- •Глава 1. Линейная и векторная алгебра
- •Глава 2. Системы координат
- •Глава 3. Прямая на плоскости
- •Глава 4. Плоскость в пространстве
- •Глава 5. Прямая в пространстве
- •Глава 6. Кривые второго порядка
- •Глава 7. Поверхности второго порядка
- •Глава 8. Дифференциальная геометрия
- •Глава 9. Предел функции в точке
- •Глава 10. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Глава 11. Функции нескольких переменных
- •Глава 12. Неопределенный интеграл
- •§1 Основные методы интегрирования
- •Глава 13. Определенный интеграл
Глава 13. Определенный интеграл
§1 Вычисление определенного интеграла |
||
1. Формула Ньютона-Лейбница
|
Задача. Вычислить интеграл . Решение. . Ответ. 9.
|
Задача. Вычислить интеграл . Решение.
Ответ. . |
2. Замена переменной в определенном интеграле
|
Задача. Вычислить интеграл . Решение. . Ответ. . |
3. Формула интегрирования по частям
|
Задача. Вычислить интеграл . Решение.
. Ответ. . |
|
||||||||||||
4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
|
|
|||||||||||||
Задача. Вычислить интеграл . Решение. . Ответ. 0.
|
Задача. Вычислить интеграл . Решение. . Ответ. .
|
|
||||||||||||
§2 Несобственные интегралы |
|
|||||||||||||
Несобственные интегралы I рода |
|
|||||||||||||
Если функция непрерывна на , то (*) Если функция непрерывна на , то (**) Если функция непрерывна на , то (***) Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся. Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***). |
Задача. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: . Решение.
, интеграл сходится.
|
|
||||||||||||
Несобственные интегралы II рода |
|
|||||||||||||
Если - непрерывна на и имеет бесконечный разрыв при , то . (*) Если функция терпит бесконечный разрыв в точке , то . (**) Если терпит бесконечный разрыв внутри отрезка , т.е. в точке , , то . (***) Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся. Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***). |
Задача. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: Решение.
, интеграл расходится.
|
|
||||||||||||
§3 Геометрические приложения определенного интеграла |
|
|||||||||||||
Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат |
Площадь плоской фигуры в полярной системе координат |
|
||||||||||||
,
|
- непрерывна на ,
|
|
||||||||||||
Задача. П лощадь фигуры, ограниченной параболой и прямой , вычисляется с помощью интеграла… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. , следовательно, . На отрезке график функции расположен выше графика функции , поэтому
Ответ. №3. |
|
|||||||||||||
Длина дуги плоской кривой в декартовой системе координат |
, |
Задача. Найти длину дуги кривой от до . Решение. Так как , то ; . .
. Ответ. .
|
|
|||||||||||
, |
|
|||||||||||||
Длина дуги плоской кривой в полярной системе координат
|
,
|
|
||||||||||||
Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде на плоскости
|
|
|
||||||||||||
Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде в пространстве
|
|
|
||||||||||||
|
|
Объем |
Площадь поверхности |
|||||||||||
Объем и площадь поверхности тела вращения
Кривая , вращается вокруг оси
Кривая , вращается вокруг оси |
|
|
|
|||||||||||
§4 Применение определенного интеграла к решению некоторых задач физики |
||||||||||||||
Вычисление работы |
Вычисление работы переменной силы , при перемещении точки вдоль оси из положения в положение |
|
||||||||||||
Вычисление пути |
Путь пройденный телом за промежуток времени от до со скоростью |
|