ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»
Е. Л. Рабкин, О. И. Ведина
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
ЧАСТЬ 2
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2015
УДК 512.6(077) ББК 22.143я73
Р12
Рецензент заведующий кафедрой высшей математики ПГУПС
В. В. Гарбарук
Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом СПбГУТ
Рабкин, Е. Л.
Р12 Линейная алгебра для экономистов : учебно-методическое пособие по выполнению контрольных заданий. Часть 2 / Е. Л. Рабкин, О. И. Ведина ; СПбГУТ. – СПб., 2015. – 31 с.
Содержит теоретический материал, методические указания, примеры решения типовых задач, вопросы для самопроверки и варианты контрольных работ по темам: линейные пространства, векторная алгебра, аналитическая геометрия, модель Леонтьева межотраслевого баланса. Соответствует курсу линейной алгебры в объеме программы по математике за 1-й семестр для студентов факультета экономики и управления производством.
УДК 512.6(077) ББК 22.143я73
©Рабкин Е. Л., Ведина О. И., 2015
©Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича», 2015
2
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
6. |
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ..................................................................................... |
4 |
|
6.1. Линейные операции над векторами ............................................................ |
4 |
|
6.2. Скалярное произведение векторов, его свойства и применения ............. |
7 |
|
6.3. Векторное и смешанное произведение векторов, его свойства |
|
|
и применения .................................................................................................. |
8 |
7. |
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ........................................... |
14 |
|
7.1. Прямая на плоскости .................................................................................... |
14 |
|
7.2. Плоскость ....................................................................................................... |
17 |
|
7.3. Прямая в пространстве .................................................................................. |
19 |
8. |
МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА (СХЕМА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА) ......... |
22 |
Список литературы .................................................................................................. |
30 |
|
3
6.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
6.1.Линейные операции над векторами
Определение. Вектором называется упорядоченная пара точек (первая точка называется началом вектора, вторая точка – его концом). В дальнейшем векторы будем обозначать либо малыми латинскими буквами, выделенными жирным шрифтом, либо упорядоченной парой точек начала и конца вектора, проводя черту над этой парой. При графическом изображении вектора обычно его начало и конец соединяют прямолинейным отрезком и около его конца ставят стрелку (поэтому в обиходе вектор называют направленным отрезком). Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости (таким образом, любые два вектора компланарны).
Два вектора AB и CD называются равными, если они удовлетворяют трем условиям: 1) они коллинеарны, 2) они направлены в одну сторону, 3) их длины равны. Из определения равенства двух векторов следует, что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают: . Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом. Модуль вектора обозначается символом . Очевидно, что вектор имеет длину 0 тогда и только тогда, когда он является нулевым. Вектор называется единичным (или ортом), если его длина равна единице. В частности, ортом вектора называется вектор единичной длины, коллинеарный этому вектору и направленный в ту же сторону, он обозначается символом
. В множестве векторов вводятся шесть арифметических операций. Три из них называются линейными: сложение, вычитание и умножение на число, а остальные три – нелинейными: скалярное, векторное и смешанное произведения. Сумму двух векторов можно определить двумя равносильными способами: по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.
Правило параллелограмма: слагаемые вектора откладывают от общего начала; тогда их суммой называется вектор, начало которого совпадает с общим началом слагаемых векторов, а конец с противоположной вершиной параллелограмма, построенного на этих векторах, как на ребрах.
Правило треугольника: отложим слагаемые вектора так, чтобы начало второго совпадало с концом первого; тогда их суммой называется вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец – с концом второго.
Замечание. Из этого правила следует правило многоугольника: для то-
го, чтобы сложить несколько векторов, надо отложить их так, чтобы начало каждого следующего вектора совпадало с концом предыдущего; тогда
4
их суммой является вектор, начало которого совпадает с началом первого из слагаемых векторов, а конец – с концом последнего. Произведением вектора на число называется новый вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям: 1) он коллинеарен вектору ; 2) он направлен в ту же сторону, что и , если > 0, и в противоположную, если
0; 3) . Легко проверить, что векторы на прямой, на плоскости или в пространстве с указанными выше определениями сложения и умножения на число являются вещественными линейными пространствами соответственно размерности 1, 2 и 3 (так как указанные операции удовлетворяют всем аксиомам Вейля – проверить самим). В множестве векторов на прямой любые два вектора линейно зависимы, на плоскости два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны, в пространстве три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны, четыре и большее число векторов всегда линейно зависимы. Поэтому на прямой базисом может служить любой ненулевой вектор, на плоскости базисом являются любые два неколлинеарных вектора, в пространстве базисом являются любые три некомпланарных вектора. Обычно в качестве базиса в пространстве выбираются три взаимно перпендикулярных орта со стандартным обозначением , , (такой базис называется декартовым, или ортонормальным). Разложение любого вектора
по этому базису имеет вид |
, поэтому координаты |
этого вектора в таком базисе имеют вид: |
. Легко проверить, |
что эти координаты (т. е. в декартовом базисе) имеют геометрический смысл, а именно, они являются проекциями данного вектора на коорди-
натные орты. |
|
|
|
|
|
А |
|||
Теорема. Длина вектора |
вы- |
|
|
||||||
числяется |
через |
его |
координаты |
|
|
||||
|
в |
декартовом |
базисе |
по |
|
a |
|||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (6.1) |
|
|
||
Доказательство. Отложим ор- |
|
k |
|||||||
ты от общего начала – точки О и |
O |
j |
|||||||
вектор |
|
(рис. 6.1). Проекцию |
|
||||||
|
i |
|
|||||||
точки |
на плоскость векторов |
, |
|
||||||
|
|
||||||||
обозначим В, а проекцию точки В на |
|
|
|||||||
прямую, |
проходящую через точку А C |
|
В |
||||||
и содержащую орт |
, обозначим С. |
|
Рис. 6.1 |
||||||
Тогда по теореме Пифагора |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
а |
|
|
|
|
|
. Подставляя второе равенство в первое, по- |
|||
лучим доказываемую формулу. |
|
|
|
||||||
5
Определение. Углы α, β, γ между данным вектором и ортами декартовой системы координат называются направляющими углами вектора , а косинусы этих углов – направляющими косинусами вектора .
Следствие. Очевидно, что |
|
|
|
|
|
||
|
|
, |
|
, |
|
, |
(6.2) |
|
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
||
,. |
|
, |
|
|
(6.3) |
||
Складывая квадраты последних трех равенств, получаем: |
|
||||||
сos2α + cos2β + cos2γ = 1. |
|
|
(6.4) |
||||
Таким образом, зная два из трех направляющих углов, мы можем однозначно найти и третий, если только знаем, острый он или тупой. Равенство (6.4) есть обобщение на трехмерный случай равенства сos2α + cos2β = 1, и превращается в него при γ = π/2, β = π/2 – α.
Определение. Системой координат в трехмерном евклидовом про-
странстве называется совокупность двух объектов: 1) векторный базис, 2) фиксированная точка , называемая началом отсчета (или началом координат). Радиус-вектором точки называется вектор , идущий из начала координат в точку . Координатами точки называются координаты ее радиус-вектора. Поэтому, если известны координаты начала и конца
вектора : |
и |
|
, то координаты этого вектора есть раз- |
||
ности координат его конца и начала: |
|
|
|||
|
= |
– |
= ( – , |
– , – ). |
(6.5) |
Система координат называется декартовой, если ее базис является декартовым. Она называется правой, если ее базис образует правую тройку, и
левой в противном случае (определение правой и левой тройки п. 6.3). |
|
|
Преобразованием координат называют любую из двух операций: |
|
|
1) |
преобразование базиса (ее обычно называют «поворотом осей»), |
|
2) |
перемещение начала координат в новую точку |
(ее |
обычно называют «сдвигом» или «переносом» начала координат). Очевид-
но, что перенос начала координат в точку |
осуществляется по |
формулам: x’ = x – , y’ = y – , z’ = z – |
или (что то же) x = x’ + , |
y = y’ + , z = z’+ . |
|
Следствие. Если известны координаты двух точек А и В в декартовой системе координат, то расстояние между ними вычисляется по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
2 |
y |
|
y |
|
2 |
z |
|
z |
|
2 . |
|
|
AB |
A |
B |
A |
B |
A |
B |
(6.6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
6.2. Скалярное произведение векторов, его свойства и применения
Определение. Пусть векторы |
и заданы своими координатами в не- |
|
котором декартовом базисе: = |
, = |
. Тогда их ска- |
лярным произведением называется сумма произведений одноименных координат, т. е. число, определяемое формулой:
= axbx + ayby + azbz. |
(6.7) |
Пример. (1, 2, –3)(2, 1, 0) = 2 + 2 +0 = 4.
Свойства скалярного произведения, вытекающие из определения
по формуле (6.7): |
|
|
|
|
|
|
1) |
= |
; |
|
|
|
|
|
|
|2, откуда |
|
|
|
|
2) |
= | |
|
; |
|
||
3) |
свойство линейности: ( |
+ |
|
, b) = ( , b) + |
( , b); |
|
4) |
Теорема |
о геометрическом |
смысле скалярного |
произведения. |
||
Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними, т. е. справедливо равенство:
= | || |cos( ^ ). |
(6.8) |
Доказательство. Из треугольника АВС (рис. 6.2)
по теореме косинусов имеем
|
B |
b |
a – b |
| |
|2 = | |2 + | |2 – 2| || |cos( ^ ). (6.9) A |
a |
B |
|
|
С другой стороны, по свойствам скалярного про- |
Рис. 6.2 |
|
изведения |
||
|
||
|
(6.10) |
Вычитая (6.10) из (6.9), получим (6.8), что и требовалось доказать. Замечание. Формула (6.8) показывает, что скалярное произведение
не зависит от выбора базиса, т. е. в любом декартовом базисе она вычисляется по формуле (6.7), несмотря на то, что в других базисах у данных векторов другие координаты. Иными словами, число (6.7) является инвариан-
том относительно выбора декартового базиса. Применения скалярного произведения:
1) для отыскания угла между данными векторами a и b по формуле
cos(a ^ b)= |
|
|
|
|
|
|
; |
(6.11) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2) в частности, для выяснения, перпендикулярны ли данные вектора:
7