce sin x . 38.																										y			4						x2		. 39. y Cx2											e x .
																														4						x2
40.	y				1					. 41.							y2					ex 2				. 42.				y											1									.
40.	y									. 41.							y2				2x C					. 42.				y																				.
				x ln Cx																	2x C																x 1/ 2 Ce										2 x
																																					x 1/ 2 Ce
43.	y							1												. 44.			y					x			. 45. y										1										.

																								C ln x															ln x 1 Cx
						Ce x2 x2											1							C ln x															ln x 1 Cx
46.	y 2						1							. 47.				y									1					.
46.	y 2													. 47.				y														.
					1 Ce x2																	1/ 3x5 Cx2

115

6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде

F(x, y, y , y ,..., y (n) ) 0

или, если его можно разрешить относительно n-й производной,

y (n) f (x, y, y , y ,..., y (n 1) ) .	(6.10)
Определение. Общим решением дифференциального
уравнения n-го порядка называется функция
y (x, C1 , C2 ,...,Cn ) ,
зависящая от n произвольных постоянных C1 , C2 ,...,Cn	и такая,
что:

а) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных C1 , C2 ,...,Cn ;

б) при заданных начальных условиях

x x0

y , ... ,

y (n 1)

x x0

(n 1)

постоянные C1 , C2 ,...,Cn

можно подобрать так, что функция

y (x, C1 , C2 ,...,Cn ) будет удовлетворять этим условиям.

Соотношение вида

Ф(x, C1 , C2 ,...,Cn ) 0

называется об-

щим интегралом дифференциального уравнения.

Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных C1 , C2 ,...,Cn , называется

частным решением.

6.2.1. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимые к уравнениям первого порядка

1. Уравнения вида

y(n) f (x) .

(6.11)

Решение такого уравнения находится n – кратным интегрированием.

116

	Пример. Найти общее решение уравнения y sin x .
	Решение. Последовательно проинтегрировав данное
уравнение,		получим	y	sin xdx cos x C1 ;

y	cos x C1 dx sin x C1 x C2 .

	2. Уравнения вида
		F x, y , y 0 ,		(6.12)
которые не содержат явным образом искомую функцию у.
	Порядок	уравнения понижают	полагая y q(x) . То-

гда y q (x) . Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка F x, q, q 0 относительно неизвестной функции q(x) . Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение q = q (х, С1), а затем из

соотношения dydx q получаем общий интеграл исходного уравнения y q(x, C1 )dx C2 .

Пример. Найти общее решение уравнения xy y ln(y / x) .

Решение.

Полагая y q , преобразуем уравнение к виду xq q ln(q / x) или q (q / x) ln(q / x) .

Это однородное уравнение первого порядка. Полагая q/x = z, откуда q = zx, q z x z , получим уравнение

z x z z ln z		или			dz		x z(ln z 1)	, разделяя переменные, по-

					dx
лучим	dz		x	dx		.

	z(ln z 1)			x

Интегрируя, полученное уравнение, находим

117

ln(ln z 1) ln x ln C	или	ln z 1 xC , откуда z e1 C1x , воз-
1		1
вращаясь к переменной у,		приходим к уравнению y xe1 C1x .
Следовательно, y xe1 C1x dx . Применяя интегрирование по

частям, получим y

xe1 C1x dx

xe1 C1x

e1 C1x C

C 2

Пример. Найти частное решение уравнения

x(x 1) ,

x 1

удовлетворяющее начальным условиям y(2) 1, y (2) 1.

Решение. Полагая

y q , преобразуем уравнение к виду

x(x 1) .

x 1

Это линейное уравнение первого порядка, удовлетво-

ряющее начальному условию.

Положим

q=uv,

тогда

.Подставим в

уравнение

x(x 1) ;

x(x 1) .

x 1

Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось в

нуль.

Тогда

разделяя

переменные,

получим

x 1

интегрируя

уравнение, найдем ln v ln(x 1)

или

x 1

v x 1.

Для

определения

u имеем

уравнение

x ,

xdx

x 2

C .

Умножив u на v, получим

118

	2			x	3		x	2
y q	x	C	(x 1)	x			x		C x C .
y q		C	(x 1)						C x C .
	2	1		2		2			1	1
	2			2		2

Интегрируя еще раз, найдем общее решение исходного уравнения

				x 3		x	2				x 4	x	3				x 2
		y						C x C		dx				C				C x C	2
		y						C x C		dx				C				C x C
					2	2			1	1	8	6				1	2	1
					2	2					8	6					2
		Используя начальные условия									y(2) 1, y (2) 1 , найдем
	16 8				4								8

1		8 6 C1 2 2C1 C2 ;
											1 2				C2 ;
											1 2		6		C2 ;
			8	4									6
	1		8	4	2C		C		;	1		4 2				C .
	1				2C	1	C		;	1		4 2				C .
			2	2		1	1										1
			2	2

Получили систему линейных уравнений, из которой найдем постоянные С1 = -3 и С2 =1/3. Искомое частное решение будет иметь вид

y	x 4		x 3	3	x 2	3x	1	1	(3x 4	4x 3 36x 2	73x 8).

8		6		2			3	24
3. Уравнения вида
						F y, y , y 0 ,					(6.13)

которые не содержат явным образом независимую перемен-

ную х.

Делаем замену

y p y ,

(6.14)

то

есть

будем

считать р функцией от

у. Тогда

d 2 y

p. Подставляя эти выражения в исход-

dx 2

dy dx

ное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р

F y, p, p 0 .

Интегрируя его, найдем р как функцию от у и произвольной постоянной С1:

р=р (у, С1).

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.46 Mб7Учебное пособие 1848.pdf
#
30.04.20222.47 Mб1Учебное пособие 1849.pdf
#
30.04.2022316.27 Кб2Учебное пособие 185.pdf
#
30.04.20222.47 Mб10Учебное пособие 1850.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1851.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1852.pdf
#
30.04.20222.49 Mб9Учебное пособие 1853.pdf
#
30.04.20222.49 Mб4Учебное пособие 1854.pdf
#
30.04.20222.49 Mб3Учебное пособие 1855.pdf
#
30.04.20222.5 Mб6Учебное пособие 1856.pdf
#
30.04.20222.51 Mб7Учебное пособие 1857.pdf