- •Глава 1. Линейная и векторная алгебра
- •Глава 2. Системы координат
- •Глава 3. Прямая на плоскости
- •Глава 4. Плоскость в пространстве
- •Глава 5. Прямая в пространстве
- •Глава 6. Кривые второго порядка
- •Глава 7. Поверхности второго порядка
- •Глава 8. Дифференциальная геометрия
- •Глава 9. Предел функции в точке
- •Глава 10. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Глава 11. Функции нескольких переменных
- •Глава 12. Неопределенный интеграл
- •§1 Основные методы интегрирования
- •Глава 13. Определенный интеграл
Глава 12. Неопределенный интеграл
Первообразная
|
Дифференцируемая функция называется первообразной для функции на некотором множестве значений , если на этом множестве. |
Неопределенный интеграл
|
Совокупность всех первообразных функции на некотором множестве называется неопределенным интегралом, т.е. |
Таблица интегралов:
§1 Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование |
|||
1) ,
2)
3) |
а)
б) |
||
2. Внесение функции под знак дифференциала |
|||
Таблица дифференциалов |
а)
б)
в) |
||
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
|
9. 10. 11. 12. 13. 14. . |
3. Правило подстановки |
||
Подстановка |
а)
б)
|
|
4. Интегрирование по частям |
||
1) 2) 3) |
а)
б)
|
5. Интегрирование простейших дробей |
|
1) 2) 3)
|
а) б)
в)
. |
6. Интегрирование рациональных дробей |
|
1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (выделить целую часть).
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
|
Дробь правильная. Представим ее в виде суммы простейших дробей: , приведем к общему знаменателю |
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей. |
;
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х: ; Значит:
|
||
7. Интегрирование тригонометрических функций |
|||
7.1.
|
Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул
|
а)
|
|
7.2. , где и - целые числа
|
Если m – нечетное положительное, то подстановка . Если n – нечетное положительное, то подстановка . Если - четное отрицательное, то подстановка . Если и - четные неотрицательные, то применяются формулы: ; |
б)
|
|
7.3. |
Универсальная подстановка , тогда ; ; ; . Если , то подстановка ; Если , то подстановка ; Если , то подстановка . |
в)
|
8. Интегрирование иррациональных функций |
||
8.1.
8.2.
8.3. Квадратичные иррациональности
8.4. Интегралы типа
8.5. Дифференциальный бином , где - рациональные числа, а, b – действительные числа
|
Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей
Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой
Под радикалом выделить полный квадрат и сделать подстановку
Подстановка
Подстановка Подстановка
1-й случай а) если р – целое положительное число, то нужно раскрыть скобки по биному Ньютона и вычислить интегралы от степеней; б) если р – целое отрицательное число, то подстановка , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n, приводит к интегралу от рациональной дроби;
2-й случай если - целое число, то применяется подстановка , где - знаменатель дроби р; 3-й случай если - целое число, то применяется подстановка , где - знаменатель дроби |
|
Задача. Первообразными функции являются Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Т.к. , то , тогда Ответ. №4
Задача. Множество первообразных функции имеет вид Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение.
Ответ. №1
Задача. В неопределенном интеграле введена новая переменная . Тогда интеграл принимает вид Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение.
Ответ. №4
Задача. Установите соответствие между интегралом и его значением 1. 2. 3. 4. Варианты ответов: а) в) с) d) е) Решение. 1) 2) 3) 4) Ответ. |