1.9. Моделирование и оптимизация параметров алгоритма.

Имитационная модель алгоритма синхронизации произведена в среде MATLAB 7.0 и Simulink 6.0.

Согласно алгоритму (14) первоначально определяется максимум ФП , а затем находится сдвиг частоты . Можно упростить алгоритм (14), т.к. величина представляет собой удвоенную энергию сигнала и шума, что следует из соотношения , которая интегрируется на интервале длиной [8,9,10]. Энергия дискретного отсчёта сигнала равна . Длительность защитного интервала намного больше периода следования дискретных отсчетов сигнала согласно стандарту [6], поэтому можно считать постоянной и независимой от . Таким образом, выражение для ФП (14) можно представить как:

. (15)

При этом отпадает необходимость оценки коэффициента корреляции и оценки ОСШ в канале, что существенно упрощает алгоритм.

На рис. 3 приведены зависимости и от ошибки синхронизации по времени, полученные экспериментально.

Рис. 3. Экспериментальные зависимости и от ошибки синхронизации по времени, полученные экспериментально.

Из графика видно, что имеет лишь небольшие выбросы относительно постоянного значения, что подтверждает сделанное ранее допущение о постоянстве энергии сигнала. Одним из возможных способов сглаживания является усреднение по нескольким символам. Таким образом, оценки параметров, усреднённые по нескольким символам при использовании оптимального и квазиоптимального алгоритмов совпадут.

Все дальнейшие рассуждения относятся к формуле (15).

На рис. 4. представлена функциональная схема, реализующая описанный алгоритм. Стоит отметить, что в схеме вычисляется комплексно сопряжённая КФ, т.е. реализуется формула , поэтому знак отрицания, который есть в (14), отсутствует.

Рис. 4. Функциональная схема, реализующая описанный алгоритм грубой временной и точной частотной синхронизации. Обозначения: ( )*-комплексное сопряжение; abs и arg – вычислители абсолютного значения и аргумента комплексной величины соотв.; argmax – вычислитель аргумента максимального значения.

На практике целесообразно производить вычисления на большей частоте дискретизации, чем на входе FFT. Это позволит повысить точность синхронизации по времени. В расчетах, проведенных для режима 2К частота дискретизации увеличена в 4 раза. Длительность защитного интервала принимается равной .

Для расчёта оценок и применим 2 способа. В первом применим численный коррелятор, в котором используются точные значения и , во втором - знаковый коррелятор, на выходе которого отсчёты могут принимать значения из множества . Для расчета статистических характеристик оценок использована реализация OFDM-сигнала, состоящая из 68х4 символов – суперкадра согласно стандарту DVB-T.

На рис. 5. представлены зависимости среднего значения и дисперсии временного сдвига от ОСШ в децибелах, полученные экспериментально.

(а)

(б)

Рис. 5. Зависимость среднего значения (а) и дисперсии (б) от ОСШ в децибелах, полученная экспериментально.

Анализ рис. 5 показывает, что расчёты , произведённые с помощью числового и знакового корреляторов, дают близкий результат; знаковый коррелятор по сравнению с числовым обладает выигрышем в 10 дБ по точности определения .

На рис. 6 приведена экспериментальная зависимость среднего значения и дисперсии аргумента корреляционной функции (частотного сдвига) от ОСШ . При этом , где - дробная часть расстройки частоты, измеренная в относительных единицах расстояния между соседними поднесущими.

(а)

(б)

Рис. 6. Зависимость среднего значения аргумента корреляционной функции (а) и дисперсии (б) от ОСШ .

Из анализа графика на рис. 9 можно заключить, что знаковый алгоритм не пригоден для измерения рассогласования, так как даёт смещённую оценку, отличающуюся от действительного значения. Точность определения величины в случае знакового коррелятора примерно на 20 дБ ниже, чем при использовании числового.

Таким образом, числовой и знаковый корреляторы содержат взаимоисключающие преимущества и недостатки по определению времени запаздывания и сдвига частоты.

Выходом из положения может служить применение комбинированного способа, когда параллельно работают два коррелятора: числовой и знаковый. Временной сдвиг рассчитывается с помощью знакового коррелятора и в момент максимума принимает значение . Для определения частотного сдвига используется другая корреляционная сумма , которая рассчитывается в тот же момент времени , но по числовому алгоритму, и именно её аргумент служит для определения частотного сдвига. Таким образом, использование комбинированного способа сочетает в себе преимущества двух рассмотренных ранее и позволяет достичь выигрыша в точности определения порядка 10 дБ, несмотря на незначительные аппаратные затраты.

Приведем результаты оценки параметров синтезированного алгоритма. Одним из основных вопросов, которые необходимо решить при реализации алгоритма является определение количества символов (реализаций) усреднения для вычисления оценок параметров синхронизации, т.к. от последнего зависит время вхождения в синхронизм и вычислительные затраты.

На рис. 7 приведено распределение и для различных символов. Из графиков видно, что плотность распределения вероятностей (ПРВ) может с достаточной точностью быть аппроксимирована нормальным законом распределения. Подобное допущение позволяет применить формулу [11] для дисперсии оценки математического ожидания временного сдвига , которая справедлива в случае нормальной ПРВ, т.е.

(16),

где - количество символов усреднения, а - оценка дисперсии, которую можно принять равной действительной дисперсии, т.е. . Окончательно формула (16) принимает вид

.

Рассуждая аналогично, получим формулу

.

(а)

(б)

Рис. 7. Плотности распределения вероятности временного сдвига (а) и частотной расстройки (б).

(а)

(б)

Рис. 8. Зависимости дисперсии оценки математического ожидания временного сдвига (а) и дисперсии оценки математического ожидания расстройки частоты (б) от ОСШ при различном количестве символов усреднения .

Из графиков на рис. 8 модно сделать вывод, что наиболее целесообразным количеством символов для усреднения является , так как потенциальная точность грубой синхронизации по времени не может быть выше одного отсчёта, а увеличение приводит росту времени оценивания.

В заключение произведём оценку оценки разрядности данных, т.е. количества бит, с помощью которых представляются отсчёты сигнала. Для этого входной сигнал необходимо дополнить шумом квантования.

Как известно, шум квантования имеет равномерное распределение [12] в пределах

,

где - расстояние между соседними уровнями квантования. Такой процесс имеет характеристики и . В реальных АЦП вместо округления значений уровня сигнала происходит усечение, поэтому шум квантования лежит в пределах , т.е. , а [12]. При моделировании используем шум реального АЦП. На рис. 9 представлены зависимости от и от соответственно при различных значениях количества разрядов .

(а)

(б)

Рис. 9. Зависимость среднего значения (а) и дисперсии (б) расстройки частоты от ОСШ при различных значениях разрядности данных.

Из графиков видно, что для измерения необходимо обеспечить разрядность , т.к. при меньших значениях ухудшается точность определения рассогласования, и более того появляется значительное смещение в его определении.

При расчёте временного сдвига используется знаковый алгоритм, поэтому разрядность данных практически не влияет на его характеристики.