6.2.2. Пересечение конуса плоскостью
Рассмотрим пересечение поверхности прямого кругового конуса плоскостью - конические сечения (рис. 53).
Плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает его по образующим. Касательная к конусу плоскость касается его по прямой. В других случаях в пересечениях конуса - кривые линии второго порядка.
Существует зависимость между типом сечения и углами между осью вращения конуса, его образующей и секущей плоскостью.
Угол между осью вращения конуса и образующей обозначим - , между осью вращения и секущей плоскостью - .
Тип сечения:
- плоскость, перпендикулярная к оси вращения (=90) - окружность;
- плоскость пересекает все образующие (>0) - эллипс;
- плоскость, параллельная одной образующей (=) - парабола;
- плоскость, параллельная двум образующим (<) - гипербола.
6.2.3. Пересечение конуса плоскостью, наклонной ко всем образующим
С
екущая
плоскость Ф - фронтально-проеци-рующая.
Ось вращения конуса - перпендикулярна
горизонтальной плоскости проекций
(рис. 54) Фронтальная проекция эллипса
есть отрезок прямой 12-22.
Горизонтальная проекция такого эллипса
- эллипс.
Для построения горизонтальной проекции линии сечения найдем: малую (3-4) и большую (1-2) , оси. Для построения малой оси через середину эллипса (12-22/2) проведем горизонтальную плоскость. Она пересечет конус по окружности радиуса R ,а секущую плоскость - по прямой. Пересечение окружности радиуса R и прямой даст точки 3 и 4, которые определяют малую ось.
Для построения промежуточных точек достаточно провести плоскости - посредники через их фронтальные проекции, параллельные горизонтальной плоскости проекций.
При пересечении конуса по параболе или гиперболе горизонтальные проекции этих линий (точек опорных и случайных) определим способом секущих плоскостей - посредников.
6.2.4. Пересечение сферы плоскостью
Произвольная плоскость пересекает сферу по окружности.
На рис. 55 сферу пересекает фронтально - проецирующая плоскость . Диаметр окружности, полученной в сечении, равняется длине его фронтальной проекции 12-22.
Рис. 55
Горизонтальная и профильная проекции окружности - это эллипсы, большие оси которых равняются диаметру окружности (31-41, 33-43).
Малые оси эллипсов (1-2), находящиеся на фронтальном меридиане, строят по линиям связи. Необходимо также определить точки границы видимости на П1 и П3, которые находятся на экваторе (6 и 5) и профильном меридиане (8 и 7). Точки 6 и 5 – лежат на экваторе-очерке на горизонтальной проекции, точки 7 и 8 - на профильном меридиане (очерк на профильной) проекции. Если секущая плоскость параллельна одной из плоскостей проекций, то на неё окружность проецируется в натуральную величину, а на две другие плоскости - в прямые линии.
Для построения точек 3 и 4 (или других промежуточных точек) используют метод секущих плоскостей - посредников, проводя через их проекции 32 ≡ 42 горизонтальную плоскость Г.
Плоскость Г и ∑ пересекают сферу по окружности радиуса R, а между собой они пересекаются по прямой. Пересечение этих двух линий на горизонтальной проекции дает искомые точки 31 и 41.