1 5. Координатные уравнения прямой в пространстве.
(0,
е1,
е2,
е3)
– система координат точки А1(х1;у1;z1)
А2(х2;у2;z2)
Коорд.
урав. прямой проходящей через А1А2:
ОМ=ОА1+tА1А2;
ОМ(х;у;z),
ОА1(х1;у1;z1),
А1А2(х2-х1;у2-у1;z2-z1)
→ А1А2(ax;ay;az)
Спроецируем
данное уравнение на оси координат: х=
х1+tax,
у= у1+taу,
z=
z1+taz
;
параметрическое уравнение прямой в
пространстве:
каноническое ур-ие;
ур-ие прямой в пространстве
16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
1.
Коорд.
параметр. уравнение прямой.
Используя векторное
параметр.
уравнение прямой можно получить два
скалярных, а именно: |
4. Общее уравнение прямой. Ax+By+C=0 ay(x-x1)=ax(y-y1) → ayx-axy+axy1-ayx1=0 (A=ay; B=-ax; C= axy1-ayx1) n(A;B) – нормальный вектор прямой |
2. Канонические уравнения.
|
3.
Уравнение прямой проходящей
через 2 точки.
А(х1;у1),
В(х2;у2)
|
5.
Ур-ие прямой с угловым коэффиц.
y=kx+b
Ax+By+C=0→ |
6. Нормированное (нормальное) уравнение прямой. x cos +y sin -p=0; r(x;y) n(cos ;sin ); r•n=p → (x;y)( cos ;sin )=OP → x cos +y sin =OP |
7.
Уравнение прямой в отрезках на осях.
|
8.
Уравнение прямой проходящей через
точку заданной угловым коэфф.
y-y1=k(x-x1)
M1(x1;y1)
k=tg
при
|| k1=k2
при
k1= |
a(ax;ay)
– направляющий вектор прямой
(l;m)
– направляющий косинусы прямой
k=tg
b
– точка перес. прямой и Оу до (0;0)
Ax+By+C=0
→
→
0,
е1,
е2)
– система координат точки А1(х1;у1)
А2(х2;у2).
17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
В
заимное
расположение прямых на плоскости:
условие
|| : y=k1x+b1
; y=k2x+b2
; k1=k2
; a1=(l1;m1),
a2=(
l2;m2)
–
формула
угла между прямыми
Если
L1
||
L2,
то
|
Если
L1 |
=0
и tg
=0;
k1=k2→
условием паралел. двух прямых явл.
равенство коэф. k1=k2
L2,
то
=
; сtg
=
= 0; получ. 1+ k1k2
=0→ k1k2=-1
→ условием перпенд. прямых явл.
равенство k1k2=-1
или k1=
18. Координатные уравнения плоскости.
• Общее
уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0;
n(A;B;C);
A2+B2+C2>0
докажем,
что плоскость имеет вид: Ax+By+Cz+D=0;
выберим на плоскости М1(х1;у1;z1),
М2(х2;у2;z2),
М3(х3;у3;z3);
вектора М1М(х-х1;у-у1;z-z1),
М1М2(х2-х1;у2-у1;z2-z1)
̴ (ax;ay;az),
М1М3(х3-х1;у3-у1;z3-z1)
̴ (bx;by;bz).
Точка
М1
тогда и только тогда будет принадлежать
(ϵ) плоскости, если векторы компланарны:
М1М•М1М2•М1М3=
A(х-х1)+B(у-у1)+C(z-z1)=0
•
Уравнение плоскости проходит через
точку перпенд. (
заданному вектору:
|
ур-ие плоск. проходящей через 3 точки |
•
Уравнение
плоскости в отрезках на осях:
Ax+By+Cz=-D
→
|
•
Расстояние
от точки до плоскости.
|
→
пример:
найти расстояние от Мо(2;-1.7)
до плоскости 3x-4y-22z+5=0.
Мо(xoyo;zo);
Ax+By+Cz+D=0
Нормальное
уравнение плоскости. ОК (Q); OK=p; M(x;y;z); α,β,γ – углы, обр. единым вектором е
с осями Ох, Оу, Oz. Тогда е=(cos α;cos β; cos γ), r = OM=(x;y;z)
При любом положении точки М на плоск. Q проекция радиус-
вектора r на направление вектора e всегда равно p: преr=p
r•e-p=0 - нормальное уравнение плоскости в векторном виде
x•cosα + y•cosβ + z•cosγ – p = 0 нормальное уравнение плоскости в координатном виде