6.3. Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства и применения

ки обычно используют обозначение [a, b]. Смешанное произведение требует задания трех векторов и обозначается (a, b, c) или просто abc.

Определение. Векторным произведением двух векторов а и b (рис. 6.3) называется новый вектор с = [a, b] = a × b, удовлетворяющий следующим трем

построенного на перемножаемых векторах, как на ребрах, т. е.

Замечание. Подчеркиваем, что векторное произведение – это новый вектор, для задания которого нужно указать прямую, на которой он располо-

жен, направление на этой прямой и длину. Поэтому в определении три условия. Формула (6.15) указывает лишь его длину.

Определение. Смешанным произведением трех векторов a, b, c называ-

ется число, равное скалярному произведению первого вектора на векторное произведение двух остальных. Таким образом, по определению

Свойства векторного и смешанного произведений.

1.Антиперестановочность: [b, a] = –[a, b] (очевидно из определения).

2.Если a и b коллинеарны, т. е. a ||b, то их векторное произведение

есть нулевой вектор: [a, b] = 0 (в этом случае (a ^ b) = 0, sin(a ^ b) = 0 и по формуле (6.15) длина векторного произведения равна нулю, а значит, само векторное произведение равно нулевому вектору).

3. В частности,

Кроме того, согласно определению,

(6.18)

4. Теорема о геометрическом смысле смешанного произведения

(рис. 6.4).

Абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах, как на ребрах, а знак смешанного произведения положителен, если тройка перемножаемых

9

Очевидно, что h – высота параллелепипеда, и, следовательно, V – объем параллелепипеда, что и требовалось доказать. Очевидно также, что смешанное произведение положительно тогда и только тогда, когда cos(a ^ d) > 0, т. е. когда угол (a ^ d) острый. Но тогда две тройки: {a, b, c} и {a, b, [a, b]} имеют одинаковую ориентацию. Но последняя тройка по определению векторного произведения – правая. Значит, и перемножаемые векторы образуют правую тройку. Если же смешанное произведение отрицательно, то это значит, что cos(a ^ d)< 0, т. е. угол (a ^ d) тупой. Но тогда рассматриваемые тройки имеют противоположную ориентацию, т. е. тройка перемножаемых векторов – левая.

Теорема доказана полностью.

Замечание. Из доказанного следует, что смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы компланарны.

5.При циклической перестановке множителей величина смешанного произведения не меняется, а при ациклической меняется лишь его знак, т. е. справедливы равенства

(a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = –(a, c, b) = –(c, b, a) = = –(b, a, c).

Доказательство следует из геометрического смысла смешанного произведения и свойств ориентированных троек.

6.Теорема (свойство линейности смешанного произведения). Для

любых 3 чисел , , и векторов , , , , , , , , справедливы равенства

(6.19)

Доказательство. По свойству линейности скалярного произведения

,

10

и первое из равенств (6.19) доказано. Второе и третье равенства сводятся

кпервому за счет перестановки множителей (5-е свойство).

7.Теорема (свойство линейности векторного произведения). Для лю-

бых 2 чисел , и 6 векторов , , , , , справедливы равенства

(6.20)

Доказательство. Обозначим через

Требуется доказать, что х = 0. Для этого достаточно доказать, что |x| = 0. Но по свойству линейности скалярного и смешанного произведений

Значит, вектор х – нулевой, и первое из равенств (6.20) доказано. Второе доказывается так же или сводится к первому за счет перестановки множителей векторного произведения по свойству антиперестановочности.

8. Теорема о вычислении векторного произведения через координаты множителей в декартовом базисе.

Если векторы a = (ax, ay, az) и b = (bx,, by, bz) заданы своими координатами в декартовом базисе, то их векторное произведение можно вычислять

по формуле:

(6.21)

Доказательство. По свойству линейности векторного произведения и по формулам (6.17) и (6.18)

[a, b] = [ax i + ay j + azk, bx i + byj + bzk] =

=axbx[i, i] + axby[i, j] + axbz[i, k] + aybx[j, i] + ayby[j, j] + aybz[j, k] +

+azbx[k, i] + azby[k, j] + azbz[k, k] =

=axbx ·0 + axbyk – axbzj – aybxk + ayby·0 + aybzi + azbxj – azby i + azbz·0 =

=(aybz – azby)i – (axbz – azby)j + (axby – aybx)k,

т. е. получено разложение по 1-й строке определителя (6.21), что и требовалось доказать.

11

9. Теорема о вычислении смешанного произведения через координаты множителей в декартовом базисе.

Если векторы a = (ax, ay, az), b = (bx,, by, bz) и с = (сх, cy, cz) заданы своими координатами в декартовом базисе, то их смешанное произведение

можно вычислять по формуле:

(6.22)

Доказательство. По определению смешанного произведения и по формулам для вычисления скалярного и векторного произведений через декартовые координаты множителей получаем:

(a, b, c) = (a, [b, c]) = ax(bycz – bzcy) – ay(bxcz – bzy) + az(bxcy – bycx),

а это – разложение определителя (6.22) по первой строке, и теорема доказана. Замечание. При помощи формулы (6.21) легко получить формулу для

вычисления так называемого двойного векторного произведения:

Отсюда видно, что в общем случае [a, [b, c]] ≠ [[a, b], c] (равенство наблюдается лишь в случае, когда а и с пропорциональны, т. е. когда с = λа). Таким образом, векторное умножение не обладает не только свойством перестановочности, но и свойством сочетательности.

Применения векторного произведения: 1) для вычисления площадей параллелограммов и треугольников, построенных на данных векторах a и

b, как на ребрах: Sпар-ма = |[a, b]|, Sтр-ка = ½|[a, b]|, 2) для получения координат какого-нибудь вектора, перпендикулярного двум данным.

Применения смешанного произведения: 1) для вычисления объемов параллелепипедов и тетраэдров, построенных на данных векторах a, b и с

как на ребрах: Vпар-да = |(a, b, с)|, Vтетр. = 1/6|(a, b, с)|, 2) для выяснения ориентации данной тройки векторов, 3) для выяснения компланарности векторов a, b, с: они компланарны тогда и только тогда, когда (a, b, с) = 0.

Пример. |a| = 1, |b| = 2, (a ^ b) = 3 , p = 2a – b, q = a + 3b. Найти cos(p ^ q) и площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q, как на ребрах.

12

Решение.

|p|2 = |2a – b|2 = (2a – b, 2a – b) = 4|a|2 – 4(a, b) + |b|2 =

= 4 – 4 · 1 · 2 cos(π/3) + 4 = 4;

|q|2 = |a + 3b|2 = (a + 3b, a + 3b) = |a|2 + 6(a, b) + 9|b|2 =

= 1 + 6 ·1 · 2 cos(π/3) + 36 = 43;

(p, q) = (2a – b, a + 3b) = 2|a|2 – (b, a) + 6(a, b) – 3|b|2 = = 2 + 5 · 1 · 2 cos(π/3) – 12 = –5;

= |2[a, a] – [b, a] + 6[a, b] – 3[b, b]| = |0 + 7[a, b] – 0 | = 7|a||b| sin(a ^ b) = 7 3 .

13