Асимптоты графика функции

Определение. Прямая L называется асимптотой для кривой k, если расстояние от точки M на k до L стремится к нулю при удалении M в бесконечность (т.е. при |OM| )

Асимптоты графика функции y=f(x) (коротко говорят асимптоты функции) делятся на два вида:

1. вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси Оy, они имеют уравнения вида х=х₀;

2. наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси Оy; они имеют уравнения вида y=kx+b.

Теорема (о наклонной асимптоте). Прямая y=kx+b является правой (левой) наклонной асимптотой функции y=f (x) в том и только том случае, когда существуют (конечные) пределы

и .

Схема исследования и построения графика функции

Чтобы исследовать функцию y=f (x) и построить ее график, действия рекомендуется проводить в следующем порядке.

1.Нахождение области определения функции. Исследование на четность, нечетность, периодичность. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.

2. Исследование функции на непрерывность. Вычисление пределов функции при , стремящемся к границам области определения и к точкам разрыва.

3.Нахождение асимптот функции.

4.Вычисление f ' (x) и исследование ее знаков. Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов.

5.Вычисление f ''(x) и исследование ее знаков. Нахождение интервалов направления выпуклости и точек перегиба.

6.Построение таблицы, в которой указываются все найденные точки разрыва, критические точки первого и второго порядка и интервалы между ними. В каждом интервале характеризуется поведение функции.

7.Построение графика функции с учетом ее асимптот и таблицы. При необходимости можно вычислить промежуточные значения функции.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Функция определена в области D=(-,0)  (0, ). С осями координат график не пересекается, так как при х=0 она не определена и f(x)>0 xD. Функция не является четной, нечетной и периодичной.

2. Функция непрерывна в своей области определения, х₀=0 – ее точка разрыва.

Следовательно, прямая х=0 – вертикальная асимптота

3. , . Поэтому прямая y= =1 является правой и левой наклонной асимптотой функции.

4. Знаки этой производной следующие (рис.1).

Поэтому на промежутках (-,0) и (0,) функция убывает.

Критических точек и экстремумов нет.

Знаки f ''(x) (рис.2)

o

В промежутке функция выпукла вверх, в промежутках , она выпукла вниз. Критическая точка второго порядка является точкой перегиба функции.

X	(-,- )	-	(- ,0 )	0	(0, +)
f '(x)				не 	
f ''(x)		0	+	не 	+
f (x)				не 

точка точка перегиба разрыва 2-го рода

Построение графика начинаем с асимптот и критических точек, затем пользуемся таблицей (рис.3).

Рис 3

Осн. лит.: 2, [178-203] , 19, [209-219]

19, [52-58].

Контрольные вопросы:

1.Нахождение экстремума функции с помощью первой производной

2. Нахождение точки перегиба функции

3. Формула нахождения асимптоты графика функции

4. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.

Лекция № 10. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов.

Основные определения

Определение. Первообразной для функции , определенной в интервале , называется такая функция , производная которой совпадает с в интервале , т.е. .

Другими словами, нахождение первообразной для данной функции есть задача обратная к задаче нахождения ее производной.

Пример 1. Первообразной для функции , на является функция , т.к. . Заметим, что это не единственная первообразная у данной функции. Функции , , а также любая функция (С-число), являются первообразными для функции .

Теорема 1. Если и две первообразные для функции на , то найдется такое число С, что .

Определение. Множество всех первообразных для функции на интервале называется неопределенным интегралом этой функции.

Он обозначается символами , где знак интеграла, - дифференциал переменной . Если какая-либо первообразная функции , то

, .

В дальнейшем для краткости мы не будем упоминать интервал определения первообразной.

Неопределенные интегралы являются основным инструментом для нахождения определенных интегралов, имеющих широкие применения практически во всех приложениях математики. В этой главе мы рассмотрим методы нахождения различных неопределенных интегралов. Сразу следует заметить, что в отличие от производных, нет алгоритма нахождения любого неопределенного интеграла, а некоторые интегралы вообще нельзя выразить с помощью элементарных функций.

Свойства неопределенных интегралов

Мы будем предполагать, что все записанные интегралы существуют.

1) ; .

2) ; .

Эти свойства непосредственно следуют из определения неопределенного интеграла.

3) Если - число, то .

4)

Для доказательства этих утверждений продифференцируйте левую и правую части каждого равенства.

5) Если , , - числа, то

.

Для практического интегрирования прежде всего необходимо знать наизусть следующую таблицу.

Таблица основных неопределенных интегралов

1. . 2. . 3. . В частности, . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. .

Проверка любого интеграла из этой таблицы состоит в нахождении производной правой части.

Например. , т.к. .

Пример 1.

.

Пример 2. .

Осн. лит.: 2, [205-207] , 21, [338-345], 18, [492-495]

7, [183-189]

Контрольные вопросы:

1. Что такое первообразная?

2. Дайте определение неопределенного интеграла.

3. Теорема о первообразных для одной функций

4. Таблица неопределенных интегралов

Лекция № 11. Методы интегрирования некоторых функций.