6.2. Закон Ома для неоднородной цепи

Неоднородными цепями называют такие цепи, в которых имеются источники ЭДС. Поскольку в этих цепях, помимо обычных электрических полей, действуют поля сторонних сил, то для таких цепей закон Ома в дифференциальной форме будет иметь следующий вид:

. (6.6)

Теперь давайте перейдем от дифференциального закона к интегральному. Для этого рассмотрим замкнутую цепь, в которую включен источник тока с ЭДС, равной  (рис.6.5).

Рис.6.5

В замкнутой цепи мысленно выделим малый участок дли- ной dl, такой, чтобы в нем можно было считать постоянным площадь поперечного сечения S. Поле и плотность тока на этом участке будут однородными и направленными перпендикулярно сечению проводника. Выражение (6.6) для этого участка можно переписать следующим образом:

. (6.7)

Умножив обе части равенства (6.7) на , получим:

.

Теперь проинтегрируем это выражение по участку проводника, включающему источник тока:

.

Величина представляет собой сопротивление бесконечно малого участка цепи, а – полное сопротивление участка цепи 1–2. – электродвижущая сила источника тока, включенного на этом участке цепи. Учитывая это, можно переписать равенство (6.8) следующим образом:

IR₁₂=+(₁-₂).

Мы получили закон Ома для неоднородной цепи в интегральной форме.

Если на данном участке цепи отсутствует источник тока, то этот закон, естественно, переходит в обычный закон Ома для однородной цепи.

6.3. Работа тока. Закон Джоуля-Ленца

Допустим, что у нас есть электрическая цепь, состоящая из сопротивления R (рис.6.6).

Рис.6.6

По цепи течет электрический ток силой I. Так как ток – это направленное движение зарядов, то в процессе переноса зарядов над ними внешнее поле совершает работу. Величина этой работы равна:

dA = qE_ldl=q(₁-₂) = U₁₂Idt.

В соответствии с законом Ома эту работу можно выразить через сопротивления данного участка цепи и полученное выражение переписать как

dA = RI²dt.

Мы получили работу, которую производит ток силой I, протекающий по проводнику сопротивлением R в течение малого промежутка времени dt. Известно, что в процессе течения тока по проводнику он нагревается и в нем выделяется некоторое количество теплоты Q. Если при этом в проводнике не возникает никаких превращений энергии (например, нет химических превращений, совершаемых током), то вся работа, совершаемая током, переходит в теплоту:

dQ = RI²dt. (6.8)

Полученное выражение является законом Джоуля-Ленца. Если протекающий через проводник ток изменяется с течением времени, либо изменяется величина сопротивления цепи, то количество теплоты, выделяемое при этом, будет определяться интегралом:

. (6.9)

Закон Джоуля-Ленца (6.9) называется законом Джоуля-Ленца в интегральной форме. Его можно также записать в дифференциальной форме. Давайте в выражении (6.8) заменим силу тока на плотность, а сопротивление цепи выразим через удельное сопротивление:

,

где dV = Sdl – элементарный объем проводника, через который течет ток. Если мы поделим теплоту dQ, выделившуюся в проводнике, на величину элементарного объема dV и промежуток времени dt, то получим величину, называемую удельной мощностью тока:

. (6.10)

Заменив в этом выражении плотность тока напряженностью электростатического поля, получаем закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

W = (E)² = E²,

который говорит о том, что мощность, выделяющаяся в проводнике, через который течет ток, пропорциональна квадрату напряженности электростатического поля.

Удельную мощность тока можно использовать для нахождения количества теплоты, выделяющейся в проводнике, по которому течет электрической ток. Для этого выражение (6.10) нужно проинтегрировать по времени и объему, т.е. вычислить интеграл:

.