Практические занятия.

Занятие 1. Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла.

Кривая задана в прямоугольных координатах

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y=f (x) (f (x) ≥0) то площадь криволинейн ой трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикальными прямыми х=а и х=b и отрезком оси абсцисс a ≤x ≤b (рис.1) определяется формулой:

Рис. 1.

Рис.1.

ример 1.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y=x и параболой y=2 – x² (рис.2).

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой, решив систему уравнений

Решая систему, получаем х₁= - 2, х₂=1 – это и будут пределы интегрирования. Искомая площадь равна:

Рис.2.

1.2. Кривая задана в параметрической форме

Если кривая задана в параметрической форме уравнениями x=φ(t), y=ψ(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями, соответствующими x=a и x=b, и отрезком оси Ох, выражается интегралом

определяются из уравнений a=φ (t₁) и b=φ (t₂), (φ(t)≥0 на отрезке [t₁, t₂] ).

Пример 1.2. Найти площадь эллипса, используя его параметрические уравнения

Решение. В виду симметрии фигуры достаточно вычислить площадь одной четверти, а затем результат умножить на четыре. Полагая в уравнении x=a сos t , сначала х=0, затем х=а, получим пределы интегрирования t₁=π/2 и t₂=0. Поэтому

1.3. Кривая задана в полярной системе координат

Если непрерывная кривая задана в полярной системе координат уравнением ρ=ρ(φ), то площадь сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами ОА и ОВ, соответствующими значениям φ₁=α и φ₂=β, выразится интегралом