( c ≠ 0 ), эквивалентная

f (x) при

x → x0 , где k - порядок б. б.

1

f (x) относительно б. б.

.

x − x0

Определение 3

большой функции f (x) в

Главной частью

бесконечно

cxk

( c ≠ 0 ), эквивалентная f (x) при x →∞, где k - порядок

б. б.

f (x) относительно б. б. x .

и lim f (x)= c ( c ≠ 0 , c ≠ ∞). Тогда

x→x0

α(x) ~ c β(x).

x→x0

4) Если α(x)

- б. м. в точке x0 , то

1

- б. б. в точке x0 , а

α(x)

если f (x) - б. б. в точке x0 , то

1

- б. м. в точке x0 .

f (x)

Решение задачи 8б

а) Вычислим предел f

(x)= x3 +

x +100 +5x при x → ∞:

1

2x +1

lim f1(x)= lim

x3 +

x +100 +5x

∞

2x +

1

=

=

x→∞

x→∞

∞

= lim

x3

= lim

x2

= ∞,

2

x→∞ 2x

x→∞

так как x3 +

x +100 +5x

~

x3 и 2x +1

~

2x .

x→∞

x→∞

Следовательно, f1 (x)

- бесконечно большая функция при

x → ∞. Поэтому ее главную часть будем искать в виде cxk :

f1(x)

~

x3

=

x2

.

x→∞ 2x

2

1

Таким образом, главная часть б. б. функции f1 (x) имеет вид

x2 . Отсюда следует, что порядок функции

f1 (x) относительно

2

x равен двум.

1

1 при x → ∞:

(x)= e

−1

x6

б) Вычислим предел

f2

x

+

x

1

1

lim f2 (x)=

lim

e x

−1

x

6

+

= [0 ∞]=

x

x→∞

x→∞

=

1

x

3

= lim

x3

= lim x

2

= ∞,

lim

x

x→∞ x

x→∞

x→∞

1

1

x6 + 1

x3 .

так как e x −1

~

и

~

x→∞ x

x

x→∞

Следовательно, f2 (x)

является б. б. функцией при x → ∞.

Поэтому главную часть также будем искать в виде c xk :

f2 (x)

~

1

x3 = x2 .

x→∞ x

Таким образом, f2 (x)

- б. б. второго порядка относительно x

при x → ∞.

f1(x) и

f2 (x)

Отсюда следует, что

являются б. б. одного и

того

же порядка ( k = 2 ) относительно x ,

но

не являются

эквивалентными, поскольку c ≠ c

2

( c

=

1

, c

2

=1 ).

1

1

2

Задача 9

f1 (x),

f2 (x),

Определить характер функций (б. б. или б. м.)

f3 (x) в точке x0

и выделить главную часть.

а) f1(x)= ln(x2 + 4)−ln x2 , x0 = ∞,

б) f2 ( x) =

x + 5

, x0 = 2 ,

2x

2

−x − 4

в)

f3 ( x) = 4 1 − x3 − cos x , x0 = 0 .

Решение задачи 9

а)

Функция

f1(x) является разностью двух б. б. ln(x2 +4)и

ln(x2 ). Выделим сначала главную часть

f1(x):

x2

+

4

4

4

f1(x)= ln(x2 +4)−ln x2 = ln

=ln 1

+

~

.

2

2

2

x

x

x→∞ x

Тогда

lim f1(x)= lim

4

= 0 .

x→∞

x

→∞ x2

Следовательно, функция f1(x)

при

x → ∞ является б. м. с

главной частью

4

( c = 4 , k = 2 ).

x2

б) Функция

f2 (x) - бесконечно большая, так как

lim

x +5

= ∞ .

2

−x − 4

x→2 2x

x +5

=

x +5

=

x +5

.

2

2

−4

4

2

2

(x−2)(x+1)

−1)

x

−x

x

−x−2

−1 4(2

x

+5

~

7

~

7

12ln 2(x −2)

4(2(x−2)(x+1) −1)x→2

4(x −2)(x +1)ln 2 x→2

( c =

7

, k =1 ).

12 ln 2

1

4 1 − x3 − cos x = (1 − x3 )

−

x3

+

x2

.

4

−1 + (1 − cos x) ~

x→0

4

2

Так как сумма б. м. функций разного порядка эквивалентна

б. м. меньшего порядка, −

x3

+

x2

~

x2

.

4

2

2

x→0