Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1852

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

			2	1 cos 2t												a 2									a		2
		2	2	1 cos 2t												a 2			sin 2t				2		a		2
a									dt									1										.
a					2				dt						2			1	2							4		.
			0		2										2				2				0			4

														e x 1 t; x ln(t 2										1)
																		2t
ln 2																		2t
3.				e x 1dx dx																dt;
3.				e x 1dx dx													1 t 2			dt;
																	1 t 2
	0
										x 0 t 0; x												ln 2 t					1
												1					1				2					2
1										1					2 1 1
t				2t		dt		2					t		2 1 1				dt
t			1 t 2			dt		2							t 2		1		dt
0										0
			1		1																		2 1					.
								dt		2
								dt		2												0
2				dt							2 t arctgt											1

					0		1 t																					4
		0			0

3.5. Интегрирование по частям в определённом интеграле

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы в a, b . Тогда, дифференцируя произведение, получим

du(x)v(x) udv vdu.

Проинтегрировав это тождество по х в промежутке a, b ,

получим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

b		b
udv uv	ba	vdu	(3.6)


a		a

Пример.

			dx
u ln(1	x);	du
u ln(1	x);	du	x
ln(1 x)dx		1	x
		v x.
dv dx;		v x.
60

;

		1		xdx			1	1	dx
x ln(1 x)			10				ln 2 dx

				x 1					x
										1
		0					0	0		1
		0					0	0
ln 2 x	1	ln(1 x)			1	ln 2 1 ln 2 2 ln 2 1.
ln 2 x	1	ln(1 x)			1	ln 2 1 ln 2 2 ln 2 1.
	0				0
	0				0

3.6. Несобственные интегралы b

При определении интеграла f (x)dx предполагалось a

1)промежуток a, b конечен;

2)функция f(x) определена и непрерывна в a, b .

Рассмотрим теперь интегралы, для которых эти условия нарушаются.

3.6.1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы первого рода)

Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке a, .

На данном промежутке

не существует опреде-

лённый интеграл, по-

y=f(x)

скольку нельзя разбить

промежуток a, на n

частей конечной длины.

Рис. 3

Тем не менее интегралы с бесконечными пределами встречаются как в математике, так и в приложениях. Однако это уже иные интегралы.

Определение. Несобственным интегралом от функции f(x) по бесконечному промежутку a x называют

		b
f (x)dx	lim	f (x)dx .
a	b a

Если предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Примеры.

lim

lim arctgx

1 x

lim arctgb arctg 0

. Интеграл сходится.

sin xdx

lim

sin xdx lim cos x

lim 1 cos b .

Предел не существует – интеграл расходится.

3. 1 xdxp . При каких р интеграл сходится и при каких расходится?

x p dx lim

x p 1

1) Пусть

p>1.

p 1

lim

. Интеграл сходится.

p 1

( p 1)b

p 1

2) Пусть p<1.

x p 1

dx x p dx lim

p 1

1 p

Интеграл расходится.

3) Пусть р=1.	dx	lim ln x	b	.


1 x		b	1

Интеграл расходится.

Замечание. Большинство свойств определённого интеграла (кроме оценки и теоремы о среднем) для несобственных интегралов сохраняются.

Если f(x) непрерывна на промежутке , a , то анало-

	b			b
гично		f (x)dx		lim	f (x)dx .
			a
				a
	Если f(x) непрерывна на всей числовой оси, то
				c
	f (x)dx			f (x)dx f (x)dx .
					c

Интеграл, стоящий слева, называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части.

Часто бывает достаточно знать, сходится или расходится рассматриваемый несобственный интеграл. Для этого могут

быть полезны следующие теоремы.
	Теорема. Пусть для x a, выполняется соотноше-
ние 0 f (x) g(x) , тогда:

1)	если	g(x)dx сходится, то сходится и	f (x)dx ;
		a	a

2)	если	f (x)dx расходится, то расходится и		g(x)dx .
		a		a

Примеры.

1. Исследовать сходимость интеграла dx .

1 x2 1 e x

Сравним данный интеграл с известным сходящимся ин-

тегралом

. Так как при x 1

x2 1 e x

то

x2 1 e x

. Следовательно, интеграл сходится.

2. Исследовать сходимость интеграла

dx .

Действительно,

при x 1

x x

, а

расходится,

следовательно,

dx расходится.

3.6.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)

Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нём. Пусть функция f(x) определена и непрерывна при

a x b , в точке b терпит бесконечный разрыв (разрыв второго рода). В этом смысле определённый интеграл на a, b не может существовать, так как не существует предел интеграль-

ных сумм. Возьмём произвольное число 0 и рассмотрим отрезок a,b , на котором функция f(x) непрерывна, а зна-

чит, существует определенный интеграл на этом отрезке.

Определение. Несобственным интегралом второго ро-

	0	b		b
	0		f (x)dx
да называется	lim		f (x)dx		f (x)dx .
		a		a

Если предел не существует или бесконечен, то несобст-

венный интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл с особенностью на нижнем пределе. Пусть f(x) непрерывна на a x b , при х=а имеет разрыв второго рода, тогда

f (x)dx

lim

f (x)dx..

Примеры.

Исследовать сходимость интегралов.

2 lim 1

2 .

lim

2 dx 2 lim

Интеграл сходится.

2. 0 xdxp . Установить, при каких р данный интеграл сходится.

1 . Интеграл расхо-

а) р=1, тогда

lim

lim ln x

дится.

b) p>1, тогда

lim

x p dx lim

x p 1

x p

p 1

1 p

lim

Интеграл расходится.

1 p

с) p<1, тогда

1 dx

lim

x p dx lim

x p 1

x p

p 1

lim

1 p

Интеграл сходится.

1 p

Если функция f(x) на отрезке a, b имеет несколько точек

разрыва первого рода. Тогда промежуток разбивают на частичные так, чтобы на каждом из них было по одной точке разрыва, расположенной на конце интервала

b	c	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.
a	a	c

Если все интегралы в правой части сходятся, то сходится и интеграл в левой части. Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и интеграл, стоящий справа.

Теорема. Пусть для всех х a x b , выполнено условие 0 f (x) g(x) , причём f(x) и g(x) непрерывны при a x b , а при x=b имеют бесконечные разрывы. Тогда

1) если g(x)dx

сходится, то сходится и f (x)dx ;

2) если f (x)dx

расходится, то расходится и g(x)dx .

Пример.

Исследовать

сходимость

интеграла

100

, используя теоремы сравнения.

При х=0 подынтегральная функция терпит разрыв. Срав-

4 x

ним данный интеграл с интегралом

100

, который сходится.

Так как

1					1			100			dx		100	dx
							, то								и данный
									3
3	x	24	x	x 3	4	x			3	x 24		x x3		4 x
								0					0

интеграл сходится.

Задачи для самостоятельного решения: [1, гл.12, №№ 10,

12, 19, 41, 45, 46], [3, №№ 1596 1599, 1613 1615, 1628 1631, 1636 1638], [4, гл.6, №№ 6.3, 6.5, 6.7, 6.11, 6.15, 6.41,

6.42, 6.55, 6.57 6.69, 6.81, 6.83, 6.86].

Задачи для самостоятельного решения

b
1. xn dx	(n 1).
a

5. ( x x2 )dx.

/ 2

8.cos xdx.

2. (3x2 1)dx.

6. sin xdx.

9. dx .

0 1 x2

2	dx						2
3.	dx		.		4. e x dx.
3.			.		4. e x dx.
1		x					1
1							1
3			dx
7.			dx			.


0		1 x 2
		/ 4			x2
10.					x2			dx.
10.				1	x2			dx.
		0		1	x2
		0

0	3x4	3x2	1
11.	3x4	3x2	1
				dx.
	1 x2			dx.
/ 4	1 x2
/ 4

14. x 3 x dx.

e dx

17.1 x1 (ln x)2 .

	2		1
12.		x2			dx.
12.		x2		4	dx.
			x	4
	1		x
	1

15. sin 2dx.

xdx

18. .

4x2

	1					dx
13.						dx			.



	0				4 x2
1				xdx
16.				xdx				.

		(x		2		1)	2
0		(x				1)
0

19.						dx				.

			3 2 cos x
	0

	/ 2															3
20.	sin x cos 2 xdx .												21.				x sin xdx.
	0															2
	1					dx										e
23.						dx					.	24.				ln 2 xdx.

			x		2	2x 2
	1		x			2x 2										1
	1															1
	1												1
26.	xe x2 dx.											27.	x2e x dx.
	1												1
	/ 2					dx							4				dx
29.						dx				.		30.					dx					.
29.										.		30.										.
	0		2 cos x										0 1								x
	1/ 2												4
	1/ 2			1 x									4						dx
32.				1 x				dx.				33.							dx						.
32.								dx.				33.													.
	0			1 x									0	1						2x 1
	0												0
	/ 2															1			dx
35.	cos x sin 2 xdx.											36.							dx					.
35.	cos x sin 2 xdx.											36.							x					.
	0															0		e					1
	0															0
	1				dx										/ 4
38.					dx				.			39.				sin 4xdx.


	0			x2 1												0
	3		dx									dx
41.			dx				. 42.					dx					. 43.						e x

		x x 2										25 x 2
	1										0												0
											0												0

22. ln xdx.

25. arctg xdx.

28. x2 a2 x2 dx.

31. x dx. x 1

/ 2

34.sin x cos 2 xdx.

1				dx
37.				dx			.

		e	x	e	x
0		e		e
0
/ 4
40. tg3 xdx.
	0
	1
dx. 44.				xdx				.

				1 x		2
	0			1 x
	0

Ответы

	bn 1 an 1																							6. 2. 7. ln(3
	bn 1 an 1
1.									.		2.		6. 3. ln2. 4. e(e – 1). 5. 1/3.																				10).
1.			n 1						.		2.		6. 3. ln2. 4. e(e – 1). 5. 1/3.																				10).
			n 1
8. 1. 9.					/ 4. 10.									arctg			.			11.		3						.		12. 21/8.
8. 1. 9.					/ 4. 10.									arctg			.			11.			arctg					.		12. 21/8.
													4			4							64				4
																							. 18.
13.	/ 6.				14. 10/3.									15. 0.		16.			1	. 17.						3		2	.	19.				.
13.	/ 6.				14. 10/3.									15. 0.		16.		4		. 17.							2		.	19.				.
																		4					2				2						5
20.		1	. 21.				5 . 22. 1. 23. аrctg 2.													24.			e – 2.	25.							ln 2.
20.	3		. 21.				5 . 22. 1. 23. аrctg 2.													24.			e – 2.	25.							ln 2.
	3																											3
						e2 5									a 4
						e2 5						.			a 4					3			30. 4 2ln 3. 31. 2ln2 – 1.
26. 0. 27.													28.		. 29.						.
26. 0. 27.								e					28.		. 29.						.
								e							16			9
	1
32.							3			.	33. 2 – ln2.						34. 1/3. 35. 1/3.								36. ln						2e	.
32.										.	33. 2 – ln2.						34. 1/3. 35. 1/3.								36. ln							.
	6					2																									e 1
		arctge / 4. 38.													ln(1			39. 1/2. 40.						1 ln 2						. 41.			ln		3	.
37.																	2).							1 ln 2											3
37.																	2).										2
																											2						2
42.				. 43. 1.							44. 1.
42.	10			. 43. 1.							44. 1.
	10

4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Литература: [1, гл. 12, §§ 1 5].

4.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Если f (x) 0 на отрезке a, b , то площадь криволиней-

ной трапеции вычисляют по формуле S= f ( x)dx .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.46 Mб7Учебное пособие 1848.pdf
#
30.04.20222.47 Mб1Учебное пособие 1849.pdf
#
30.04.2022316.27 Кб2Учебное пособие 185.pdf
#
30.04.20222.47 Mб10Учебное пособие 1850.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1851.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1852.pdf
#
30.04.20222.49 Mб9Учебное пособие 1853.pdf
#
30.04.20222.49 Mб4Учебное пособие 1854.pdf
#
30.04.20222.49 Mб3Учебное пособие 1855.pdf
#
30.04.20222.5 Mб6Учебное пособие 1856.pdf
#
30.04.20222.51 Mб7Учебное пособие 1857.pdf