Глава 4. Плоскость в пространстве

§1 Виды уравнений плоскости

1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Уравнение плоскости, проходящей через три точки , ,

2. Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором

Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором

(нормальный вектор – вектор, перпендикулярный плоскости)

3. Уравнение плоскости в отрезках

Уравнение плоскости в отрезках

,

где отрезки, которые отсекает плоскость соответственно на осях .

Задача.

Какие отрезки отсекает плоскость на осях координат.

Решение.

Сведем к уравнению плоскости в отрезках

,

.

Тогда по оси Ох отсекается отрезок, равный 6; по оси Оу – отрезок, равный 4; по оси Оz – отрезок, равный 2.

4. Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости

Коэффициенты при переменных x, y и z – это координаты нормального вектора .

Задача.

Нормальный вектор плоскости имеет координаты

Варианты ответов: 1)

2) 3)

4)

Решение.

Координаты нормального вектора – это коэффициенты при переменных и .

Ответ. №1.

Задача.

Плоскости принадлежат точки…

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

Точка принадлежит плоскости, если ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости.

С: . С принадлежит плоскости

Е:

D:

А: . А принадлежит плоскости

Ответ. точки С и А принадлежат плоскости.

Задача.

Если точка принадлежит плоскости , то коэффициент С равен…

Решение.

Подставим координаты точки в уравнение плоскости

Ответ.

§2 Частные случаи общего уравнения плоскости

5. Плоскость

Плоскость (xOy):

Задача:

Установить соответствие между уравнением плоскости и ее положением в пространстве.

1)

2)

3)

4)

Варианты ответов: А) параллельна оси

В) проходит через начало координат

С) параллельна оси

D) проходит через ось

Е) параллельна оси

Решение.

1) .

Отсутствует переменная . Тогда параллельна оси .

2) . Отсутствует переменная . Тогда параллельна оси .

3) . Отсутствует переменная . Тогда параллельна оси .

4) . Отсутствует свободный член. Тогда плоскость проходит через начало координат.

6. Плоскость

Плоскость (xOz):

7. Плоскость

Плоскость (yOz):

8. Плоскость, параллельная

Плоскость, параллельная (xOy):

или

(в уравнении отсутствуют переменные и )

9. Плоскость, параллельная

Плоскость, параллельная (xOz):

или

(в уравнении отсутствуют переменные и )

10. Плоскость, параллельная

Плоскость, параллельная (yOz):

или

(в уравнении отсутствуют переменные и )

11. Плоскость проходит через начало координат

Плоскость проходит через начало координат

12. Плоскость, параллельная оси

Плоскость, параллельная оси Ox:

(в уравнении отсутствует переменная )

Ответ.

13. Плоскость, параллельная оси

Плоскость, параллельная оси Oz:

(в уравнении отсутствует переменная )

14. Плоскость, параллельная оси

Плоскость, параллельная оси Oy:

(в уравнении отсутствует переменная )

15. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости вычисляется пор формуле

§3 Взаимное расположение плоскостей

Пусть даны плоскости и

16. Условие

перпендикулярности плоскостей

Задача.

Найти угол между плоскостями и .

Решение.

Нормальный вектор плоскости имеет координаты . Для второй плоскости . Воспользуемся формулой вычисления угла

, .

Ответ. .

17. Условие

параллельности плоскостей

18. Угол между плоскостями