2.1. Длина дуги в прямоугольной системе координат

Длина S дуги гладкой кривой y= f(x), содержащейся между двумя точками с абсциссами x = a и x = b равна

Пример 2.1. Вычислить длину дуги , цепной линии, заданной уравнением , от точки x = 0 до точки x = 4.

Решение. Воспользуемся указанной формулой. Имеем:

и

Отсюда

2.2. Длина дуги кривой, заданной параметрически.

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме ,

где φ (t) и ψ (t) – непрерывно дифференцируемые функции, то длина дуги S кривой равна

где t₁ и t₂ значения параметра, соответствующие концам дуги.

Пример 2.1.. Вычислить длину дуги кривой:

от t = 0 до

Решение. Дифференцируя по t параметрические уравнения кривой, получим

Преобразуем подынтегральную функцию:

Пользуясь формулой для длины дуги в параметрическом виде, получим

2.3. Длина дуги кривой в полярной системе координат

Если гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах ρ и φ, то длина дуги S равна

где α и β –значения полярного угла в крайних точках дуги.

Пример 2.3. Найти длину всей кривой

Вся кривая описывается точкой (ρ, φ) при изменении φ от 0 до 3π.

Решение. Имеем поэтому длина всей дуги кривой

Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить длину дуги кривой, ,отсеченной осью Oх.

Ответ:

2. Определить длину дуги кривой от x=0 до x=1

Ответ:

3. Определить длину дуги кривой между точками, абсциссы которых π/2 и π/3.

Ответ:

4. Определить длину дуги кривой от начала координат до точки, для которой x=1.

Ответ: e – 1.

5. Определить длину дуги кривой от x₁=a до x₂=b.

Ответ:

6. Вычислить длину дуги кривой в пределах от 0 до .

Ответ:

7. Вычислить длину дуги кривой

от t₁=0 до t₂=π.

Ответ:

8. Найти длину развертки окружности

от t=0 до t=T.

Ответ:

9. Найти длину кривой

Ответ: 16a.

10. Найти всю длину кардиоиды

Ответ: 8a.

11. Вычислить длину прямой линии в пределах от φ₁=0 до φ₂=π/2.

Ответ:

12. Вычислить длину дуги части параболы отсекаемой от параболы вертикальной прямой, проходящей через полюс.

Ответ: .

13. Вычислить длину кривой

Ответ:

Занятие 3. Вычисление объема тел.

3.I. Объем тела вращения

Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ох и двумя вертикалями х=а и х=b, вокруг осей Ох и Oy, выражаются соответственно формулами:

1. 2.

Объем тела, образованного вращением около оси Oy фигуры, ограниченной кривой Осью Oy и двумя прямыми y=c и y = d можно получить по формуле

получающейся из формулы 1. путем перестановки координат X и Y.

В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми (причем ) и прямыми х=а, x=b, вокруг координатных осей Ох и Oy соответственно равны

П ример 3.1. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ох, ограниченной линиями , х=а.

Решение. Построив параболу и прямую х=а, получим параболический сегмент ОАВ (рис.5).

При вращении его вокруг оси Ох образуется сегмент параболоида вращения. Согласно общим указаниям найдем объем этого тела.

Пример 3.2. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды y=sinx и отрез-ком оси Ох вокруг оси Oy.

Решение.