21. Теорема Лагранжа и Коши.
Теорема
Лагранжа:
Если
функция f(x)
удовлетворяет условиям:
1. Функция
непрерывна на
2. Функция дифференцируема на
,
то существует
(a;b)
такая что f(b)-f(a)=f´(
)*(b-a)
Доказательство:
Рассмотрим
вспомогательную функцию
Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке [a;b], а на его концах принимает одинаковые значения: F(a)=F(b)=0
Тогда F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка (a;b), в которой производная функции F(x) равна нулю:
геометрический смысл: геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции f(x) найдется точка С(с, f(с)), в которой касательная к графику f(x) параллельна секущей АВ. Следствия:1. Если f'(х) = 0 на некотором промежутке (a, b), то функция f(x) постоянна на этом промежутке.2.Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Теорема
Коши:
Если
1) f(x)
и g(x)
непрерывны на
2) f(x)
и
g(x)
дифференцируемы на (a;b)
3) g´(x)
0
на
.
то существует точка С
такая что
=
.
Следствие: теорема Лагранжа является
частным случаем теоремы Коши при g(x)=x.
22. Теорема Лопиталя.
f(x), g(x) определены в некоторой окрестности за исключением может быть самой точки и удовлетворяет условиям 1) f(x) и g(x)-дифференцируемы
2)
g´(x)
0,
то существует формула
и
3)
справедлива формула
=
=
=
;
=
=
Пример:
=
=
=
=
;
=
=
=
...=
=0
3)
=
=
=
=
23. Теорема Тейлора.
Если
f(x)
имеет в некоторой окрестности точку
,
производную (n+1)
порядка, существует
окр.
,
f(x)=
+
(x),
где
(x)=
*
Пример:
Найти
формулу Тейлора для функции у=
при
=0.
y´=
;
y´(0)=1;
=
;
y´(0)=1;
=
;
;
=
+
;
=
+
;
=1+
+
+
...+
+
(x).
24. Признак монотонности.
Если
функция f(х)
диф. на интервале (a;b)
и f´(x)≥0
(f(x)≤0)
для любых х
(a;b),
то функция не убывает(не возрастает)
на этом интервале.
Доказательство: на
интервале (a;b)
выполнены все условия теоремы Лагранжа
для любых
,
, f(a;b);
.
f(
)-f(
=f´(C)(
;f´(C)≥0,(
;C
;
f(
)-f(
)≥0
следовательно f(
≥f(
Функция не убывающая, ч.т.д. Т(
,f(
-называется
точкой локального max(min),
если существует ∆-окрестность в точки
такая, что для любых х из этой окрестности
выполняется неравенство f(
)
Необходимое
условие локального экстремума. Если
f(x)
имеет в точке
локальный экстремум и диф. в этой точке,
то f´(
)=0.
Доказательство данной теоремы основано
на теореме Ферма. Пример:y=
;y´(x)=3
;
3
=0;
x=0.
Достаточное
условие локального экстремума:
Если f(x)
диф. в некоторой окрестности точки
и опр. в ней, то
1)
f´(x)
)
- Max
f´(x)
2)
f´(x)
)
- Min
f´(x)
Доказательство основано на теореме Лагранжа.
y=
25. Направление выпуклости.
Если
функция f(x)
имеет на (a;b)
вторую производную и f´´(x)
0
(f´´(x)
0)
,
то график функции имеет выпуклость
направленную вниз(вверх). Доказательство
Запишем уравнение касательной R
в точке
;
y=f(
уравнение
касательной. Рассмотрим интервал (a;b)
на нёразложим по формуле Тейлора
y=f(
+
(x-
+
;
;
Y-y=
;
y-Y
;
y-Y
,
y
Точки
перегиба графика функции:(
)
называется точкой перегиба графика
функции y=f(x),
если график имеет в этой точке касательную
и разные напр. выпуклости слева и справа
от этой точки.