Методическое пособие 813

УДК 624.04

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВОЙ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ НА КУСОЧНО-ОДНОРОДНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ,

ОБРАЗОВАННОМ ДВУМЯ УЧАСТКАМИ РАЗЛИЧНОЙ ЖЕСТКОСТИ

Г. В. Денисов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Россия, г. Санкт-Петербург, тел.: (812)552-60-87, e-mail: smitu@cef.spbstu.ru

Г. В. Денисов, канд. техн. наук, ассистент кафедры строительной механики и строительных конструкций

Постановка задачи. Несмотря на внедрение в инженерную практику численных методов расчета, модели «стержень на упругом основании» и «балка на упругом основании» по-прежнему широко используются для описания поведения конструкций и сооружений. Вместе с тем большинство имеющихся исследований выполнено без учета различий в свойствах грунтового основания. Настоящая работа посвящена исследованию динамики стрежня конечной длины на кусочнооднородном упругом основании, образованном двумя участками различной жесткости. Целью исследования является получение аналитических зависимостей для первой частоты собственных продольных колебаний стержня при различных условиях закрепления его концов. Отметим, что ранее уже проводились подобные исследования для консольного стержня, однако поставленная задача была решена численно и только для частных случаев без получения общей аналитической зависимости, что делает полученные результаты трудно реализуемыми на практике.

Результаты. С использованием метода Ритца получены аналитические зависимости для определения первой частоты собственных продольных колебаний защемленного, свободного и консольного стержня, расположенного на кусочно-однородном упругом основании. Количественная оценка показывает хорошую согласованность с результатами численных решений и данными других исследователей.

Выводы. Показано, что первая частота собственных продольных колебаний находится в тригонометрической зависимости от соотношения длин участков и в диапазоне, задаваемом полной длиной стержня, жесткостями основанияи стержня, егопогонной массойиграничными условиямина концах.

Ключевые слова: стержень, упругое основание, частота, продольные колебания.

Введение. Несмотря на внедрение в инженерную практику численных методов расчета, главным образом метода конечных элементов [1], модели «стержень на упругом основании» и «балка на упругом основании» по-прежнему широко используются для описания поведения конструкций и сооружений, таких как железнодорожные пути [2, 3], магистральные трубопроводы [4], протяженные фундаменты [5] и т. д. При этом большинство исследователей не учитывают различий в свойствах грунтового основания, что в реальных условиях практически недостижимо.

Настоящая работа посвящена исследованию динамики стрежня конечной длины на ку- сочно-однородном упругом основании, образованного двумя участками различной жесткости. Целью исследования является получение аналитических зависимостей для определения первой частоты собственных продольных колебаний стержня при различных условиях закрепления его концов.

Отметим, что ранее уже проводились подобные исследования для консольного стержня [6], вместе с тем поставленная задача была решена численно и только для частных случаев без получения общей аналитической зависимости, что делает результаты указанной работы трудно применимыми на практике.

© Денисов Г. В., 2016

101

Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура

1. Стержень на однородном упругом основании. Для большей наглядности изложе-

ния начнем с рассмотрения колебаний стержня на однородном упругом основании. Пусть стержень имеет длину L и расположен на основании с жесткостью k.

Уравнение продольных колебаний стержня примем в виде

где ЕА — продольная жесткость стержня; т — погонная масса стрежня; k — коэффициент продольной жесткости упругого основания.

Решение (1) будем искать в виде [7]

где U(x) — функция координаты х; ω — искомая частота собственных колебаний; А, В— некие постоянные. После подстановки (2) в (1) можно записать:

102

2. Консольный стержень. Возвращаясь к теме работы, начнем с рассмотрения продольных колебаний стержня, один конец которого свободен, другой жестко оперт. Пусть стержень имеет длину L и расположен на кусочно-однородном основании с жесткостями k1 и k2, разграниченными условной координатой х = bL, где 0< b <1 (рис. 1).

Уравнение продольных колебаний стержня имеет вид (1), граничные условия — (6). Тогда выражение (5) для каждого участка стержня примет вид

где С1 и D2 — некие постоянные. Принимая в качестве условий в точке сопряжения х = bL условия равенства перемещений и деформаций двух участков стержня [9], получим следующее трансцендентное уравнение:

Отметим, что решения (8) находятся в диапазоне, ограниченном b = 0 и b = 1, то есть когда оба участка стержня Рис. 1. Постановка задачи расположены на основании с k2 и k1 соответственно. В условиях рассматриваемой задачи с учетом (7) для первой часто-

ты собственных колебаний запишем:

Для определения собственных частот колебаний ω, удовлетворяющих (13), воспользуемся методом Ритца [10, 11].

Принимая выражения для потенциальной и кинетической энергии колебаний стержня на упругом основании, согласно [9], после математических преобразований получим следующую систему уравнений:

где аn — коэффициенты базисных (координатных) функций φn(x), удовлетворяющих граничным условиям (6). Базисные функции примем в виде форм собственных продольных колебаний консольного стержня [11]:

103

Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура

(2n 1) x

n (x) cos , n 1,2...,N. (17)

2L

В качестве начального приближения U(x) по аналогии с [10, 11] для определения низшей собственной частоты колебаний ограничимся одним слагаемым в сумме Ритца:

После подстановки (18) в (16) и последующих математических преобразований получим следующее выражение для определения первой частоты собственных колебаний:

Выполним количественную оценку. Рассмотрим стальной стержень с продольной жесткостью ЕА = 4,96е9 Па, погонной массой т = 185,3 кг/м, длиной L = 20 м, расположенный на кусочно-однородном основании с k1 = 10 МПа и k2 = 20 МПа. Граничные частоты первой формы собственных колебаний составляют Ω1 = 522,3 Рад/с и Ω2 = 467,8 Рад/с. Результаты вычислений показывают, что погрешность расчетов по (19) относительно численного решения уравнения (13) составляет менее 0,1 %. Проводить дальнейшее уточнение представляется нецелесообразным.

Зависимость ω= ω(b), согласно (19), приведена на рис. 2, где красная линия соответствует условиям рассматриваемой задачи при k1 < k2, синяя — при k1 > k2 (k1 = 20 МПа, k2 = 10 МПа).

Рис. 2. Графики функции

ω= ω(b)

Сравнение частот, вычисленных по полученной зависимости (19) с данными [6], указывает на их хорошую согласованность. Так, различия для частных случаев составляют менее 0,01 %.

3. Свободный стержень.Далеерассмотримслучай,когдаобаконцастержнясвободны(8). Поступая по аналогии с консольным стержнем, для собственных частот колебаний сво-

бодного стержня получим следующее трансцендентное уравнение:

104

Значения низшей частоты находятся в следующем частотном диапазоне (10):

Для нахождения частот, как и ранее, воспользуемся методом Ритца [10, 11]. В качестве базисных функций φn(x), удовлетворяющих (8), примем собственные формы продольных колебаний свободно опертого стержня [11]:

В качестве начального приближения U(x) для определения низшей собственной частоты колебаний примем выражение, содержащее одно слагаемое:

x

U(x) a1 cos . (24)

L

После подстановки (24) в (16) и последующих математических преобразований получим следующее выражение для определения первой частоты собственных колебаний:

Результаты количественных оценок для ранее рассмотренных параметров стержня показывают, что погрешность относительно численного решения (20) не превышает 0,1 %. Дальнейшее уточнение представляется нецелесообразным. Зависимость ω= ω(b), согласно (23), приведена на рис. 3, где красная линия соответствует условиям рассматриваемой задачи при k1 < k2, синяя — при k1 > k2 (k1 = 20 МПа, k2 = 10 МПа).

Рис. 3. Графики функции

ω= ω(b)

4. Защемленный стержень. Теперь рассмотрим условия жесткого защемления обоих концов стержня (9). Соответствующее частотное уравнение будет иметь вид

105

Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура

Значения низшей частоты, как и ранее, находятся в частотном диапазоне, ограниченном

(21)и (22).

Вкачестве базисных функций φn(x), удовлетворяющих (9), примем собственные формы продольных колебаний защемленного стержня [11]:

В качестве начального приближения U(x) для определения низшей собственной частоты колебаний примем выражение, содержащее только одно слагаемое:

x

U(x) a1 sin . (28)

L

После подстановки (28) в (16) и последующих математических преобразований получим следующее выражение для определения первой частоты собственных колебаний:

Результаты количественных оценок для ранее рассмотренных параметров стержня показывают, что погрешность относительно численного решения (26), как и ранее, не превышает 0,1 %. Зависимость ω = ω(b), согласно (29), приведена на рис. 4, где красная линия соответствует условиям рассматриваемой задачи при k1<k2, синяя — при k1 > k2 (k1 = 20 МПа, k2 = 10 МПа).

Рис. 4. Графики функции

ω= ω(b)

Выводы

1.Получены приближенные аналитические выражения для первой частоты собственных продольных колебаний защемленного, свободного и консольного стержня, расположенного на кусочно-однородном упругом основании, образованном двумя участками различной жесткости. Количественная оценка показывает хорошую согласованность с результатами численных решений и данными других исследователей [6]. Полученные зависимости могут быть применены и в частном случае — случае частичного защемления стержня в упругое основание, то есть когда жесткость одного из участков равна нулю.

2.Показано, что первая частота собственных продольных колебаний стержня на ку- сочно-однородном упругом основании с двумя участками отличной жесткости находится в нелинейной зависимости от отношения длин участков.

106

3. Показано, что первая частота находится в диапазоне, задаваемым полной длиной стержня, жесткостями участков основания и жесткостью стержня, его погонной массой и граничными условиями на концах. Для определения указанного диапазона частоты получены простые аналитические зависимости.

Библиографический список

1.Rao, S. S. The Finite Element Method in Engineering / S. S. Rao. — Burlington: Elsevier, 2010. — 726 p.

2.Fryba, L. Vibration of Solids and Structures under Moving Loads / L. Fryba. — Prague: Academia, 1972. —

484 p.

3.Krylov, V. V. Rail Movement and Ground Waves Caused by High-Speed Trains Approaching Track-Soil Critical Velocities / V. V. Krylov, A. R. Dawson, M. E. Heelis, A. C. Collop // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part F: Journal of Rail and Rapid Transit. — 2000. — Vol. 214. — P. 107—116.

4.Денисов, Г. В. Особенности поведения подземных трубопроводов с конструктивными включениями при динамических воздействиях / Г. В. Денисов, В. В. Лалин // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. — 2012. — № 4. — С. 54—58.

5.Wolf, J. P. Foundation Vibration Analysis: A Strength-of-Materials Approach / J. P. Wolf, A. J. Deeks. — Burlington: Elsevier, 2004. — 214 p.

6.Filipich, C. P. Longitudinal Vibrations of a Rod Partially Embedded in Elastic Foundation / C. P. Filipich, P. A. A. Laura, V. H. Cortinez // Applied Acoustics. — 1988. — Vol. 23, № 4. — P. 273—279.

7.Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко. — М.: Наука, 1967. — 444 с.

8.Индейцев, Д. А. Локализация линейных волн / Д. А. Индейцев, Н. Г. Кузнецов, О. В. Мотыгин, Ю. А. Мочалова. — СПб: Изд-во Санкт-Петербург. ун-та, 2007. — 342 с.

9.Лалин, В. В. Трансформация волн, распространяющихся по струне и балке, как следствие неоднородности упругого основания / В. В. Лалин, Г. В. Денисов // Вестник гражданских инженеров. — 2013. — № 1 (36). — С. 46—54.

10.Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. — М.: Наука, 1967. — 984 с.

11.Бабаков, И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. — М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1958. —

628 с.

12.Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: в 10 т. Т. VII. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 4-е изд., испр. и доп. — М.: Наука, 1987. — 248 с.

References

1. Rao, S. S. The Finite Element Method in Engineering / S. S. Rao. — Burlington: Elsevier, 2010. —

726 p.

2.Fryba, L. Vibration of Solids and Structures under Moving Loads / L. Fryba. — Prague: Academia, 1972. —

484 p.

3.Krylov, V. V. Rail Movement and Ground Waves Caused by High-Speed Trains Approaching Track-Soil Critical Velocities / V. V. Krylov, A. R. Dawson, M. E. Heelis, A. C. Collop // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part F: Journal of Rail and Rapid Transit. — 2000. — Vol. 214. — P. 107—116.

4.Denisov, G. V. Osobennosti povedeniya podzemnyx truboprovodov s konstruktivnymi vklyucheniyami pri dinamicheskix vozdejstviyax / G. V. Denisov, V. V. Lalin // Stroitel'naya mexanika inzhenernyx konstrukcij i sooruzhenij. — 2012. — № 4. — S. 54—58.

5.Wolf, J. P. Foundation Vibration Analysis: A Strength-of-Materials Approach / J. P. Wolf, A. J. Deeks. — Burlington: Elsevier, 2004. — 214 p.

6.Filipich, C. P. Longitudinal Vibrations of a Rod Partially Embedded in Elastic Foundation / C. P. Filipich, P. A. A. Laura, V. H. Cortinez // Applied Acoustics. — 1988. — Vol. 23, № 4. — P. 273—279.

7.Timoshenko, S. P. Kolebaniya v inzhenernom dele / S. P. Timoshenko. — M.: Nauka, 1967. — 444 s.

8. Indejcev, D. A. Lokalizaciya linejnyx voln / D. A. Indejcev, N. G. Kuznecov, O. V. Motygin, Yu.

A.Mochalova. — SPb: Izd-vo Sankt-Peterburg. un-ta, 2007. — 342 s.

9.Lalin, V. V. Transformaciya voln, rasprostranyayushhixsya po strune i balke, kak sledstvie neodnorodnosti uprugogo osnovaniya / V. V. Lalin, G. V. Denisov // Vestnik grazhdanskix inzhenerov. — 2013. — № 1 (36). — S. 46— 54.

10.Vol'mir, A. S. Ustojchivost' deformiruemyx sistem / A. S. Vol'mir. — M.: Nauka, 1967. — 984 s.

11.Babakov, I. M. Teoriya kolebanij / I. M. Babakov. — M.: Gos. izd-vo texniko-teoretich. lit., 1958. —

628 s.

12.Landau, L. D. Teoreticheskaya fizika: v 10 t. T. VII. Teoriya uprugosti / L. D. Landau, E. M. Lifshic. — 4-e izd., ispr. i dop. — M.: Nauka, 1987. — 248 s.

107

Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура

DETERMINING THE FIRST FREQUENCY OF THE LONGITUDINAL VIBRATIONS OF A ROD ON A PIECEWISE-HOMOGENEOUS ELASTIC FOUNDATION FORMED BY TWO SECTIONS WITH VARYING STIFFNESS

G. V. Denisov

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Russia, St. Petersburg, tel.: (812)552-60-87, e-mail: smitu@cef.spbstu.ru

G. V. Denisov, PhD in Engineering, Lecturer of the Dept. of Structural Mechanics and Building Structures

Statement of the problem. Despite the introduction into engineering practice numerical methods for the calculation of the model «rod on elastic foundation» and «beam on elastic foundation» is still widely used to describe the behavior of structures and facilities. However, most existing research has been performed, neglecting the differences in the properties of the foundation. This paper considers the dynamics of the rod of a finite length on a piecewise-homogeneous elastic foundation formed by two sections of different stiffness. The aim of this study is to obtain analytical dependences for the first frequency of the longitudinal vibrations of a rod with different boundaryconditions at its ends. Note that the previously conducted similar research for a cantilever rod, at the same time, the task set was solved numerically and only for particular cases without obtaining general analytical dependence, which makes the results difficult to implement in practice.

Results. Using the Ritz method analytical dependences were obtained for the determination of the first frequency of the longitudinal oscillations of a clamped, free and cantilever rod and located on a piece- wise-homogeneous elastic foundation. Quantitative evaluation shows good agreement with numerical solutions and those of other researchers.

Conclusions. It is shown that the first natural frequency of longitudinal oscillations is in the trigonometric ratios depending on the lengths of the sections and is in the range specified by the full length of the rod, the stiffness of the foundation and rod, its mass per unit length and the boundary conditions at the ends.

Keywords: rod, elastic foundation, frequency, longitudinal vibrations.

Уважаемые коллеги!

Приглашаем вас к публикации в англоязычной версии нашего журнала Scientific Herald of the Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering. Construction and Architecture.

Англоязычная версия, как и русская, выходит 4 раза в год, размещается в базе РИНЦ. В журнал входят переводные версии лучших статей «Научного вестника Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура» и оригинальные статьи ученых из разных стран. Англоязычная версия журнала включена в ряд международных баз: Ulrich's Periodicals Directory американского издательства Bowker, китайскую базу данных

Socolar, созданную China Educational Publications Import and Export Corporation, одну из крупнейших в мире, Open J-Gate индийской компании Informatics Ltd, шведскую базу данных DOAJ и американскую Academic Search Complete корпорации EBSCO, разработанную специально для научных сотрудников университетов и другихнаучных учреждений.

Включение журнала в мировые базы данных обеспечивает знакомство международной аудитории с научными результатами, полученными российскими учеными в области строительства и архитектуры.

Сайт журнала: http://vestnikvgasu.wmsite.ru/home.

108

УДК 624.21.093.001.24

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФРИКЦИОННОГО СОЕДИНЕНИЯ С ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕМ,

СОСТОЯЩЕГО ИЗ ДВУХ ЛИСТОВ

А. Ю. Клюкин

Институт пути, строительства и сооружений Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ)

Россия, г. Москва, тел.: (495)684-28-28, e-mail: aukmiit@gmail.com

А. Ю. Клюкин, канд. техн. наук, и. о. доц. кафедры мостов и тоннелей

Постановка задачи. Ранее нами были предложены решение с помощью системы линейных уравнений, решение с помощью дифференциальных уравнений для листа, прижатого к неподатливому основанию, и решение для двух листов в упругой стадии. В этой статье мы рассматриваем систему из двух листов, соединённых фрикционным соединением, при этом система проходит все стадии от упругой работы до полного сдвига.

Результаты и выводы. Модель фрикционных соединений решена с помощью дифференциальных уравнений и линейных. Рассмотрены эпюры усилий и относительных перемещений в зависимости от величины проскальзывания между листами. Получены решения для модели соединения от начала его нагружения до его сдвига. Для каждой стадии даны зависимости и эпюры усилий и относительных проскальзываний. Полученные решения согласуются с ранее представленными моделями и удовлетворяют всем граничным условиям. Модель может быть расширена и на более сложные системы — это системы из трёх и более листов или конструкции с листами разной толщины.

Ключевые слова: высокопрочный болт, металлический мост, расчет соединений, математическая модель, фрикционное соединение.

Введение. Настоящая статья продолжает наши разработки моделей для фрикционных соединений [1—6].

Фрикционные соединения на высокопрочных болтах удерживаются только силами трения, прижатие же листов создаётся натяжением болтов до проектного усилия. Такие соединения являются наиболее распространёнными в мостовом и гражданском строительстве. Это узлы ферм, «рыбки» проезжей части, некоторые узлы ортотропной и ребристой плиты.

В прошлых статьях было дано решение для модели из двух листов, работающих в упругой стадии [6], и для листа, прижатого к абсолютно неподатливому основанию, который работает с проскальзыванием [5]. Теперь же мы объединим эти два решения и дадим наиболее общий случай, когда два соединённых листа работают частично в упругой стадии, а частично уже сдвинулись.

При существующей практике проектирования усилие делится поровну между всеми рядами болтов. Такое предположение верно непосредственно перед разрушением соединения, в упругой же стадии крайние ряды будут перегружены относительно средних.

Для описания работы таких соединений в упругой (досдвиговой) стадии мы в предыдущих работах [1—6] принимали во внимание феномен предварительного смещения. Согласно нему, между телами, удерживаемыми силами трения, в стадии трения покоя происходит небольшое относительное перемещение под сдвигающим усилием (рис. 1). Это перемещение упруго и может быть получено из эксперимента. Тогда силы сцепления между телами можно заменить упругими связями с заданной податливостью.

© Клюкин А. Ю., 2016

109

Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура

1. Составление уравнений усилий и перемещений в листах. Общий вид рассматри-

ваемого соединения представлен на рис. 2а. На соединение из двух листов, сжатых болтами, действует сила P, пластины удерживаются только силами трения. Рассмотрим общий случай, когда под действующей силой на части длины началось проскальзывание, а остальная часть ещё работает упруго. Так как наиболее нагружены крайние участки соединения, то проскальзывание начнётся с них. На рисунке длины проскальзывания обозначены d1 и d2, далее эти участки будем называть зоной сдвига. Центральный же участок будет находиться в упругой, досдвиговой стадии, на рисунке его длина обозначена

r l d1 d2,

где l — полная длина соединения.

На рис. 2d показана зона сдвига, там же даны элементарные участки с приложенными силами для этой зоне. Здесь по всей длине силы трения распределены равномерно, интенсивность их t = T/l, где T — суммарная сила трения (кулоновское трение покоя), которую создают болты, сжимая пластины. Для такого упрощения необходимо принять, что болты распределены равномерно и местные напряжения не вносят существенного вклада в распределение сил трения.

Впредь для удобства обозначения все величины, относящиеся к «верхнему» листу, будем нумеровать единицей, к «нижнему» — двойкой.

Рассмотрим, как в этом случае должны меняться усилия по верхнему листу (рис. 3). Усилия по правому краю листа (x = l) должны быть равны нулю, так как там лист заканчивается, дальше они нарастают прямо пропорционально расстоянию от края до рассматриваемого сечения. Такой порядок сохраняется вплоть до окончания участка со сдвигом, дальше следует участок с упругой работой. Заканчивается всё снова участком со сдвигом, усилие же на конце должно дойти до величины P — силы, действующей на соединение.

Перейдём к среднему участку, который работает в стадии упругого сдвига. Распределим связи предварительного смещения равномерно вдоль всего соединения (рис. 2b).

Тогда их погонная жёсткость будет равна

с C , l

где С — суммарная жёсткость всех болтовых соединений. Если известна жёсткость одного болтоконтакта (С1) и количество болтоконтактов n, то С = С1·n, а l — длина соединения.

К краям соединения приложим усилия P. Для вывода уравнений системы из двух соединённых листов вырежем элементарный участок длиной dx и составим уравнения равновесия для такой системы.

110