TOE_MU_dlya_kursovika

h(t):= -0.555 e-3.47t + 2 0.311 e-1.26t cos(0.14t + 0.467) .

0,2

h(t) 0,1

0 0 1 2 3 t

Рис. А.14

График найденной характеристики изображен на рис. А.14.

5. Определение реакции на одиночный импульс

операторным методом

Изображение входного тока

I(S):= Imax ω0(1+ e-S ti ). S2 +ω02

Передаточная функция цепи

Расчеты удобно произвести для первого слагаемого (если раскрыть скобки), т. е. для

161

B0 = 0.034;

α0 := arg(B0 ); α0 = -0.955;

162

B4 = 0.04;

α4 := arg(B4 );

α4 = 1.577.

inn(t):= 2 0.034cos(ω0 t - 0.955) - 3.83 10-2 e-3.47t + +2 0.04 e-1.26t cos(2.76t +1.577).

Окончательный ответ для тока нагрузки: t := 0,0.01..4;

in(t):= inn(t) Φ(t) + inn(t - ti) Φ(t - ti);

i(t):= Imax sin(ω0 t) Φ(t) + Imax sin[ω0 (t - ti)] Φ(t - ti).

0–0,05

–0,1 0 2 4

t

Рис. А.15

Графики воздействия и реакции приведены на рис. А.15.

6. Расчеты во временной области

Уравнения состояния цепи:

Собственные числа матрицы A

163

-3.47

eigenvals(A) = -1.265 + 2.761i .

-1.265 - 2.761i

Определим переходную характеристику h1(t) для тока нагрузки численным, т. е. приближенным методом. Это значит, что I1(t) = 1 при t > 0. Практическая длительность переходного процесса tпракт = (3 ÷ 5) τmax. Имеем:

Применим самый простой из численных методов – явную форму алгоритма Эйлера:

ток нагрузки равен току индуктивного элемента в данной цепи h1k := ILk .

Точное решение для переходной характеристики:

h11(t):= 0,64e-3,47t + 0,816e-1,26t cos(2,76t - 2,47).

Чтобы наложить график приближенного решения на график точного решения, последнее записываем через индексированную переменную.

h11k := 0,64e-3,47tk + 0,816e-1,26tk cos(2,76tk - 2,47).

Графики переходной характеристики, полученной аналитическим и численным методами, приведены на рис. А.16.

Некоторые рекомендации. При присвоении обозначений для вводимых переменных нужно избегать обозначений, которые могут быть неправильно

164

h1k 0,2

h1точноеk

00

–0,2

поняты компьютером. Например, для амплитуды тока лучше записать Imax

вместо Im. Выражения, для которых предполагаются символьные вычисления (взятие предела, дифференцирование и т. д.), по мере возможности вводите без символа умножения. Здесь приведены расчеты, которые иногда могут быть сделаны с помощью других приемов. Однако приведенные примеры уже проверены студентами при выполнении курсовых заданий.

165

Б.Анализ линейной электрической цепи

сиспользованием пакета MATLAB

Приведенный расчет основан на типовом примере из темы 2. В качестве исходных данных для компьютерного расчета использованы нормированные величины параметров цепи и сигналов, а также результаты, полученные в п. 2.4 с использованием аналитических методов.

1. Системные требования

Для расчета рекомендуется использовать пакет MATLAB версии не ниже 7 с установленным Control System Toolbox [7].

2. Подготовка

clear all close all clc

Комментарии:

• указанные операторы выполняют очистку командного окна, удаление всех переменных из рабочей области памяти и закрытие всех окон с графикой.

3. Ввод исходных данных

t = 0:0.0001:15; w = 0:0.001:3; Um = 100;

ti = 15*pi; T = 2*ti;

Комментарии:

•t – вектор дискретных отсчетов времени, заданных от 0 до конечного значения с шагом 0,0001; шаг расчета и конечное значение выбираются с учетом отображения на графиках характерных точек соответствующих зависимостей и исходя из времени практического затухания переходных процессов;

•w – вектор значений угловой частоты, заданных в интервале от 0 до 3 с шагом 0,001; шаг расчета и конечное значение интервала частот выбираются таким образом, чтобы на графике АЧХ были отображены полоса пропускания цепи и характерные точки кривой;

•Um – амплитуда входного импульса;

•ti – длительность входного импульса;

•T – период периодического воздействия;

•комментарий в системе MATLAB начинается с символа «%».

166

4. Расчет частотных характеристик цепи

Создание модели линейной цепи

num = [1 0 1]; den = [10 14 12 4]; sys = tf(num, den);

Расчет частотных характеристик цепи:

H = freqresp(sys,w);

GFC = abs(H(:))';

PhFC = angle(H(:))';

Построение графиков:

plot(w,GFC), title('Амплитудно-частотная характеристика'),...

grid, pause;

plot(w,PhFC), title('Фазочастотная характеристика'), grid, pause; w = 0:0.001:1000;

H= freqresp(sys,w); plot(real(H(:)),imag(H(:))),...

title('Амплитудно-фазовая характеристика'), grid; hold on;

w2 = [0, 0.535, 1, 1.1];

H= freqresp(sys,w2);

plot(real(H(:)),imag(H(:)), 'ok', 'LineWidth', 0.1), pause; hold off;

Комментарии:

•символ «’» - операция транспонирования;

•оператор «...» обозначает продолжение текущей команды на следующей строке;

•num – вектор коэффициентов числителя ПФ цепи (коэффициенты записываются в порядке убывания степеней переменной s);

•den – вектор коэффициентов знаменателя ПФ цепи (коэффициенты записываются в порядке убывания степеней переменной s);

•sys – модель линейной электрической цепи, описанной своей передаточной функцией;

•H – вектор отсчетов комплексной частотной характеристики цепи, соответствующих отсчетам угловой частоты (вектор w);

•GFC – вектор отсчетов АЧХ;

•PhFC – вектор отсчетов ФЧХ;

•функция freqresp(sys,w) вычисляет комплексную частотную характеристику линейной системы sys, взятую в дискретных точках оси частот, задаваемых вектором w; данная функция может использоваться для вычисления частотных характеристик систем с несколькими входами и

167

несколькими выходами и возвращает многомерную матрицу в качестве результата, поэтому для получения ЧХ цепи с одним входом и одним выходом необходимо использовать вектор H(:).

•функция abs(H(:)) вычисляет модули элементов вектора H(:);

•функция angle(H(:)) вычисляет аргументы элементов вектора H(:);

•функция real(H(:)) возвращает действительные части элементов вектора H(:);

•функция imag(H(:)) возвращает мнимые части элементов вектора

H(:);

•команда plot(w,GFC) строит график функции, значения которой заданы вектором GFC, значения аргумента функции заданы вектором w;

•операторы xlabel(‘текст’) и ylabel(‘текст’) устанавливают надписи по осям абсцисс и ординат соответственно;

•оператор title(‘текст’) устанавливает название рисунка;

•для задания текста, устанавливаемого операторами xlabel, ylabel и title может быть использован формат TeX, например, подпись «Φ1(ω)» по оси ординат можно установить с помощью оператора ylabel(‘\Phi_1(\omega)’);

•оператор grid выводит координатную сетку;

•оператор pause приостанавливает работу системы MATLAB до нажатия любой клавиши клавиатуры;

•команда hold позволяет строить несколько графиков разных типов на одном рисунке;

•w2 – вектор значений частоты, соответствующих выделенным точкам на графике АФХ.

5. Определение переходной и импульсной характеристик

Расчет импульсной и переходной характеристик:

h = (0.229*exp(-0.545*t) + 0.16*exp(-0.428*t).*cos(0.743*t...

+ 2.509)).*stepfun(t,0);

h1 = (0.25 - 0.421*exp(-0.545*t) + 0.188*exp(-0.428*t).*cos(0.743*t +...

0.415)).*stepfun(t,0);

Построение графиков:

plot(t,h), title('Импульсная характеристика'), grid, pause; plot(t,h1), title('Переходная характеристика'), grid, pause;

Проверка ИХ и ПХ:

%plot(t,h,t,impulse(sys,t)), title('Проверка ИХ'), pause; %plot(t,h1,t,step(sys,t)), title('Проверка ПХ'), pause;

Численный расчет ПХ с помощью метода Эйлера:

dt = 0.3;

168

A = [0 1 0; -1 -1 -1; 0 -0.2 -0.4]; B = [0 0.5 0.1]';

t = 0:dt:15; Fss = [0;0;0];

for n = 1:length(t)-1

Fss(:,n+1) = Fss(:,n) + dt*(A*Fss(:,n) + B*stepfun(n,0)); end

h11 = Fss(3,:);

h1 = (0.25 - 0.421*exp(-0.545*t) + 0.188*exp(-0.428*t).*cos(0.743*t +...

0.415)).*stepfun(t,0); plot(t,h11,'--',t,h1), pause;

Комментарии:

•h – вектор значений импульсной характеристики в дискретные моменты времени, заданные вектором t;

•h1 – вектор значений переходной характеристики в дискретные моменты времени, заданные вектором t;

•длина векторов h и h1 соответствует длине вектора t;

•dt – шаг расчета для вычисления ПХ на основе алгоритма Эйлера;

•A, B – матрицы коэффициентов уравнений состояния;

•Fss – матрица, содержащая численные решения для переменных состояния (каждая строка данной матрицы содержит значения соответствующей переменной состояния, вычисленные в моменты времени, которые заданы вектором t);

•h11 – ПХ, полученная численным методом;

•символ «.*» – операция поэлементного умножения векторов;

•функция stepfun(t,t0) формирует вектор отсчетов единичной ступенчатой функции (задержанной на время t0 (в примере t0 = 0)), соответствующих отсчетам времени вектора t;

•оператор for организует вычисления в циклах, каждый из которых соответствует одному шагу численного расчета методом Эйлера.

•проверку ИХ и ПХ можно осуществить с помощью соответствующих функций системы MATLAB:

%plot(t,h,t,impulse(sys,t)), title('Проверка ИХ'), pause; %plot(t,h1,t,step(sys,t)), title('Проверка ПХ'), pause;

Для использования указанных команд необходимо удалить символы «%», расположенные в начале каждой строки. Функция plot(t,h,t,impulse(sys,t)) строит на одном рисунке график ИХ, вычисленной вручную через ПФ, и график ИХ, полученной с помощью встроенной функции MATLAB (без учета дельта-функции). Функция plot(t,h1,t,step(sys,t)) выполняет аналогичную операцию для ПХ. В обоих случаях, если соответствующая характеристика вычислена правильно, графики на рисунке должны совпадать.

169

6. Вычисление реакции при воздействии одиночного импульса

Вычисление значений реакции и воздействия:

t = 0:0.001:1.4*ti;

f1 = Um*stepfun(t,0) - Um*stepfun(t,ti);

f2 = (25 - 42.1*exp(-0.545*t) + 18.8*exp(-0.428*t).*cos(0.743*t +...

0.415)).*stepfun(t,0) - (25 - 42.1*exp(-0.545*(t-ti)) +...

18.8*exp(-0.428*(t-ti)).*cos(0.743*(t-ti) + 0.415)).*stepfun(t,ti);

Построение графиков:

plot(t,GFC(1)*f1,t,f2), title('Импульсное воздействие (измененное в A(0) раз) и реакция на него'), grid, pause;

Комментарии:

•f1 – вектор значений импульсного воздействия, вычисленных в моменты времени, заданные вектором t;

•f2 – вектор значений реакции цепи, вычисленных в моменты времени, заданные вектором t;

Проверку правильности нахождения реакции цепи на импульсное воздействие можно осуществить с помощью встроенной функции системы MATLAB:

%plot(t,f2,t,lsim(sys,f1,t)), title('Проверка реакции'), pause;

Для использования указанной команды необходимо удалить символ «%», расположенный в начале строки. Функция plot(t,f2,t,lsim(sys,f1,t)) строит на одном рисунке график реакции, вычисленной по выражению, полученному операторным методом, и график реакции, полученной с помощью встроенной функции lsim(sys,f1,t). Если реакция вычислена правильно, графики на рисунке должны совпадать.

7. Определение спектральных характеристик

одиночного импульса воздействия

Входные переменные:

j = sqrt(-1); dw = 0.00003; W = 1.4;

w = 0:dw:W;

Расчет спектров импульса:

F1 = 2*Um*sin(w*ti/2)./w.*exp(-j*w*ti/2);

A1 = abs(F1);

Ph1 = angle(F1);

Построение графиков:

170