TOE_MU_dlya_kursovika

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

( jω) = H (s)

(5 − ω2 )+ j4,5ω

(5 − ω2 )+ j4,5ω

.pdf

Скачиваний:

300

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

4.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

величинах легко пересчитываются к конкретным значениям параметров. Для этого достаточно умножить нормированные величины на их базисные значения, произведя денормирование.

3.3.Контрольные вопросы

1.Что называют переменными состояния?

2.Какие способы составления уравнений состояния Вы знаете?

3.Каковы преимущества метода переменных состояния по сравнению

сдругими методами анализа во временной области?

4.Что такое передаточная функция цепи и какие способы расчета передаточных функций Вы знаете?

5.Что такое переходная и импульсная характеристики цепи и какова их связь с передаточной функцией?

6.Почему полюсы передаточной функции пассивной цепи расположены в левой полуплоскости?

7.Как найти сигнал по изображению U (s) = (1+ e−πs )/(s2 +1)?

8.Как найти изображение сигнала

u(t) = 2e−3tδ1(t) + 4e−3t(t−2)δ1(t − 2)?

9.Как по изображению U (s) = (2s2 + s +1) / (s3 + s2 ) определить на-

чальное значение оригинала u(0 +) и начальное значение его производной u′(0 +) ?

10. Как по известным полюсам s1,2 = −2, s3,4 = ± j2 изображения сиг-

нала записать его общую форму во времени?

11.Как проверить предельные значения АЧХ и ФЧХ исследуемой цепи при ω → 0 и ω → ∞ исходя из свойств цепи?

12.Каково условие неискаженной передачи сигнала через цепь? Удовлетворяет ли Ваша цепь этому условию?

13.Как изменится амплитудный спектр апериодического сигнала при изменении его длительности; амплитуды?

14.Какова связь спектра одиночного сигнала со спектром периодической последовательности этих сигналов?

15.Как влияет скважность периодического сигнала на спектр?

3.4.Типовой пример

Для цепи, изображенной на рис. 3.3, выполним задания курсовой работы. Параметры ветвей R1 = R2 = R3 = Rн = 1 Ом, С = 1 Ф, L = 0,5 Гн.

Rн

Рис. 3.3

1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Дано u0 (t) =U0 =10B; i0 (t) = I0δ1(t) =10δ1(t) A. Выполнить п. 1 задания к курсовой работе. Переменными состояния следует принять iL (t) и uC (t). Для формирования уравнений состояния заменим в исходной цепи для t > 0 все L-элементы источниками тока с токами iL (t) и все С-элемен- ты – источниками напряжения с напряжениями uC (t). Тогда цепь будет иметь вид, показанный на рис. 3.4.

R1	1	R2	2	iL
R1	1	R2	2	3
		iC		uL
				uL
u0		uC	R3	i0	RH

Рис. 3.4

В полученной цепи одним из методов анализа R-цепей найдем напряжение uL (t) введенного источника тока и ток iC (t) – источника напряжения. Воспользуемся методом узловых напряжений [1,2]. Примем четвертый узел базисным, считая U(4) = 0. Тогда напряжение первого узла определяется сразу u(1) = uC (t). Для определения неизвестных u(2) и u(3) за-

пишем уравнения узловых напряжений для 2-го и 3-го узлов:

G u( )

21 1

G31u(1)

+ G22u(2) + G23u(3) = i(2);

(3.1)

+ G32u(2) + G33u(3) = i(3).

Определим коэффициенты уравнений и правые части:

G =

= 2; G =

=1; G = −

= −1;

G = G = 0; G = 0; i

= −i

(t); i

= I

+ i (t).

(

(3)

Систему уравнений (3.1) перепишем в следующем виде:

−u

(t) + 2u

= −i

(t);

(2)

= I

+ i

(t),

(3)

отсюда u

= 0,5u

(t) − 0,5i

(t);

= I

+ i

(t).

(2)

(3)

Напряжение u

(t) введенного источника тока:

(t) = u

− u

= 0,5u

(t) −1,5i (t) −10.

(3.2)

(2)

(3)

Ток i

(t) введенного источника напряжения:

− u (t)

(t) − u

(t)

(t) = i

+ i

(2)

= −1,5u

(t)

− 0,5i

(t) +

10. (3.3)

Так как

/ dt = u

(t) / L , то, разделив (3.2) на L, получим первое

уравнение состояния; учитывая, что du

(t) / dt = i

(t)

/ C, разделив (3.3)

на С, получим второе уравнение состояния:

diL

= u

(t) − 3i

(t) −

20,

(3.4)

duC

= −1,5u

(t)

− 0,5i

(t) +10.

Найдем

точное

решение

этих

уравнений. Определим

независимые

предначальные условия, рассмотрев установившийся режим в исходной

цепи для t < 0: u	(0 −) = 6 B, i		L	(0 −) = 2 A.
C			L
Для определения частот собственных колебаний алгебраизируем
уравнения состояния (3.4):
		( p + 3)i			L	− u	= −20,
					L	C	(3.5)
			+ ( p +1,5)u				(3.5)
							=10,
	0,5i	L					=10,
		L				C

причем в системе (3.5) p = d / dt. Характеристическое уравнение получим, приравнивая нулю главный определитель системы (3.5):

( p) = ( p + 3)( p +1,5)+ 0,5 = p2 + 4,5p + 5 = 0.

(3.6)

Из (3.6) частоты собственных колебаний p1 = −2, p2 = −2,5. Общий вид точных решений уравнений состояния:

(t)

= i

+ i

= i

A e−2t

+ A e−2,5t

;

Lв

Lсв

Lв

(3.7)

(t) = u

+ u

= u

A e−2t

+ A e−2,5t.

Cв

Cсв

Cв

Вынужденные составляющие

iLв = ILв = const, uCв =UCв = const оп-

ределим из уравнений состояния (3.4):

0 =UCв − 3ILв − 20;

= −1,5UCв − 0,5ILв +10;

отсюда

ILв = −4A, UCв = 8B. Для определения постоянных интегрирова-

ния найдем начальные значения производных из уравнений (3.4):

i′ (

0 +) = u

(

0 +) − 3i

(0 +) − 20 = 6 − 6 − 20 = −20;

u′ (0 +) = −1,5u

(0 +) − 0,5i

(0 +) +10 = −9 −1+10 = 0.

На основании решений (3.7) при t = 0+ составим уравнения, необхо-

димые для определения постоянных интегрирования А1 и А2:

(

0 +) = −4 + A + A = 2;

(3.8)

i′

(

0 +) = −2A

−

2,5A = −20,

а затем – систему для определения А3 и А4:

(0 +) = 8 + A + A = 6;

(3.9)

u′

(0 +) = −2A

− 2,5A

После отыскания из систем (3.8), (3.9) постоянных интегрирования

получим точные решения уравнений состояния:

(t) = −4 −10e−2t +16e−2,5t;

(t) = 8 −10e−2t + 8e−2,5t.

Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алго-

ритмом Эйлера:

[(n +1)h]= i

(nh) + h

diL

= i

(nh)

+ h u

(nh) − 3i

(nh) − 20 ;

t=nh

duC

[(

n +

)

]

(

)

= u

(

)

+ h

−1,5u

(

)

− 0,5i

(

)

+10 ,

h = u

+ h

t=nh

где h – шаг расчета, n = 0, 1, 2, 3,…. Взяв, например, h = 0,1 с, получим:

iL [(n +1)h] = 0,7iL (nh) + 0,1uC (nh) − 2;

uC [(n +1)h]= −0,05iL (nh) + 0,85uC (nh) +1.

На рис. 3.5 а, б построены графики точного (кривая 1) и численного (кривая 2) решений. Как видно, для uC (t) точное и численное решения в принятом масштабе практически совпадают.

2.Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

Дано: в цепи рис. 3.3 i0 (t) = 0; u0 (t) задано графиком рис. 3.6, а, где

Um =10B, tи = 5c. Независимые предначальные условия нулевые. Требуется выполнить п. 2 задания.

Применяя метод пропорциональных величин к операторной схеме замещения, построенной на основании схемы рис. 3.3, находим функцию передачи HU (s) =Uн (s) /U0 (s) =1/ (s2 + 4,5s + 5).

Полюсы функции передачи являются корнями уравнения s2 + 4,5s +

+5 = 0, откуда s1 = –2; s2 = –2,5. Они являются корнями характеристиче-

ского уравнения (частотами собственных колебаний цепи). Конечных нулей функция передачи не имеет.

iL										uC
	2

											8
	1										8
	1

											6
		0		1			2
								t, c
								t, c


											4
–1											4
–1


											2
–2											2


			2
–3			2

											0	1		2
					1										t, c
					1										t, c



–4
						a							б
									Рис. 3.5

Импульсная характеристика

	h(t) = L	−1 H		(s) = 2e−2t	− 2e−2,5t.
			U
Переходная характеристика
h	(t) = L −1 H		(s)	/ s = 0,2 − e−2t + 0,8e−2,5t.
1		U

Графики h(t) и h1(t) показаны на рис. 3.6, б.

h1, h

0,2

0,1

0,5

1,0

1,5

2,0

t, c

Рис. 3.6

Изображение заданного входного напряжения

(s) =

−

−st

−

−5s

Изображение выходного напряжения

(s)

= H

(s)U

(s) =

−

10e−5s

s(s2 + 4,5s + 5) s(s2 + 4,5s + 5)

Оригинал выходного напряжения

(t) = (2 −10e−2t + 8e−2,5t

)δ

(t)

− (2 −10e−2(t−5)

+ 8e−2,5(t−5) )δ

(t − 5).

1 2

4 5

Рис. 3.7

На рис. 3.7 построены графики входного u0 (t) и выходного uн (t) напряжений.

3. Качественный анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии

По условиям п. 2 задания требуется выполнить п. 3. Обобщенная частотная, т. е. амплитудно-фазовая, характеристика

Амплитудно-частотная характеристика

HU ( jω) =1/ (5 − ω2 )2 + (4,5ω)2 =1/ ω4 +10,25ω2 + 25.

Фазочастотная характеристика

Φн (ω) = −arctg 4,5ω / (5 − ω

) .

Графики АФХ, АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 3.8, а, б соответственно.

Полоса

пропускания,

определенная

по

графику

HU ( jω)

Δω

1,5c−1.

0,707

Спектральная плотность входного напряжения

( jω)

= U

(s)

= A (ω)e jα0(ω),

s= jω

где

A (ω) – амплитудный, α

(ω) – фазовый спектры воздействия;

U0 ( jω)

(1− e− jωtu )=

sin2,5ω e− j2,5ω

(3.10)

jω

Из выражения (3.10) следует, что амплитудный спектр

A (ω) =

sin 2,5ω

фазовый спектр

α0 (ω) = −2,5ω, если sin2,5ω > 0;

−2,5ω + π, если sin2,5ω < 0.

jImH(jω)

ω = ∞

			0,1
ω = 5			0,1



	ω = 3

	ω = 2,5

		ω = 2		ω = 1

ω = 1,5

				\|H(jω)\|

						0,2

					0,14

							0,1

									Δω

		ω = 0

0,2								0		1		2		3		4		5	6
			ReH(jω)					0		1		2		3		4		5	6		ω, с–1
			ReH(jω)																		ω, с–1
				Фн(ω)
				Фн(ω)

	ω = 0,5										1		2		3		4	5		6
	ω = 0,5										1		2		3		4	5		6		ω

−π

Рис. 3.8

Графики спектров A0 (ω) и α0 (ω) показаны на рис. 3.9. Ширина спектра, определенная по графику по 10%-му критерию, Δω0 3,4c−1.

А0				α (ω)
				0
50
				0
25				1	2	3 ω, c–1
25
				–π
0	1	2	3	4 ω
	1	2	3	4 ω

∆ω0

Рис. 3.9

Сопоставляя спектры входного сигнала (рис. 3.9) с частотными характеристиками цепи (рис. 3.8, б), можно установить, что существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, а фазочастотная характеристика в этой полосе близка к линейной. Поэтому при прохождении через цепь входной сигнал будет сравнительно мало искажен. Поскольку при ω → ∞ АЧХ равна нулю, можно ожидать

увеличения длительности переднего и заднего фронтов выходного импуль-
са по сравнению с входным. Этот качественный вывод подтверждается
точным расчетом в п. 2 (см. рис. 3.7).
			4. Анализ цепи частотным методом
			при периодическом воздействии
	Цепь, подлежащая анализу, задана в п. 2. Периодическое напряжение
u (t)		задано графиком рис. 3.10, а, где U				m	=10B, t	и	= 5c, T = 2t =10c.
0						m		и		и
Требуется выполнить задание п. 4.
		u0
		Um
Ak		0	tи					t
		0	tи					t
10		A0	T	a	Akн
	8	A1			2 A0
	6						A1
	4		A3	A5	1				A3
	2			A5					A3	A5
	0	ω1	3ω1	5ω1 ω	0		ω1	3ω1		5ω1 ω
		ω1	3ω1	5ω1 ω	0		ω1	3ω1		5ω1 ω
αk					αkн
					αkн
	0			ω						ω
				ω						ω
	π	α1	α3	α5	− π		α1
−	π	α1	α3	α5	2		α1		α3
−	2				−π
										α5


		б					в
				Рис. 3.10

Для разложения в ряд Фурье периодической последовательности им-

пульсов найдем комплексные амплитуды гармоник ряда:

A =	2	U	( jω)	,

k	T 0			ω=kω1

где ω1 = 2π/T = 0,2π – частота первой гармоники, k = 0, 1, 2, … U0(jω) определено в (3.10).

В примере получим

A	=		20	sin	kπ	e− jkπ/2	= A exp( jα		).
								k
k							k
		kπ			2

Значения Ak и αk приведены в табл. 3.5; на рис. 3.10, б построены дискретные амплитудный и фазовый спектры.

					Таблица 3.5

k	Ak	αk	k	Ak	αk
0	10	–	4	0	–
1	6,366	–π/2	5	1,273	–π/2
2	0	–	6	0	–
3	2,122	–π/2	7	0,909	–π/2

Таким образом, в соответствии с шириной спектра аппроксимирующий отрезок ряда Фурье u0a (t), описывающего периодическое воздействие u0 (t), имеет вид

		A	n					π
u0a	=	0	+ ∑ Ak cos(kω1t + αk ) = 5 + 6,366cos			0,2πt −			+
u0a	=		+ ∑ Ak cos(kω1t + αk ) = 5 + 6,366cos			0,2πt −			+
	2		k=1					2
				π		π
			+2,122cos 0,6πt −		+1,273cos πt −		.
			+2,122cos 0,6πt −		+1,273cos πt −		.
				2		2

Амплитуды и начальные фазы гармоник выходного напряжения

Akн = HU ( jkω1) Ak; αkн = Φн (kω1)+ αk (kω1),

т. е. необходимо вычислить значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для требуемых частот kω1; k = 0, 1, 2, … . Результаты всех вычислений сведены в табл. 3.6.

					Таблица 3.6

k	kω1,c−1	HU ( jkω1)	Φн (kω1),рад	Akн,В	αkн,рад

0	0	0,2	–	2	–
1	0,2π	0,185	–0,55	1,178	–2,12
2	0,6π	0,116	–1,4	0,246	–2,97
3	π	0,067	–1,9	0,085	–3,47

Дискретные амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала построены на рис. 3.10, в.

Пренебрегая пятой гармоникой, имеем

() A0н n ( )

нt + ∑ Akн cos kω1t + αkн =

2 k=1

=1+1,178 cos(0,2πt − 2,12) + 0,246 cos(0,6πt − 2,97).u

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
09.02.201511.97 Mб48TOE-Spravochnik.djvu
#
09.02.201518.11 Кб23TOE.docx
#
09.02.2015926.72 Кб151toe_labs (1).doc
#
09.02.2015591.87 Кб172TOE_Lab_9.doc
#
09.02.20154.11 Mб300TOE_MU_dlya_kursovika.pdf
#
09.02.2015155.5 Кб21ВОПРОСЫ_ТОЭ.pdf
#
09.02.2015157.7 Кб26Задачи по ТОЭ экзамен.doc
#
09.02.2015597.65 Кб72Методы-ТОЭ.pdf
#
09.02.2015883.2 Кб151Решебник ТОЭ.doc
#
09.02.201528.67 Кб67ТОЭ spisok_lit_fibs .doc