- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 2
- •Задачи 1 - 2
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Определение 6
- •Определение 7
- •Определение 8
- •Определение 9 (Левостороннего предела)
- •Определение 10 (Правостороннего предела)
- •Решение задач 1 – 2
- •Задача 3
- •Справочный материал
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •Следствие
- •Теорема 4
- •Определение
- •Действия на расширенной числовой оси
- •Сложение
- •Умножение
- •Деление
- •Решение задачи 3
- •Задача 4
- •Решение задачи 4
- •Задачи 5 – 6
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Свойства эквивалентных б. м.
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Определение 6
- •Свойства эквивалентных б. б.
- •Решение задач 5 – 6
- •Задача 7
- •Справочный материал
- •Теорема
- •Решение задачи 7
- •Задача 8а
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Свойства главных частей б. м.
- •Решение задачи 8а
- •Задача 8б
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Свойства главных частей б. б.
- •Решение задачи 8б
- •Задача 9
- •Решение задачи 9
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Теорема
- •Свойства непрерывных функций
- •Следствие
- •Классификация точек разрыва
- •Определение 6
- •Определение 7
- •Решение задачи 10
- •Задание к типовому расчету
2) Если |
lim |
α(x) |
= C , где C - конечное число, отличное от |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
x→x0 |
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нуля, то α(x) и β(x) называются б. б. одного порядка. |
|
||||||||||||
Определение 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. б. функции α(x) и |
β(x) называются эквивалентными в |
||||||||||||
точке x0 , если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
α(x) |
=1 . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x→x0 |
β(x) |
|
|
|
|
|
|||
Обозначается: α(x) |
~ |
β(x). |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Свойства эквивалентных б. б. |
|
|||||||||||
1) Пусть α(x) и β(x) |
- б. б. в точке |
x0 |
и α(x) |
~ α1 (x), |
|||||||||
β(x) ~ |
β1(x). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→x0 |
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
(x) |
|
|
||
|
|
lim |
α |
= lim |
α1 |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
β |
(x) |
β1 |
(x) |
|
|||||||
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
т. е. предел отношения двух б. б. функций не изменится, если хотя бы одну из них заменить на эквивалентную ей б. б.
2)Сумма б. б. функций разного порядка эквивалентна б. б. большего порядка.
3)Сумма б. б. функций одного порядка эквивалентна сумме эквивалентных им б. б., за исключением случая разности эквивалентных б. б.
Решение задач 5 – 6
|
etg2 x −1 |
|
0 |
|
|
а) lim |
|
|
= |
|
. |
|
|
0 |
|||
x→0 ln cos 3x |
|
|
Для раскрытия неопределенности воспользуемся таблицей эквивалентных б. м. функций:
17
etg2 x −1 ~ tg2 x ,
x→0
ln cos 3x = ln(1 + (cos 3x −1)) ~ |
cos 3x −1 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
Заменив б. м. на эквивалентные, получим |
|
|
|
|||||||||
|
etg2 x −1 |
|
0 |
|
tg2 |
x |
|
0 |
||||
lim |
|
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
−1 |
|
|||||||
x→0 ln cos 3x |
|
0 |
x→0 cos 3x |
|
0 |
Поскольку неопределенность еще не раскрыта, снова воспользуемся таблицей эквивалентных б. м.:
|
|
|
|
|
|
|
tg2 x |
~ |
x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 3x −1 = −(1 − cos 3x) |
~ |
|
− |
|
(3x)2 |
= − |
|
9 |
x2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
etg 2 x |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
tg2 x |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
x2 |
|
2 |
|
||||||||
lim |
|
|
|
= |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= − |
|
lim |
|
|
|
|
= − |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
9 |
|||||||||||||||||
x→0 ln cos 3x |
0 |
|
x→0 cos 3x −1 |
|
0 |
|
9 x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
б) lim |
|
sin π x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
+ x + x2 − 2 |
|
= |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Чтобы воспользоваться таблицей эквивалентных б. м. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
функций, |
сделаем |
замену |
переменной. |
Обозначим |
|
x −1 = t . |
|||||||||||||||||||||||||
Тогда при |
x →1 |
t |
является |
б. |
м. |
Переходя к пределу при |
|||||||||||||||||||||||||
t → 0 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
sin π x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin π(1 + t) |
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||
2 + x |
+ x2 |
|
= |
0 |
= lim |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→1 |
− 2 |
|
|
|
t →0 |
|
+1 + t + (1 + t)2 − 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
= lim |
sin(π |
+πt) |
|
|
= −lim |
|
|
sinπt |
|
= |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
t→0 |
4 +3t |
+ t2 − 2 |
|
|
t→0 |
+3t + t2 −2 |
|
|
|
|
18
Теперь в числителе и знаменателе перейдем к эквивалентным б. м.:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinπt |
~ πt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 + 3t + t2 − 2 = |
|
|
1 + 3t |
+ t |
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3t |
|
t2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3t |
|
|
|
t2 |
3t |
|
|
t2 |
|
||||||
= 2 |
1 + |
|
+ |
|
|
|
|
|
−1 |
|
~ 2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
+ |
|
|
. |
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
4 |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку сумма б. м. функций разного порядка эквивалентна |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
б. м. меньшего порядка, |
|
3t |
+ |
|
t2 |
|
|
~ |
|
3t |
|
. Следовательно, |
|
||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4 + 3t + t2 |
|
|
~ |
|
|
3t |
+ t2 |
~ |
|
3t . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
4 |
|
|
4 t→0 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
sinπ x |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 + x + x |
2 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= −lim |
|
sin πt |
|
− 2 |
= |
|
0 |
= −lim |
4πt |
= − 4π . |
|||||||||||||||||||||||
t→0 |
4 + 3t + t2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
t →0 |
3t |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычислить предел функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5+x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
lim |
|
|
− e |
arcsin 2 |
|
|
x |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19