7.3. Прямая в пространстве

Обратно, приравняв общее значение дробей (7.10) символу t, получим равенства (7.9).

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1. Очевидно, две прямые в пространстве параллельны, если парал-

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

1. Очевидно, прямая и плоскость перпендикулярны, если нормаль к

сти и направляющим вектором прямой (рис. 7.4). То есть,

.

В заключение отметим, что для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости следует решить систему из их уравнений.

Примеры

1. Найти координаты точки Q, симметричной точке P(1, 0, –2) относительно плоскости x – 2y + 2z – 6 = 0.

Решение. Найдем уравнение прямой PQ. Она перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку Р. Значит, за ее направляющий вектор

20

можно взять нормаль п = (1, –2, 2) данной плоскости, и по формуле (6.30) ее уравнение имеет вид: x = 1 + t, y = –2t, z = –2 + 2t. Подставляя полученные выражения в уравнение данной плоскости, находим: (1 + t) – 2(–2t) + + 2(–2 + 2t) – 6 = 0 или 9t = 9, или t = 1, откуда точка S пересечения данной

Решение. Найдем уравнение плоскости, перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку Р. Ее нормаль совпадает с направляющим вектором данной прямой, т. е. п = (3, 0, –5), поэтому ее уравнение имеет вид 3(x – 1) + 0(y – 0) – 5(z + 2) = 0, или 3x – 5z – 13 = 0. Найдем проекцию данной точки на данную прямую, т. е. точку S пересечения данной прямой с построенной плоскостью. Для этого приравняем общее значение дробей канонических уравнений параметру t и найдем параметрические уравнения

Ответ: Q(72/17, –2, 67/17).

21

8. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА (СХЕМА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА)

Данная модель была создана и исследована В. Леонтьевым в двадцатых годах двадцатого столетия для описания структуры межотраслевых связей экономики США.

Определение 1. Экономическая отрасль называется чистой, если она выпускает однородную продукцию, например энергетическая отрасль производит электроэнергию.

Определение 2. Система экономических отраслей называется замкнутой, если в процессе производства используются лишь продукты, производимые внутри системы.

Определение 3. Рассмотрим замкнутую экономическую систему, состоящую из чистых отраслей. Валовой выпуск j-й отрасли за плановый период называется интенсивностью этой отрасли. Обозначим интенсив-

ность j-й отрасли через . Очевидно, . Вектор называется

вектором выпуска или просто выпуском системы.

Определение 4. Очевидно, что любая отрасль является одновременно и потребляющей и выпускающей. Продукт, выпускаемый i-й отраслью будем называть i-ым продуктом. Обозначим через количество i-го продукта, потребляемого j-й отраслью при выпуске единицы своей продукции. Величины называются коэффициентами прямых затрат, а матрица

составленная из этих коэффициентов, называется матрицей прямых затрат. Очевидно, , и следовательно, – неотрицательная матрица.

Сделаем два важных предположения:

1)считаем, что за рассматриваемый период технология остается неизменной, и следовательно, коэффициенты прямых затрат не изменяются;

2)считаем, что модель системы линейна, т. е. при интенсивности

матрицы определяет структуру производственных затрат первой отрасли, когда она работает с единичной интенсивностью. Аналогично j-й столбец

22

С системой (8.1) связаны два типа задач:

1) Найти значения конечного продукта , когда известна матрица прямых затрат и объемы производства . Решение этой задачи, как следует из (8.2), тривиально;

2) Найти объемы производства (валового продукта) , обеспечивающие заданные значения конечного продукта , когда известна матрица прямых затрат . Решение этой задачи также не представляет сложности, как показывают следующие выкладки

Заметим, что матрицы , , неотрицательны в силу экономического смысла их элементов. Кроме того, сумма элементов любого столбца или любой строки матрицы меньше либо равна единицы. Действительно, сумма элементов i-го столбца выражает суммарные затраты всех отраслей на производство одной единицы продукции i-й отрасли, значит, эта сумма

. Аналогично, сумма элементов j-й строки показывает

производственных затрат, необходимых для следующего производствен-

ного цикла. Из этого следует, что при конечном продукте вся

экономическая система имеет конечной целью выпуск одной единицы ко-

24

нечного продукта первого вида. По формуле (8.4) в этом случае валовой выпуск равен первому столбцу матрицы полных затрат

выпуск , обеспечивающий производство одной единицы конечного продукта i-го вида.

вается вектором косвенных затрат первого порядка. Аналогично произве-

Известно [5], что матрица полных затрат может быть представлена в виде матричного ряда

.

Тогда решение балансовой модели можно записать в виде

Таким образом, валовой выпуск равен сумме конечного продукта , вектора прямых затрат , а также векторов косвенных затрат всех порядков на выпуск конечного продукта . Это объясняет название матрицы полных затрат.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение коэффициентов прямых затрат.

2. Как вычислить затраты на валовой выпуск экономической системы?

3.Дайте определение конечного продукта экономической системы.

4.Напишите систему уравнений межотраслевого баланса и разъясните смысл входящих в нее величин.

5.Напишите систему уравнений межотраслевого баланса в матричной

форме.

6.Напишите формулу решения системы уравнений межотраслевого баланса.

25

7.Дайте определение матрицы полных затрат и разъясните экономический смысл ее столбцов.

8.Дайте определение косвенных затрат первого и k-го порядков.

9.Перечислите основные задачи исследования модели Леонтьева.

10.Напишите формулу разложения матрицы полных затрат в матричный ряд.

11.Как найти конечный продукт, когда известны величины межотраслевых поставок и валовые выпуски всех отраслей?

12.Когда экономическая система называется чистой?

Пример 1. Замкнутая экономическая система состоит из трех чистых отраслей. Межотраслевые поставки и валовые выпуски отраслей системы приведены в табл. 1. Вычислить конечный продукт и матрицу прямых затрат экономической системы.

Таблица 1

Решение. По табл. 1 определяем межотраслевые поставки

Запишем матрицу прямых затрат

26

Найдем конечный продукт каждой отрасли, он равен разнице между валовым выпуском этой отрасли и суммарными межотраслевыми поставками ее продукта

,

,

.

Пример 2. Замкнутая экономическая система состоит из трех чистых отраслей. Межотраслевые поставки и валовые выпуски отраслей системы приведены в табл. 1. Найти матрицу полных затрат.

Решение. Матрица прямых затрат была найдена в примере 1

Вычислим обратную матрицу. Найдем ее определитель, используя формулы Сарюса (Саруса),

.

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы

27

Теперь найдем приближенное значение выпуска с точностью до косвенных затрат первого порядка.

.

Заметим, что при увеличении порядка учитываемых косвенных затрат при вычислении приближенного значения валового выпуска точность вычислений повышается.

Ответ. Приближенное значение валового выпуска

с точностью до косвенных затрат первого порядка.

29