3.2. Объем тела по площадям его параллельных сечений
Если известна площадь S(x) любого сечения тела плоскостью, параллельной некоторой плоскости Р (рис.6), то при изменении х на величину dx дифференциал объема тела равен объему прямого цилиндра с высотой dx и площадью основания S(x), т.е.
,
а объем выражается интегралом
,
где a
и b
– левая и правая границы изменения х.
Пример 3.3. Найти объем части цилиндра, отсеченной плоскостью, которая проходит через диаметр 2R его основания под углом α к плоскости основания
Решение. Введем систему координат, как показано на рис.7. Заметит, что всякое сечение его плоскостью, параллельной плоскости Oyz, представляет собой прямоугольный треугольник (например ОMN, PQR).
Найдем
площадь сечения, отстоящего от точки О
на расстояние ОР=х.
Из прямоугольного треугольника PQR
имеем
.
Площадь
сечения S(x),
как прямоугольного треугольника с
катет
ами
PQ
и QR:
.
При изменении х на величину dx объем v изменится на величину Δv, эквивалентную объему прямого цилиндра (призма) с высотой dx и площадью основания S(x):
В силу симметрии рассмотрим половину тела (х 0). Этому объему соответствует изменение х от 0 до R, поэтому
Задачи для самостоятельного решения
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
1.
вокруг оси Oy.
Ответ:
2. y=sinx (одной волной), y=0 вокруг оси Ох. Ответ: π2
3.
вокруг оси Oy.
Ответ:
4. xy=4, y=0, x=1, x=4 вокруг оси Ох. Ответ: 12π.
5.
вокруг оси Oy.
Ответ:
6.
вокруг оси
Oy.
Ответ:
7.
Найти объем трехосного эллипсоида
Ответ:
8.
Найти объем, общий двум цилиндрам:
(ограниченный данными цилиндрическими
поверхностями).
Ответ:
9.
Найти объем тела, отсекаемого от
эллиптического параболоида
плоскостью z=k
(k
> 0).
Ответ:
Расчётные задания
Задача 1. Вычислить определенные интегралы.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
Задача 2.Вычислить определенные интегралы.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5
.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19
.
2.20.
2.21
.
2.22.
2.23
.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
Задача 3. Вычислить определенные интегралы.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9
.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13
.
.14.
3.15
.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23
.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29
.
3.30.
Задача 4. Вычислить определенные интегралы.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
Задача 5. Вычислить определенные интегралы.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7
.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21
.
5.22.
5.23
5.24.
5.25.
5.26.
5.27.
5.28.
5.29.
5.30.
Задача 6. Вычислить определенные интегралы.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
6.25.
6.26.
6.27.
6.28.
6.29
.
6.30.
Задача 7. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7
.14.
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
7.27.
7.28.
7.29.
7.30.
Задача 8. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.
8.13.
8.14.
8.15.
8.16.
8.17
.
8.18
.
8.19.
8.20.
8.21.
8.22.
8.23.
8.24.
8.25.
8.26.
8.27.
8.28.
8.29.
8.30.
Задача 9. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
9.11.
9.12.
9.13.
9.14.
9.15.
9.16.
9.17.
9.18.
9.19.
9.20.
9.21.
9.22.
9.23.
9.24.
9.25.
9.26.
9.27.
9.28.
9.29.
9.30.
Задача 10. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
10.8.
10.9.
10.10.
10.11.
10.12.
10.13.
10.14.
10.15.
10.16.
10.17.
10.18.
10.19.
10.20.
10.21.
10.22.
10.23.
10.24.
10.25.
10.26.
10.27.
10.28.
10.29.
10.30.
10.31.
Задача 11. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.
11.1
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
11.6.
11.7.
11. 8.
11.9.
11.10.
11.11.
11.12.
11.13.
11. 14.
11.15.
11.16.
11.17.
11.18.
11.19.
11. 20.
11.21.
11.22.
11.23.
11.24.
11.25.
11. 26.
11.27.
11.28.
11.29.
11.30.
Задача 12. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. В вариантах 1-16 ось вращения Ox, в вариантах 17-20 ось вращения Oy.
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
12.7.
12.8.
12.9.
12.10.
12.11.
12.12.
12.13.
12.14.
12.15.
12.16.
12.17.
12.18.
12.19.
12.20.
12.21.
12.22.
12.23.
12.24.
12.25.
12.26.
12.27.
12.28.
12.29.
12.30.
12.31.
