- •Глава 1. Линейная и векторная алгебра
- •Глава 2. Системы координат
- •Глава 3. Прямая на плоскости
- •Глава 4. Плоскость в пространстве
- •Глава 5. Прямая в пространстве
- •Глава 6. Кривые второго порядка
- •Глава 7. Поверхности второго порядка
- •Глава 8. Дифференциальная геометрия
- •Глава 9. Предел функции в точке
- •Глава 10. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Глава 11. Функции нескольких переменных
- •Глава 12. Неопределенный интеграл
- •§1 Основные методы интегрирования
- •Глава 13. Определенный интеграл
Глава 11. Функции нескольких переменных
1 Область определения функции нескольких переменных |
|||||||||||
Пусть даны два числовых множества и , где некоторая область из пространства , а некоторое подмножество множества . Если каждой паре чисел по некоторому правилу (закону) поставлено в соответствие единственное число , то говорят, что на множестве задана функция двух переменных . При этом и называются независимыми переменными (или аргументами), зависимой переменной (или функцией), множество областью определения функции, а множеством значений функции. |
З адача. Найти область определения функции . Решение. Функция определена при условии , т.е. . Это круг с центром в начале координат и радиусом 1, включающий свою границу, т.е. окружность . |
||||||||||
2 Предел функции нескольких переменных |
|||||||||||
Число называется пределом функции при , если для любого числа найдется такая окрестность точки , что для любой точки из этой окрестности (за исключением, быть может, точки ) имеет место неравенство . При этом пишут или , так как при , очевидно , ,..., . |
Задача. Найти предел . Решение.
. Ответ. 2. |
||||||||||
3 Частные производные функции нескольких переменных |
|||||||||||
Частной производной функции по переменной , в точке называется предел (если таковой существует) отношения частного приращения к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:
Аналогично определяется частная производная
Для обозначения частных производных функции двух переменных применяются следующие символы: .
|
Задача. Найти частные производные функции . Решение.
|
||||||||||
4 Частные производные высших порядков |
|||||||||||
Пусть имеем некоторую функцию от двух переменных и . Ее частные производные и являются функциями от переменных и . В некоторых случаях для этих функций существуют снова частные производные, называемые частными производными второго порядка (или просто вторыми частными производными): , , , . Теорема. Если в некоторой окрестности точки производные и существуют и непрерывны в самой точке , то они равны между собой в этой точке, т.е. имеет место равенство: . |
Задача. Пусть Имеем , , ,
, .
|
||||||||||
5 Производная сложной функции. Случай одной независимой переменной. |
|||||||||||
Теорема. Если функции и дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция также дифференцируема в точке и имеет место формула . |
Задача. Пусть , где . Решение. .
|
||||||||||
Если , . Тогда является сложной функцией переменной , где . |
Задача. Пусть , где . Решение. . |
||||||||||
6 Производная сложной функции. Случай нескольких независимых переменных. |
|||||||||||
Если функции , дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в точке , где , то сложная функция дифференцируема в точке , причем ее частные производные в этой точке находятся по формулам
|
Задача. Пусть , , Решение.
|
||||||||||
7 Полный дифференциал функции |
|||||||||||
Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где 1 и 2 – бесконечно малые функции при х 0 и у 0 соответственно. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).
Для функции произвольного числа переменных:
|
Задача. Найти полный дифференциал функции .
|
||||||||||
8 Производная неявно заданной функции |
|||||||||||
Если - дифференцируемая функция переменных , и в некоторой области D и , то уравнение определяет однозначно неявную функцию , также дифференцируемую, и , |
Задача. Найти производную неявной функции , заданной уравнением , и вычислить ее значение в точке . Решение. Введем обозначение . Тогда . Следовательно, и . |
||||||||||
9 Приближенные вычисления с помощью дифференциала |
|||||||||||
В приближенных вычислениях пользуются данной формулой.
|
Задача. Вычислить приближенно с помощью дифференциала . Решение. Рассмотрим функцию .
или . Положим теперь ; тогда . Следовательно, . Или . |
||||||||||
10 Касательная плоскость к поверхности |
|||||||||||
П лоскость, проходящая через точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке , если угол между секущей и этой плоскостью стремится к нулю, когда расстояние стремится к нулю, каким бы образом точка на поверхности ни стремилась к точке . Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , если плоскость задана неявно:
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , если плоскость задана явно:
|
Задача. Найти уравнение касательной плоскости к сфере в точке , где . Решение. Подставляя и в уравнение сферы, находим , т.е. . Запишем уравнение сферы в неявном виде: , откуда . Найдем , , . Уравнение касательной плоскости: , или - плоскость параллельна оси . |
||||||||||
11 Нормаль к поверхности |
|||||||||||
Уравнение нормали в точке к поверхности, заданной неявно, запишется в виде: . Уравнение нормали в точке к поверхности, заданной явно, запишется в виде:
|
Задача. Записать уравнения нормали к поверхности в точке . Решение. Поскольку , то , . Уравнение нормали: . |
||||||||||
12 Экстремум функции нескольких переменных |
|||||||||||
Алгоритм исследования функции на экстремум
найти точки возможного экстремума.
|
Задача. Исследовать на экстремум функцию . Решение. Областью определения является вся плоскость . Найдем критические точки. , . Приравнивая эти производные нулю, приходим к системе:
Решая эту систему уравнений, находим четыре критические точки . Теперь найдем вторые частные производные: и составим выражение . Тогда: 1) точка минимума;
Итак, данная функция имеет два экстремума: в точке минимум, и в точке максимум, |