22. Поверхность второго порядка

о бщее ур-ние поверхностей второго порядка в прямоуг. системе координат имеет вид: Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+Gx+Hy+Iz+5=0 Эллипсоид -наз. поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат (ДСК) имеет вид: + = 1 Рассечём поверхность || xOy сечением z = h (h > 0): + = 1 = 1 - * →

+ = 1 + = 1 - эллипс a₁ b₁

в сечении получаются эллипсы, если: 1) |h| < |c| - эллипс 2) |h| > |c| - мнимые эллипсы (на поверх. не сущ.) 3) |h| = |c| - две точки (0; 0; -С) и (0; 0; С) ! аналогично для сечений x = h; y = h . В сечении получ. точки, эллипсы и мнимые эллипсы: Однополостный гипербалоид -наз. поверхность в некоторой ДСК, имеющая вид: - = 1 рассечём поверхность || xOy сечением z = h > 0: a₁ = a ; b₁ = b h →∞ (h стремится к бесконечности) a₁ →∞ ; b₁ → эллипсы при z = h при x = h > 0 - = 1 + = 1→ - = 1 b₁ c₁ в сечении получается гиперб. 1) Если |h| < |a| - гипербола 2) Если |h| > |a| - мнимые гиперболы 3) Если |h| = 0 - две прямые y = я ! аналогично, для сечения y = h > 0, в сечении получаются гиперболы Двухполостный гиперболоид -наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид: - = -1 при z = h > 0, если 1) |h| < |с| - мнимые эллипсы 2) |h| > |с| - эллипсы 3) |h| = |с| - две точки (0; 0; -С) и (0; 0; С) при x = h и x = h (h>0) гиперболы Эллиптический параболоид -наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид: = z при z = h > 0 = 1 - эллипс 1) Если |h| > 0 - эллипс 2) Если |h| < 0 - мнимый эллипс 3) Если |h| = 0 - точка (0; 0; 0) при y = h > 0 y² = 2pz - парабола при x = h > 0 x² = 2pz - парабола Гиперболический параболоид -наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид: = z при z = h > 0 получ. гиперболы при x = h > 0 получ. параболы при y = h > 0 получ. параболы Конус второго порядка -наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид: - = 0 при z = h z = h > 0 - эллипсы z = h = 0 - точка (0; 0; 0) z = h < 0 - эллипсы при x = h = 0 - = 0 и + = 0 - 2 прямые при y аналогич. как x

1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, из которых состоит множество, называются его элемен­тами. , где x-элемент множества.

Операции над множествами:

1.Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств.

2. Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принад­лежит множеству А и множеству В.

3.Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

4.

Множество X называется ограниченным сверху(снизу), если существует такое число С, что для любого выполняется неравенство x ≤ C (x ≥ C).

Множество, ограниченное и сверху, и снизу называется ограниченным.

Наименьшее из чисел, ограничивающих множество X сверху, называется точной верхней гранью данного множества. (sup X)

Наибольшее из чисел, ограничивающих множество X снизу, называется точной нижней гранью данного множества. (inf X)

Абсолютная величина числа–величина, определяемая след. обр.:

Свойства: 2. 3.
4. Док-во: +	5. Док-во: 6. , ,

Функцией или отображением называется отображение из множества X в множество Y при α каждому элементу из множества X сопоставлен один и только один элемент множества Y.(y=f(x); )

Способы задания: Аналитический, Графический, Словесный (вербальный), Табличный

Классификация функций:

1. Простейшие: а) y=const - постоянная б) y=kx+b – линейная в) y= - степенная г) y= - показательная (а≠1, а>0) д) y= - логарифмическая е) y= ; y= ; y= ; ,y=ctg x - тригонометрическая ж) y= ; y= y= ; y=arcctg x – обратная тригонометрическая 2. Элементарная функция – функция полученная с помощью четырех арифметических действий, а так же операций взятия функции от функции. ( )

3. Целые алгебраические функции: 4. Дробно-рациональные функции: 5. Иррациональные функции. ( ) 6. Функция не являющееся дробно-раиоальной или рациональной называются трансцендентной.