8. Взаимное пересечение поверхностей

Ключевые слова: Линия взаимного пересечения поверхностей. Способ вспомогательных плоскостей посредников. Способ вспомогательных сфер-посредников: концентрических, эксцентрических. Общие точки поверхностей. Опорные точки. Случайные точки. Видимость проекций. Минимальный и максимальный радиусы сфер-посредников. Частные случаи. Теорема Монжа.

Линия пересечения двух поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую ли ломаную линию, которая может распадаться на две или больше части. Строят эту линию по отдельным общим точкам, которые находят с помощью плоскостей-посредников или вспомогательных сфер. В первую очередь находим все опорные точки, а затем дополнительные случайные.

8.1. Способ секущих плоскостей

Рассмотрим общий алгоритм решения задачи.

1

Рис. 69

. Нужно определить, какие поверхности пересекаются и как они расположены относительно друг друга. В данном случае пересекаются поверхности вращения, которые имеют общую фронтальную плоскость симметрии.

2.Определить, какая линия пересечения должна получиться (пространственная или плоская, одна ли более).

3.Определить положение пло-скостей-посредников, рассекающих любую из поверхностей по простым линиям - окружностям или прямым, и чтобы эти линии также проецировались на каждую плоскость проекций (в окружности и в прямые). На рис 69 заданы прямой конус вращения и сфера.

В данном случае выбираем горизонтальные плоскости-посредники, которые пересекают обе поверхности по окружностям, проецирующимся на П₂ в прямые линии, параллельные оси ОХ, а на П₁ – в окружности без искажения (рис. 69, 70).

4. Находим, прежде всего, опорные точки. Это особые (характерные) точки - самая левая, правая, передняя, задняя, точки - границы видимости, наивысшие и наиболее низкие точки, которые находят без вспомогательных построений.

В данном случае это точки 1 и 2 (рис. 70), которые находятся в пересечении фронтальных контуров поверхностей, и строятся, как точки пересече-

ния очерковых образующих, расположенных в общей плоскости симметрии. Далее проводим через экватор вспомогательную секущую плоскость Г', которая пересекает сферу по экватору, а конус по окружности радиуса r' . Пересечение горизонтальных проекций этих окружностей дает горизонтальные проекции точек 3 и 4.

Рис. 70

Проводим линии связи и строим фронтальные проекции этих точек на Г₂'. Это точки - границы видимости на П₁. Все, что будет находиться выше экватора, проецируется на П₁ в видимую часть, а что ниже - в невидимую часть линии взаимного пересечения.

Сечение посредника Г'' выше экватора дает две окружности радиусами r'' и R'', в пересечении которых находятся произвольные точки 5 и 6. Сечение посредника Г''' ниже экватора дает еще две точки 7 и 8.

5. Соединив плавной кривой линией соответствующие проекции опорных и произвольных точек с учетом видимости, получим проекции линии вза

имного пересечения заданных поверхностей, то есть пространственную кривую 4-го порядка (ее порядок равняется сумме порядков поверхностей).

Надо запомнить способ проверки линии пересечения, которая всегда располагается в зоне наложения проекций поверхностей, которые пересекаются. На рис.70,а эти части заштрихованы.