Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1852

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

f x dx f x ;

2)дифференциал от неопределённого интеграла равен

подынтегральному выражению: d f x dx f x dx .

3) неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная посто-

янная: dF(x)=F(x)+С.

2.2. Таблица неопределённых интегралов

1. xadx xa 1 c a 1 . a 1

2. dxx ln x c x 0 .

3. axdx ax c a 0;a 1 . ln a

4.exdx ex c .

5.sin xdx cos x c .

6.cos xdx sin x c .

7.			dx	tgx c .

		cos2 x
8.			dx	ctgx c .

	sin2 x
			dx
					arcsin x c
9.						.
9.						.
		1 x2			arccos x c

arcsin

10.

a 2 x 2

arccos

11.

arctgx c

arcctgx c .

1 x2

arctg

a 2 x 2

arcctg

13.

a 2

c .

x2 a

a x

14.

c .

a x

Так как интегрирование есть операция обратная дифференцированию, то прочитав таблицу интегралов справа налево, получим таблицу производных.

Интегралы, содержащиеся в таблице, называются табличными. Вычисление интеграла сводится к последовательным операциям, результатом которых является приведение заданного интеграла к табличному (если это возможно).

2.3. Основные свойства неопределённого интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

Af x dx A f x dx .

2.Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен сумме неопределённых интегралов от слагаемых:

f x g x dx f x dx g x dx

(верно для любого конечного числа слагаемых). 3. Если f x dx F x c , то

f x b dx F x b c ;

f ax dx 1a F ax c ;

f ax b dx a1 F ax b c .

Примеры. Вычислить неопределенные интегралы:

					1
	x 3 x 2 x x 1			1 x	1
		dx	x			x 2	dx
1.					2
1.					2
	x 2

xdx dx x

dx x 2 dx

x 2 x

c .

x 2

1 dx

xdx

x 5

c .

x 5

tg3x c .

cos

	1
x 2				1
x 2	x 2		x	1
x					c =
x					c =
2		1	1
	2

x 2 ln x c . 2

5. sin(2x 1)dx 12 cos(2x 1) c.

2.4. Интегрирование с помощью замены переменной

Одним из самых распространенных методов интегрирования является метод замены переменной.

Пусть надо вычислить интеграл f(x)dx, который не яв-

ляется табличным.

Часто его можно упростить, введя вместо х новую переменную t, положив

x = φ(t) и dx = φ′(t)dt.

Предположим, что ƒ(х) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции φ(t) и φ′(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Тогда

f x dx f t t dt .

(2.1)

Функцию x = φ(t) следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой

части равенства (2.1).
Однако чаще	употребляют обратную замену
x t ; x dx dt ,	то есть заменяют ту функцию, стоящую

под интегралом, дифференциал (производную) от которой, мы

видим

стоящим

под

этим

интегралом:

f x

f (x) t

f x

c ln

c .

f x

f (x)dx dt

Примеры.

1. (sin x) cos xdx

sin x t

t 1

cos xdx dt

sin x 1 c.

2. e x sin e x dx

e x t

sin tdt

cos t c cos e x c .

e x dx dt

3. 2xe x

et dt e x

c .

2xdx dt

sin x t

sin x cos xdx

t 2 dt

cos xdx dt

(sin x) 32

xdx

x 2

1 t

ln x 2 1 c .

2xdx dt

6..

xdx

x 2

xdx

4 x

4 t 2

x 2 4

x 4

C .

4 t 2

2.5. Правило интегрирования по частям

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем: d uv vdu udv .

Интегрировав обе части равенства по х, имеем

d uv vdu udv,

uv vdu udv,

udv uv vdu

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла udv к вы-

числению интеграла vdu, который может оказаться проще

исходного.

С помощью интегрирования по частям вычисляются интегралы следующих видов.

а) eaxPn x dx , Pn x sin xdx; Pn x cos xdx .

Во всех этих интегралах многочлен Рn(x) умножается на

функцию, интеграл от которой является табличным. В этом
случае за u(x) выбирают Pn x .
б) ln xPn x dx , Pn x arcsin xdx;	Pn x arctgxdx .
Во всех этих интегралах многочлен	Рn(x) умножается на

функцию, интеграла от которой в таблице нет. В этом случае

за u(x)	выбирают ln x, arcsin x, arccos x, arctg x и т.д.
в)	eax sin bxdx, eax cos bxdx.

Такого вида интегралы берутся по частям два раза.

Примеры. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

		u x;			du dx
1.	xe x dx		x
			x	dx;	v e	x
	dv e			dx;	v e
xe x e x dx xe x e x c.
			u x;			du dx

2.	x cos xdx
		dv	cos xdx;			v sin x

x sin x sin xdx x sin x cos x c.

3. (x				u x 2 2x 3;				du (2x 2)dx
	2		x
	2	2x 3)e	x	dx
		2x 3)e		dx	dv e	x	dx;	v e	x
					dv e		dx;	v e

(x 2 2x 3)e x (2x 2)e x dx

Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям

u 2x 2;

du 2dx

(x 2 2x 3)e x (2x 2)e x

dx;

v e

dv e

2 e x dx (x 2 2x 3)e x (2x 2)e x 2e x c.

u ln x, du

x5 ln xdx

ln x

dv x5dx, v

ln x

c .

u arctgx,

xarctgxdx

1 x 2

dv xdx

v x

/ 2

x 2

arctgx

x 2

arctgx

x 2 1 1

1 x

x 2

arctgx

)dx

x 2

arctgx

arctgx c.

1 x

u e x , du e x dx

6. e

sin xdx

cos x

dv sin xdx, v cos x

u e x , du e x dx

cos xdx

cos x

sin x

v cos x

e x sin xdx.

Получили интеграл равный данному. Обозначив его за J, получим равенство J e x sin x cos x J . Перенеся J в ле-

вую часть равенства, имеем 2J e x sin x cos x .

В результате ex sin xdx ex sin x cos x c . 2

2.6. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух много-

P x

x a

x 2

... a

x n

членов:

Qm x

b x b x 2

... b

x m

Если степень числителя меньше степени знаменателя, то

дробь правильная. В противном случае дробь называется неправильной. Неправильную дробь путём деления числителя на

знаменатель всегда можно представить в виде суммы много-
члена и правильной рациональной дроби:
	Pn x				Pk	x
				N x			k m .
	Q	m	x	N x	P	x	k m .
		m			m

Пример. Вычислить интеграл x5 dx. x2 1

Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь. Разделив числитель на знаменатель, вы-

делим целую часть:

x 3

, Тогда

x 2 1

x 2

ln x2

1 c.

dx x3

2 2

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби всегда может быть сведено к интегрированию

многочлена и правильной рациональной дроби. Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

I.	A	; II.	A	; III.	Ax B	; IV.		Ax B	;

	x a		x a k		x 2 px q		x 2	px q k

где A, B, р, q – действительные числа, а трёхчлен x2 + px +q

не имеет действительных корней, т.е. D = p 2 4q 0 называ-

ются простейшими дробями I, II, III

и IV типов.

Проинтегрируем простейшие дроби I, II, III:

x a

dx A

Aln

x a

c .

x a

x a k 1

II.

dx A x a k d x a

x a

k 1

k 1 x a k 1

III.Рассмотрим интеграл

Ax B

dx .

x2 px q

Выделим в числителе производную знаменателя

px q

2x p 2 x

2x p B

x 2 px q

2x p dx

x 2 px q

2 x 2 px q

x 2 px q

Рассмотрим отдельно второй интеграл

x 2

px q

Выделим

знаменателе

полный

квадрат

d x

x 2 px q

p 2

arctg

c. z

; q

2 .

z 2 2

Окончательно получим:

I 3

px q

c ,

arctg

p 2

Пример.

Вычислить

неопределенный

интеграл:

2x 2 2

2x 2 dx

x 3

2x 2

x 1

12 ln x2 2x 2 2arctg x 1 c.

IV. Интеграл от дроби этого типа выражается через сумму дробно – рациональных функций и арктангенс.

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.46 Mб7Учебное пособие 1848.pdf
#
30.04.20222.47 Mб1Учебное пособие 1849.pdf
#
30.04.2022316.27 Кб2Учебное пособие 185.pdf
#
30.04.20222.47 Mб10Учебное пособие 1850.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1851.pdf
#
30.04.20222.48 Mб3Учебное пособие 1852.pdf
#
30.04.20222.49 Mб9Учебное пособие 1853.pdf
#
30.04.20222.49 Mб4Учебное пособие 1854.pdf
#
30.04.20222.49 Mб3Учебное пособие 1855.pdf
#
30.04.20222.5 Mб6Учебное пособие 1856.pdf
#
30.04.20222.51 Mб7Учебное пособие 1857.pdf