2.6. Эффекты искажения сигнала, вызванные нарушением синхронизации.

В работе [17] использована формула, согласно которой спектр сигнала на входе приёмника при временном сдвиге имеет вид

(25),

тогда на выходе блока FFT (с учётом первой схемы синхронизации и (25)) получим

(26),

где - относительное запаздывание на время, меньшее 1 отсчёта. Таким образом, фаза каждой поднесущей поворачивается на угол, пропорциональный её номеру (индексу) и запаздыванию , что приводит к искажению полезных составляющих QAM - сигнала.

Для определения зависимости спектра сигнала на входе приёмника от рассогласования несущих частот используется соотношение [17]:

(27),

где - аддитивный шум, возникающий вследствие интерференции между поднесущими, а . В выражении (27) помимо сдвига несущих частот учитывается расхождение частоты дискретизации от номинального значения, при этом определяется изменением периода дискретизации, а новый период дискретизации определяется как [17]. После обработки первой схемой синхронизации , т.е. остаётся только нескомпенсированный частотный сдвиг на , и формула (26) преобразуется к виду

(27).

Обычно величина очень мала, и её влиянием можно пренебречь, тогда соотношение (27) преобразуется к виду

(28).

Очевидно, что при частотном сдвиге невозможна безошибочная демодуляция, потому что остаётся неизвестным расположение не только данных, но также пилотов, необходимых для точной временной синхронизации, и информационных сигналов, которые служат для определения параметров передачи сигнала.

2.7. Алгоритм синхронизации.

Рассмотрим сигнал на выходе блока FFT в виде аддитивной смеси спектра сигнала, смещённого по частоте на и задержанного по времени на , и спектра гауссовского шума с учётом (25) и (28):

(29),

где - начальная фаза. Для синтеза соотношений, определяющих коррекцию по времени и частоте, используем корреляционные свойства передаваемого сигнала в частотной области. Ранее упоминалось, что в спектре передаваемого символа помимо данных присутствуют пилоты, т.е. сигналы повышенной мощности, которые модулированы по закону PSK псевдослучайной последовательностью. Фаза пилота определяется его позицией в спектре сигнала. Согласно стандарту EN 300 744 пилоты делятся на постоянные, т.е. с неизменным положением в спектре, и переменные, положение которых зависит от номера передаваемого символа. На рис. 12 условно показана структура последовательности передаваемых символов в частотной области.

Рис. 12. Расположение пилотов в спектре OFDM – сигнала. Постоянные пилоты и сигналы с информацией о параметрах передачи не показаны.

Обозначим комплексные амплитуды гармоник с номерами и в спектре символа , при условии, что и - это номера соседних пилотов (<) в символе при полной частотной синхронизации, а - это номер пары. Предположим, что АЧХ канала передачи в пределах полосы пропускания системы имеет плоскую форму, а ФЧХ мало меняется на частотном отрезке, равном расстоянию между соседними пилотами.

Совместная плотность распределения вероятности (ПРВ) случайных центрированных действительных величин и , имеющих нормальное распределение, согласно [16,22], имеет вид:

,

где - дисперсия; - мощность сигнала; а - мощность шума. Коэффициент корреляции определяется как

.

Спектр сигнала комплексный, поэтому ПРВ пары отсчётов с номерами и в случае, когда на этих позициях находятся пилоты, имеет вид:

(30),

где , а

(31).

Нарушение частотной синхронизации (в формуле (29) ) приводит к тому, что отсчёты и представляют собой некоррелированные данные (согласно стандарту данные в передающем устройстве смешиваются с псевдослучайной последовательностью), а не пилоты. Таким образом, при ПРВ пары отсчётов с номерами и можно представить в виде:

(32),

где . Согласно стандарту EN 300 744 пилоты передаются на повышенной мощности, причём .

Определим функцию правдоподобия (ФП) как отношение совместной ПРВ пары отсчётов с номерами и при наличии пилотов на этих позициях к совместной ПРВ пары отсчётов с номерами и при отсутствии пилотов в них, при этом учтём все пары соседних пилотов в символе

(33)

, где - ФП для отдельной пары отсчётов . Запишем с учётом (16,17), получим выражение

,

которое перепишем в виде

, где , . От констант можно избавиться, поскольку в данном случае для функции правдоподобия важно не абсолютное значение, а относительное. После упрощения выражение имеет вид

(34).

После логарифмирования обеих частей формулы (33) получим:

(35),

тогда после подстановки в (34) получим

(36).

При условии , , т.е. когда сигнал на выходе FFT преобладает над шумом, ФП (36) преобразуется к виду

,

а после удаления постоянного множителя получим

(37)

После подстановки (37) в (35) получим выражение

(38).

Обозначим - корреляционная сумма в частотной области, рассчитанная в течение одного символа, при этом

(39),

а

(40)

- энергетическая составляющая сигнала. При расчёте необходимо избавиться от начальной фазы и фазового влияния канала передачи, именно поэтому в формуле (38) рассматриваются пары пилотов, для которых эти величины постоянны. Напрямую нельзя извлечь информацию о из одного пилота, потому что в его аргументе есть неизвестные слагаемые и , как следует из формулы (29). На рис. 13 на комплексной плоскости изображена пара пилотов и . Стрелкой с одинарным пунктиром обозначена операция удаления модулирующей псевдослучайной последовательности, которая заключается в повороте фазы на , после неё пилот готов к применению в схеме синхронизации. Стрелкой с двойным пунктиром обозначена операция комплексного сопряжения.

Рис. 13. Изображение пилотов на комплексной плоскости.

Если частотное рассогласование между соседними пилотами в спектре сигнала постоянно, что справедливо для переменных пилотов, то множитель в формуле (24) будет постоянным для всех пар гармоник, и его можно вынести за знак суммы, тогда формула с учётом (39, 40) примет вид

(41)

Очевидно, что в момент синхронизации по частоте аргумент каждого из корреляционных произведений в формуле (41) есть не что иное, как фазовое рассогласование соседних пилотов. Поскольку разнос по частоте и запаздывание сигнала есть постоянные величины для каждой из пар, то аргумент в момент синхронизации равен

(42),

что следует из выражений:

,

тогда .

На данном этапе становится ясно преимущество парной обработки пилотов. Во-первых, легко организовать последовательную обработку информации. Во-вторых, если разнос по частоте между пилотами велик, то при больших сдвигах аргумент корреляционного произведения сделает целое число оборотов на комплексной плоскости и информация о будет потеряна. Например, предположим, что символ запаздывает на 1 дискрет по времени в режиме 2к, т.е. , расстояние между пилотами в процессе обработки , т.е. 1024 гармоники, тогда фазовое рассогласование , что является границей измерения .

Формула (41) при условии синхронизации преобразуется к виду

,

где - количество гармоник, на которое необходимо сдвинуть ожидаемый несмещённый спектр, чтобы он совпал с реальным спектром на выходе FFT.

При условии эргодичности процесса (в данном случае при условии стационарности условий передачи) усреднение по символам можно заменить усреднением по одному символу (по пилотам одного символа), тогда выражение имеет вид

(43)

При реализации алгоритма (43) необходимо выполнять действия в обратном порядке, т.е. найти смещение по частоте на целое количество гармоник , при котором . В этом случае по корреляционной функции согласно (42) можно определить оставшийся временной сдвиг и произвести компенсацию путём умножения амплитуд гармоник на корректирующие коэффициенты в соответствии с формулой (29).

На данном этапе рассуждениями получен действительный результат для комплексной ФП, при этом необходимо было воспользоваться оператором усреднения .

Аналогичный результат может быть получен формально.

Очевидно, что нельзя напрямую сравнивать комплексные числа, поэтому очень часто в алгоритмах, работающих по методу максимального правдоподобия, используют лишь действительную часть ФП, т.е. формула (41) преобразуется к виду

(44)

В формуле (44) есть 2 переменные, поэтому условие максимума представляет собой систему уравнений

Из первого условия получаем , где - целое число. Поскольку в системе предполагается использование первой схемы синхронизации, то , как будет показано далее, а измеряется в диапазоне , поэтому можно записать , откуда следует .

Второе условие при выполнении первого имеет вид

(45)

и представляет собой алгоритм синхронизации.

Стоит отметить, что начальная фаза остаётся нескомпенсированной после коррекции, также как и ЧХ канала , поэтому производить демодуляцию можно только после выравнивающего фильтра на рис. 11. Причём можно без каких-либо допущений отнести к , тогда сигнал на выходе второй схемы синхронизации согласно (15) преобразуется к виду

(46)