7.ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

7.1.Прямая на плоскости

7.2. Плоскость

Добавил:

CanyonE СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Рабкин Е. Л., Ведина О. И. Линейная алгебра для экономистов. Часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2020

Размер:

714.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Замечание о применении векторной алгебры к аналитической геомет-

рии. Фундаментом аналитической геометрии является векторная алгебра, которая позволяет сводить геометрические задачи к алгебраическим, тем самым вскрывая геометрический смысл уравнений.

Говорят, что уравнение

	(7.1)
является уравнением линии на плоскости	, если координаты любой

точки на этой линии удовлетворяют уравнению (7.1), а координаты любой точки, не лежащей на данной линии не удовлетворяют (7.1). В данном пособии мы ограничимся рассмотрением уравнения прямой линии на плоскости и его видами.

Общим уравнением первой степени называется уравнение вида

		.
Нормалью к прямой называется любой ненулевой вектор			, ортого-
нальный этой прямой.
Положение прямой на плоскости полностью определяется ее норма-
лью п и какой-нибудь фиксированной точкой		, лежащей на этой
прямой. Произвольная точка	лежит на данной прямой тогда и толь-
ко тогда, когда векторы	и	ортогональны, т. е.
тогда и только тогда, когда их	скалярное произведение равно нулю:
. Записывая условие ортогональности		и п в координат-
ной форме, получаем уравнение прямой, проходящей через точку
и перпендикулярной вектору	, в виде
			(7.1)
Раскрывая скобки в (7.1) и	обозначая	,	получаем

уравнение прямой на плоскости в виде общего уравнения первой степени

	.	(7.2)
Из сказанного следует, что уравнение любой прямой может быть со-
ставлено как в виде (7.1), так и в виде (7.2), при этом		– координаты
нормали	к прямой.
Рассмотрим три частных случая общего уравнения прямой (7.2):
1)	, следовательно, прямая проходит через	начало координат
;

	2)	, следовательно, прямая параллельна оси				и пересе-
кает	в точке			;

	3)	, следовательно, прямая параллельна оси				и пересе-
кает	в точке			;

	Для построения прямой достаточно отметить на координатной плос-
кости две точки, лежащие на этой прямой.
	Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор
	,параллельный этой прямой.
	Положение прямой на плоскости полностью определяется ее направ-
ляющим вектором			и какой-нибудь фиксированной точкой			,
лежащей на этой прямой. Произвольная точка					лежит на данной пря-
мой тогда и только тогда, когда векторы					и

параллельны, т. е. тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

	.		(7.3)

Уравнение (7.3) называется каноническим уравнением прямой на
плоскости.
Если на прямой заданы две точки,		и	, то вектор
, очевидно, является направляющим вектором
этой прямой. Тогда, подставив координаты			в

уравнение (7.3), получим уравнение прямой, проходящей через две точки

(7.4)

Замечание.

На ноль, как известно, делить нельзя. Но ноль в знаменателе уравнений (7.3) и (7.4) писать можно, и он означает лишь, что соответствующая координата направляющего вектора равна нулю, и, следовательно, соответствующее уравнение получается приравниванием к нулю числителя той дроби, у которой в знаменателе стоит ноль.

(а значит, и между самой прямой) и положительным направлением оси .

Выразим	из уравнения (7.3)
			.
			.
Подставив	,	, получим		, но тогда,
Подставив	,	, получим		, но тогда,
		.		(7.5)
				15

Если в качестве точки		выбрать точку		пересечения пря-
мой и оси	и обозначить	, то	(7.5) примет вид
		.		(7.6)

Коэффициент , равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси , называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (7.6) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Взаимное расположение прямых на плоскости:

1.	Очевидно, две прямые параллельны, если параллельны их нормали
		и	, то есть выполнено равенство			.

2.	Очевидно, две прямые параллельны, если параллельны их направ-
ляющие векторы			и	, то есть выполнено равенство
		.

3.	Очевидно, две прямые параллельны, если равны их угловые коэф-
фициенты			.
4.	Очевидно, две прямые взаимно перпендикулярны, если взаимно
перпендикулярны их нормали					, то есть выполнено
равенство			.
5.	Очевидно, две прямые взаимно перпендикулярны, если взаимно
перпендикулярны их направляющие векторы						, то
есть выполнено равенство				.
6.	Очевидно, косинус угла			между прямыми равен косинусу угла ме-

жду нормалями к ним и одновременно равен углу между их направляющими векторами

7. Пусть

– угол между двумя

прямыми, и α

α – углы наклона

этих прямых к положительному направлению оси (рис. 7.1). Тогда, применяя известную из тригонометрии формулу тангенса разности, по-

лучаем формулу тангенса угла между двумя прямыми

Рис. 7.1

α	α		α	α	.

			α	α
			α	α
Расстояние от точки до прямой на плоскости
Расстояние от точки		до прямой				равно

Действительно, пусть

–

точка на

прямой (рис. 7.2), тогда

Очевидно, что расстояние от точки

до прямой

равно

модулю

проекции вектора

xM x0 , yM y0 на

M 0 M

Рис. 7.2

направление нормали

прямой

Что и требовалось доказать.

В заключение отметим, что для нахождения координат точки пересечения двух непараллельных прямых на плоскости следует решить систему из уравнений этих прямых.

Возьмем в качестве направляющего вектора

прямой вектор

единичной длины, т. е.

, тогда его координаты равны направляю-

щим косинусам данного вектора

– угол между направляющим вектором прямой

Нормалью к плоскости называется любой ненулевой вектор , ортогональный этой плоскости. Положение плоскости полностью опреде-

ляется ее нормалью и какой-нибудь точкой			,	которая лежит
в этой плоскости. Действительно, точка			лежит в данной плоскости
тогда и только тогда, когда векторы		и	ортогональны, т. е. когда их
скалярное произведение равно нулю: (		,	) = 0, т. е.
			.
	Таково уравнение данной плоскости. Раскрывая скобки в полученном
уравнении, получим:
			,	(7.7)
где	. Уравнение (7.7) называется общим уравнением

плоскости. Таким образом, любую плоскость можно задать нетривиальным линейным уравнением и обратно: любое нетривиальное линейное

уравнение с тремя неизвестными задает некоторую плоскость, причем координатами вектора нормали этой плоскости являются коэффициенты при неизвестных. Любое частное решение данного уравнения есть координаты некоторой точки этой плоскости. Например, x – 2y + 3z – 6 = 0


есть уравнение плоскости с нормалью		, проходящей через
точку	(первые две ее координаты взяты произвольно, третья

найдена из уравнения). Надо выработать рефлекс: глядя на уравнение плоскости, сразу отметить координаты ее нормали. Обратно, для того, чтобы записать уравнение плоскости, надо найти принадлежащую ей точку и ее нормаль. Например, если надо написать уравнение плоскости, парал-

лельной двум данным векторам		и , то в качестве нормали можно взять
векторное произведение данных векторов, т. е.						.	У плоскости,
проходящей через три заданные точки			,	,	,	в качестве нормали
можно взять векторное произведение векторов						и	и записать
искомое уравнение в виде (	,	,		) = 0 или

Это же уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, можно записать в виде

Аналогично решается задача нахождения уравнения плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной двум данным плоскостям, так как плоскость, перпендикулярная двум данным, параллельна их нормалям.

Взаимное расположение двух плоскостей

1. Очевидно, две плоскости параллельны, если параллельны их нор-

мали	и	, т. е. выполнено равенство		.

2.	Очевидно, две плоскости взаимно перпендикулярны, если взаимно
перпендикулярны их нормали			, то есть выпол-
нено равенство		.
3.	Очевидно, косинус угла	между плоскостями равен косинусу угла

между их направляющими векторами

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра