6.5. Разветвленные электрические цепи. Законы Кирхгофа

Мы рассмотрели закон Ома для участка цепи или для замкнутой цепи. Но реальные электрические цепи редко состоят из простого контура, чаще всего они представляют собой набор элементов, сложным и запутанным образом соединенных между собой. Реальные радио и электротехнические цепи являются разветвленными цепями, расчет которых представляет весьма трудную задачу. Для облегчения таких расчетов используют два закона, или два правила Кирхгофа. В чем смысл этих законов? На рис.6.9 приведен пример разветвленной электрической цепи.

Рис.6.9

В этой цепи соединены вместе сопротивления R₁, R₂, R₃, R₄, R₅ и источники тока с ЭДС ₁, ₂, ₃, ₄, ₅. Пронумеруем точки, в которых сходятся различные участки этой разветвленной цепи, от 1 до 4. Точки, в которых сходится не менее трех проводников, называются узлами разветвленной цепи. На рисунке узлами являются точки 2 и 4, поскольку к ним подходит по три провода, а вот точки 1 и 3 не являются узлами, так как в них соединяются только два провода.

Обозначим токи, текущие во всех участках цепи, и приступим к формулировке первого правила Кирхгофа. На рисунке видно, что к узлу 2 подходит ток I₁, а от него уходят токи I₂ и I₃. За время dt ток I₁ приносит в узел 2 заряд, равный I₁dt, а токи I₂ и I₃ уносят из узла суммарный заряд, равный (I₂+I₃)dt. Увеличение заряда в узле 2 за промежуток времени равен:

dq₂ = I₁dt (I₂+I₃)dt = (I₁ I₂ I₃)dt.

Мы знаем, что проводники являются эквипотенциальными поверхностями, а это значит, что любой проводник, соединенный с узлом, имеет потенциал, равный потенциалу точки соединения проводников, а отсюда следует, что в узлах не могут накапливаться заряды, т.е. dq₂ должно равняться нулю для любого момента времени, поэтому

I₁  I₂ I₃ = 0. (6.11)

Мы получили первое правило Кирхгофа, утверждающее, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

.

Вычисляя эту сумму, следует соблюдать правило: токи, приходящие к узлу, считаются положительными, а уходящие – отрицательными.

Если записать первое правило Кирхгофа для узла 4, то мы получим выражение, аналогичное (6.11). Отсюда можно сделать вывод, что число независимых уравнений для узлов должно быть меньше числа узлов в данной разветвленной цепи. По этому поводу существует правило, которое гласит, что число независимых уравнений для узлов разветвленной цепи можно написать на одно меньше числа узлов в этой цепи.

Второе правило Кирхгофа относится к замкнутому участку разветвленной цепи. Давайте сформулируем это правило. Рассмотрим замкнутую цепь, включающую все внешние отрезки разветвленной цепи, показанной на рис.6.9. Обозначим потенциалы точек 1, 2, 3 и 4, соответственно, через ₁, ₂, ₃ и ₄. Для получения второго правила Кирхгофа воспользуемся законом Ома в интегральной форме для неоднородной цепи. Запишем уравнения для каждого из четырех участков рассматриваемой цепи:

для участка 1–2 I₁R₁ = ₁  ₂ + ₁,

д

(6.12)

ля участка 2–3 I₂R₂ = ₂  ₃ + ₂,

для участка 3–4 I₄R₄ = ₃  ₄ + ₄,

для участка 4–1 I₅R₅ = ₄  ₁ + ₅.

При написании уравнений (6.12) мы обходили эту цепь по часовой стрелке и пользовались следующим правилом. Произведение силы тока, текущего в данной цепи, на величину сопротивления нужно брать со знаком плюс в том случае, когда направление обхода и направление тока совпадают, и со знаком минус – в противоположном случае. Величина ЭДС в этих выражениях также может входить со знаком плюс и со знаком минус. На рис.6.10 показано, в каком случае берется тот или иной знак.

Рис.6.10

Знак плюс у ЭДС берется тогда, когда направление обхода совпадает с направлением движения из положительного электрода источника тока. С учетом его правила в двух первых уравнениях системы (6.12) ЭДС взято со знаком плюс, а в двух последних – со знаком минус.

Складывая правые и левые части системы уравнений (6.12), мы исключаем неизвестные потенциалы узлов:

I₁R₁ + I₂R₂ + I₄R₄ + I₅R₅ = ₁ + ₂  ₄  ₅.

Это уравнение выражает второе правило Кирхгофа для замкнутого контура, которое гласит: алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления в ветвях замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре:

. (6.13)

При написании уравнений на основании второго правила Кирхгофа следует строго придерживаться правила выбора знаков ЭДС и произведения IR. Уравнение (6.13) является обобщением закона Ома для замкнутой цепи и показывает, что при обходе любого замкнутого контура мы возвращаемся в ту же самую точку с тем же значением потенциала.

Пользуясь вторым правилом Кирхгофа, следует составить аналогичные уравнения для всех независимых замкнутых контуров, входящих в разветвленную цепь. Говоря о независимых контурах, следует пользоваться простым принципом. Независимым будет такой контур, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие независимые контуры.

Совокупность независимых уравнений, составленных по первому правилу Кирхгофа для узлов и по второму – для контуров, оказывается достаточной, чтобы найти все (или интересующие нас) токи в разветвленной цепи. Задача сводится, таким образом, к решению системы линейных уравнений, общее число которых равно числу независимых токов.

В качестве примера применения законов Кирхгофа рассмотрим расчет схемы так называемого измерительного мостика Уитстона. Этот мостик (рис.6.11) состоит из четырех сопротивлений R₁, R₂, R₃ и R₄, образующих плечи моста. В одну диагональ АС моста включен источник тока с ЭДС  и сопротивлением R_. В другую диагональ ВD включен гальванометр с сопротивлени- ем R_г.

Название этот мостик получил по имени его изобретателя, английского физика, члена Лондонского королевского общества Чарльза Уитстона, жившего в XIX веке (1802–1875). В 1843 году перед ним стояла задача измерения величин неизвестных сопротивлений. Для ее решения он придумал схему, в которой неизвестное сопротивление сравнивалось с известными. Эта схема впоследствии стала широко использоваться при различных измерениях и получила название мостика Уитстона.

Рис.6.11

Для узлов мостика можно написать три независимых уравнения, используя первый закон Кирхгоффа. Обозначим и направим токи во всех участках мостика произвольным образом и напишем уравнения для узлов А, В и С:

(6.14)

Теперь напишем уравнения, используя второе правило Кирхгофа, для трех независимых контуров ABCA, ABDA и BCDB, которые можно выделить в мостике Уитстона:

(6.15)

Мы получили шесть независимых уравнений – ровно столько, сколько независимых токов течет в плечах мостика Уитстона. Из этих шести уравнений можно определить шесть неизвестных. Если заданы все сопротивления и ЭДС, то такими неизвестными будут токи, текущие в цепи. Если какое-либо из сопротивлений, например R₁, неизвестно, то на опыте измеряют ток, текущий через гальванометр, и из уравнений (6.14) и (6.15) вычисляют остальные пять неизвестных токов и величину R₁. Схема, в которой сопротивления R₁, R₂, R₃ и R₄ неодинаковы, носит название неравновесного мостика Уитстона.

Изменяя известные сопротивления R₂, R₃ или R₄, можно добиться такого положения, чтобы ток через гальванометр обратился в ноль (I _г= 0). Тогда из уравнений (6.14) находим I₁ = I₂ и I₃ = I₄, а из уравнений (6.15) получаем I₁R₁ = I₃R₃ и I₂R₂ = I₄R₄. Отсюда легко вывести, что

, или . (6.16)

Равенство (6.16) показывает, что для определения искомого сопротивления R₁ в случае равновесного моста достаточно знать лишь величину сопротивления R₂ и отношение сопротивлений R₃/R₄. Величины ЭДС источника тока, питающего мост, и сопротивлений источника и гальванометра существенной роли для определения искомого сопротивления R₁ не играют.

На практике часто используется реохордный мостик Уитстона (рис.6.12). В этом мостике сопротивления R₃ и R₄ представляют собой калиброванную проволоку (реохорд).

Рис.6.12

Контакт гальванометра с реохордом (точка D) делается подвижным, и в момент равновесия моста измеряется положение движка на шкале, расположенной параллельно реохорду. В этом случае отношение сопротивлений R₃/R₄ равно отношению длин обоих участков реохорда и .