Первый замечательный предел

.

Второй замечательный предел

.

Непрерывность функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются три условия:

1. существует ;

2. существует ;

3. .

В символической форме это определение записывается так:

.

Теорема (о непрерывности монотонной функции). Пусть функция монотонна (монотонно возрастает или монотонно убывает) на отрезке а,  и принимает все значения из отрезка , тогда она непрерывна в каждой точке интервала (а, ), непрерывна в точке а справа и в точке слева.

Из этой теоремы следует, что все основные элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своей области определения, а во всех граничных точках области определения, принадлежащих ей, они непрерывны справа и слева. Это следует из того, что

любую точку из области определения основной элементарной функции можно включить в отрезок, где эта функция монотонна и принимает все значения из отрезка

.

Например, функция непрерывна во всех точках интервала (–1,1), непрерывна в точке справа и в точке слева, так как оно монотонно возрастает в и для

.

Теорема Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции

1) , 2) , 3) при . Также непрерывны в точке .

Теорема (непрерывность сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке и , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Осн. лит.: 2, [86-126], 19, [162-180], 18, [46-189]

Доп. лит.: 30, [151-168].

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте определения предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

2.Первый замечательный предел. Сформулируйте определение числа е (второй замечательный предел).

3.Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции.

Лекция № 8. Дифференциальное исчисление. Производная

Пусть в некоторой окрестности точки и в самой точке определена функция .

Определение: Приращением аргумента х в точке называется разность .

Определение. Приращением функции в точке называется разность

.

Это приращение зависит от двух аргументов и x. Геометрически x и f означают изменения абсциссы и ординаты точки на графике при перемещении из точки в точку (рисунок 1).

Y

B

А

0

X

Рис.1

Пример. Если , то , т. е. при увеличении стороны квадрата, равной 1 на 0,1, его площадь возрастает на 0,21.

Используя понятия x, y, можно дать ещё одно определение непрерывности функции в точке , эквивалентное предыдущему.

Определение. Если функция определена в некоторой окрестности точки и , то она называется непрерывной в точке .

В самом деле, этот предел означает, что

, т. е. .

Определение. Если существует предел

,

то это число называется производной функции в точке .

Эта производная обозначается также одним из следующих символов:

.

Этот предел можно записывать также в виде

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет конечную производную в этой точке.

Выясним теперь связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции, для этого из определения выразим f.

,

(где - б.м. при .

Следовательно,

.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке

Основные правила дифференцирования

Теорема 1. (правила дифференцирования суммы, произведения и частного). Если функции и дифференцируемы в точке x, то сумма, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

1.

2.

3. .

Производная сложной функции и обратной функций