Боженко Основы квантовой химии

A + B = C + D

C e ik1 a + D e − ik1 a = F e i k 2 a

В системе уравнений (II.72):

B 2 – вероятность отражения от барьера (R – коэф-

A

фициент отражения)

CA 2 – вероятность проникновения в барьер

DA 2 – вероятность отражения отвторой стенкибарьера

Решая систему уравнений, получаем:

62

T = 16E(Um − E) e− 2a 2m(Um −E) = T0e− 2a 2m(Um −E) (II.73)

Um2

Отсюда видно, что Т уменьшается с ростом массы m и увеличением ширины а ПБ. Из закона сохранения числа частиц R + T = 1. Из выражения для Т видно, при Е < Um выражение под корнем положительно и частицы проходят сквозь барьер. Очевидно, что туннельный эффект имеет заметное значение лишь в тех случаях, когда Т не очень мал, т.е. когда

2 a 2m(Um − E) ≈ 1

Из этого выражения видно, что с туннельным эффектом можно встретиться только в области микроскопических

явлений. Так, для a = 1 см, получаем, что T → 0 . Парадоксальность туннельного эффекта состоит в том, что частица внутри ПБ при E < Um должна иметь отрицательную ки-

это бессмысленно, так как p – действительная величина. Однако, этот парадокс устраняется, если вспомнить, что одновременное знание кинетической и потенциальной энергии означает одновременное знание координаты частицы и ее импульса. А это в квантовой механике невозможно по принципу неопределенности Гейзенберга. Для облегчения понимания туннельного эффекта можно вспомнить, что в волновой оптике световое поле при полном отражении проникает в среду, от которой происходит отражение, и если это тонкая пластинка, то свет частично проходит через нее. Подтверждением работоспособности представлений о туннельном эффекте является объяснение с их помощью широко извест-

63

ного явления холодной эмиссии электронов в металлах и множества других явлений.

Свободная частица

Свободная частица движется в поле с постоянным потенциалом, т.е. имеет постоянную потенциальную энергию, которую можно положить равной нулю (U = 0). Тогда стационарное уравнение Шредингера будет таким:

(II.74) – дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, поэтому его решения можно искать в виде:

в положительном направлении оси Oх с импульсом 2mE . В состоянии Ψ2 - в противоположном направлении. Пусть, например частица находится в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ1 . Какие отсюда вытекают физические

следствия? E не может быть < 0, так как при E < 0 экспоненциальный множитель становится действительным числом и при x → ∞ , Ψ → ∞ . То есть волновая функция в этом случае утрачивает физический смысл. Рассмотрим квадрат модуля волновой функции, который на основании (II.75) и (II.76) ра-

64

вен Ψ Ψ * = c2 . Следовательно, вероятность нахождения частицы не зависит от положения частицы вдоль оси Ох , и вероятность ее нахождения в любом месте одномерного пространства, где она совершает движение, одинакова. Перепишем (II.75) в виде:

где k – волновой вектор, так как в многомерном пространстве он действительно является векторной величиной. Из (II.77) имеем:

Таким образом, при свободном движении у частицы строго определен импульс, но неопределенность её положения бесконечно велика.

Частица в одномерном потенциальном ящике

Рассмотрим движение частицы вдоль оси Ох в интервале x ≥ 0 и x ≤ a, таком, что внутри него потенциальная энергия равна нулю (U=0), а за его границами она бесконеч-

65

но велика (U→∞). Такая система называется одномерным потенциальным ящиком (ямой). В этом случае ситуация аналогична движению свободной частицы, за исключением граничных условий. Потенциальный ящик показан на Рис. 5.

Поэтому стационарное уравнение Шредингера будет:

или

Рис.5. Схематическое изображение одномерного потенциального ящика

Из определения потенциального ящика следует, что должны выполняться следующие граничные условия:

66

Вне ящика частица находиться не может, так как для этого ей надо сообщить бесконечно большую энергию.

Из теории линейных дифференциальных уравнений 2го порядка известно, что общее решение уравнения вида (II.81) надо искать в виде:

Ψ = Asin(αx) + B cos(αx)

Оно действительно удовлетворяет уравнению типа

d 2 Ψ = −α 2 Ψ , dx2

где для краткости обозначено

Условие (II.82) выполняется, если B = 0. Условие (II.83) выполняется, если α a = n π , где n=0,1,2,3,………То есть

Сравнивая (II.84) и (II.85), получаем:

Волновая функция должна быть нормированной, исходя из ее физического смысла, связанного с вероятностью обнаружения частицы в определенном месте пространства. Следующее равенство соответствует тому, что вероятность обнаружения частицы во всем пространстве является достоверным событием:

−∞

В рассматриваемом случае это требование приобретает вид:

Такие пределы интегрирования обусловлены тем, что за пределами ящика волновая функция равна нулю.

То есть Е обратно пропорциональна m и a. Чем тяжелее частица и чем шире потенциальный ящик, тем ближе уровни энергии друг к другу. Например, при m = 1г и a = 1см они практически сливаются. Квантование имеет смысл при ma2 ≈ h2 .

68

Жесткий ротатор

Из классической механики мы помним, что жесткий ротатор – это система, состоящая из двух точечных

частиц с массами m1 и m2, удерживаемых невесомой связью на постоянном удалении друг от друга. Эта система вращается вокруг оси, проходящей через центр масс системы и направленной перпендикулярно линии связи этих масс.

Можно показать, что кинетическая энергия жесткого ротатора может быть выражена через приведенную массу μ и расстояние между массами r:

r = r1 + r2

Рис.6. Схематическое изображение жесткого ротатора.

Такая система эквивалентна в математическом отношении частице с массой μ , движущейся по поверхности ша-

ра радиусом r.

69