- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
- •Задача 1
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 2
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 3
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 4
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 5
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 9.1
- •Задача 9.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 9.1
- •Решение задачи 9.2
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Задача 12.1
- •Задача 12.2
- •Задача 13.1
- •Задача 13.2
- •Справочный материал
- •Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
- •Условный экстремум функции двух переменных
- •Решение задачи 12.1
- •Решение задачи 12.2
- •Решение задачи 13.1
- •Решение задачи 13.2
- •Приложение
- •Таблица производных основных элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •Формулы Крамера
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до прямой
|
Подставляя |
y = x |
в |
третье уравнение, получим точки: |
||||||
M2 |
|
1 |
; |
1 |
M3 |
|
1 |
;− |
1 |
|
|
2 |
и |
− |
2 |
2 |
. Не выясняя, будет ли в этих |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
точках экстремум, вычислим: z(M2 )= z(M3 )= 12 .
При λ = |
1 |
y = −x . Подставляя это в третье уравнение, получим |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
M4 |
|
1 |
;− |
1 |
|
и M5 |
|
1 |
; |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
− |
2 |
2 |
. Значения функции в этих |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точках равны: z(M 4 )= z(M5 )= − 12 .
Следовательно, наибольшее значение функции равно zнаиб = 12
в точках |
|
|
1 |
; |
1 |
|
M3 |
|
1 |
;− |
1 |
|
а |
наименьшее |
||||
|
M2 |
2 |
2 |
и |
− |
2 |
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
zнаим |
= − |
1 |
в |
|
стационарных |
точках |
M4 |
|
1 |
;− |
1 |
|
и |
|||||
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M5− |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 13.1
Обозначим длины ребер прямоугольного параллелепипеда через x, y и z (рис. 3). Тогда его объем можно вычислить по формуле
V = xyz .
По условию x + y + z =12a . Выразим из этого равенства z =12a − x − y и подставим в формулу для объема. Получим
V = xy(12a − x − y)=12axy − x2 y − xy2 .
27
z
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Рис. 3. |
|
|
|
|
|
|||
Исследуем функцию V (x, y) на экстремум. Стационарная точка |
|||||||||||||
|
|
|
|
∂V |
=12ay −2xy − y2 = 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂x |
|
|
||||||||
определяется из системы: |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
∂V =12ax −2xy − x2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку x ≠ 0 и y ≠ 0 , то |
12a −2x − y = 0 |
|
, или |
x = y |
= 4a . |
||||||||
|
− x = 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
12a −2 y |
|
|
|
|
||||
Вычислим |
вторые |
производные |
в стационарной |
точке |
|||||||||
M (4a, 4a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2V |
= −2 y , |
∂2V |
= −2x , |
∂2V |
|
=12a −2x −2 y . |
|
||||||
∂x2 |
∂y2 |
∂x∂y |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = ∂2V (M )= −8a , С = ∂2V |
(M )= −8a , B = |
|
∂2V |
(M )= −4a . |
|||||||||
∂x∂y |
|||||||||||||
∂x2 |
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
||||
Определитель |
= AC − B2 = 64a2 −16a2 = 48a2 > 0 . |
|
|||||||||||
Следовательно, |
в точке |
M есть экстремум, а так как |
A < 0 и |
C < 0 , то это максимум. Поскольку максимум единственный, то это наибольшее значение. Значит, наибольший объем будет иметь параллелепипед с равными длинами ребер: x = y = z = 4a .
Решение задачи 13.2
|
Приведем уравнение прямой 4x +9 y =16 |
к нормальному виду |
(см. |
приложение). Для этого разделим обе |
его части на число |
n = |
42 +92 = 97 . Получим |
|
28
4 |
x + |
9 |
y − |
16 |
= 0 . |
97 |
|
97 |
|
9 |
|
Для расстояния от точки M (x, y) до этой прямой справедлива формула (см. приложение):
r = |
4 |
x + |
9 |
y − |
16 . |
|
97 |
|
97 |
|
97 |
Все точки эллипса и начало координат находятся по одну сторону от прямой (рис. 4), значит под знаком модуля отрицательное
число. Тогда r = − |
4 |
x − |
9 |
y + |
16 |
|
|
|
97 |
|
97 |
|
97 |
|
|
Исследуем |
на |
|
условный |
экстремум |
функцию |
z(x, y)= − |
4 |
x − |
9 |
y + 16 |
при условии x2 |
+ 9 y2 |
= 9 . |
||||
|
97 |
|
97 |
|
97 |
|
|
|
|
|
|
Функция Лагранжа имеет вид: |
|
|
|
+λ(x2 |
|
−9). |
|||||
L(x, y, λ)= − |
4 |
x − |
9 |
|
y + |
16 |
+9 y2 |
||||
|
|
|
97 |
97 |
|
97 |
|
|
|
Рис. 4.
Для стационарных точек справедлива система
∂L |
= − |
4 |
+2λx = 0 |
|
|
∂x |
97 |
||
|
|
|
||
|
∂L |
= − |
9 |
+18λy = 0 . |
|
∂y |
97 |
||
|
|
|
||
|
|
x2 +9 y2 = 9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
Из первых двух уравнений системы: x = |
2 |
, |
y = |
1 |
. |
|
97λ |
|
|
2 97λ |
|
Подставив эти выражения в третье уравнение, найдем множители
Лагранжа |
|
|
|
λ = ± |
5 |
|
|
|
и |
определим |
x = ± |
12 |
и |
|
|
y = ± |
3 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
3 |
|
|||||
Стационарные точки: M1 |
|
|
; |
|
при |
λ = |
|
|
и |
M 2 |
− |
|
|
;− |
|
|
||||||||||||||||
|
5 |
5 |
6 97 |
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
при λ = − |
6 |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используем |
достаточные |
|
условия |
условного |
экстремума. |
|||||||||||||||||||||||||||
Поскольку |
|
ϕ′x = 2x , |
ϕ′y =18y , |
∂2L |
= 2λ , |
∂2L |
=18λ, |
а |
|
∂2L |
= 0 , |
|||||||||||||||||||||
|
∂x2 |
∂y2 |
|
∂x∂y |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
то определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
2x |
18y |
|
= −648λy2 −72λx2 = −72λ(9 y2 + x2 ). |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
2x |
2λ |
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
18y 0 18λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
|
функция |
|
имеет |
условный |
минимум |
|
при |
||||||||||||||||||||||||
λ = |
5 |
> 0 |
и |
|
условный |
|
максимум |
при |
|
|
λ = − |
|
|
5 |
|
< 0 . |
||||||||||||||||
6 |
97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
97 |
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
; |
3 |
|
|
|
|
|
|
от |
|
данной |
||||||||||||
точка M1 |
|
наименее удалена |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой, а точка M2 |
|
− |
12 |
;− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 |
5 |
наиболее удалена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|||
1. Вычислить |
∂z |
и |
∂z |
, если |
z = (sin xy) |
tg |
x |
+arcsin 1 − xy . |
|
y |
|||||||||
∂x |
∂y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = arctg xy при x =1±0,02 , y =1±0,03 .
3. |
Написать |
формулы для производных |
∂u |
и |
∂u |
|
для |
функции |
||||
∂t |
∂s |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u = e |
|
x+y |
+arctg x3 y2 z , если x = x (t, s), |
y = y (t), |
z = z (t) . |
||||||
|
|
z |
|
|||||||||
4. |
Найти |
|
все производные второго |
порядка |
|
для |
функции |
u= x3 y2 z + z4 y3x + y4 x2 z .
5.Вычислить d 2u для функции u = xy .
6. Вычислить |
y′ |
для функции |
y(x), заданной неявно |
y= 2x arctg xy .
7.Найти частные производные ∂∂xz и ∂∂yz для функции z(x, y),
|
заданной неявно ln (x + y + z) = x + y + z . |
|
|
||||||||||
8. |
Вычислить |
∂u |
, |
∂u |
, |
∂v |
и |
∂v |
для функций |
u ( x, y ) и |
v ( x, y ), |
||
|
|
|
∂x |
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u +v = x |
. |
|
|
||
|
заданных параметрически |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u − y v = 0 |
|
|
|
||
9. |
Написать уравнение касательной плоскости и нормали к |
||||||||||||
|
поверхности, заданной уравнением |
|
|
|
|||||||||
|
x2 + 2 y2 −3z2 + xy + yz − 2xz +16 = 0 в точке M 0(1, 2, 3). |
||||||||||||
10. |
Исследовать на экстремум функцию z = e x2 − y (5 − 2x + y). |
||||||||||||
11. |
Найти |
значения |
функции |
z(x, y), заданной зависимостью |
|||||||||
|
2x2 + 2y2 + z 2 + 8xz − z + 8 = 0, в стационарных точках. |
||||||||||||
12. |
Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
|||||||
|
z = x3 + y3 − 9xy + 27 в области 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 4. |
13.Положительное число a разложить на n положительных сомножителей так, чтобы сумма обратных их величин была наименьшей.
31
Вариант 2
|
∂z |
|
∂z |
|
|
x cos xy |
|
1 |
|
x |
|
1. Вычислить |
и |
, если: |
z = tg |
|
+ |
|
arctg |
|
−1 . |
||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
y |
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Оценить абсолютную и относительные погрешности при вычислении
значения функции z = 3 x +y 1 при x = 7 ± 0.1, y = 9 ± 0.1.
3. Написать формулы для производных |
∂u |
и |
∂u |
функции |
|
∂t |
∂s |
||||
|
|
|
|
u = sin (x − y + z) + 2 |
z −x |
, где x = x (t), |
y = y (t), z = z (t, s) . |
|||
|
y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти |
все частные |
производные второго |
порядка для |
функции |
||
|
u = ln (x + y2 + z) + z4x5y3. |
|
|
||||
5. |
Найти d 2u для функции u = (x − y) e x2 + y . |
|
|||||
6. |
Найти |
y′и y′′ |
для |
функции y(x), заданной |
неявно |
y= 3x2 1 −sin (xy) .
7.Найти частные производные ∂∂xz и ∂∂yz для функции z(x, y),
заданной неявно sin (x + y + z) = x2 + z .
8. Вычислить |
∂u |
, |
∂u |
, |
∂v |
и |
∂v |
для функций u ( x, y ) |
и v ( x, y ), |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x u − y v = 0 |
. |
|
||
заданных параметрически |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y u + x v = 1 |
|
|
9. |
Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности |
||||||||||||
|
z =sinxcosy |
в точке M 0( |
π |
, |
π |
, |
1 |
). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|||
10. |
Исследовать |
на |
экстремум |
|
функцию |
z = x y2(1− x − y) при |
|||||||
|
x > 0 , |
y > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
z(x, |
y), |
|
|
11. |
Найти |
значения |
функции |
|
|
заданной |
неявно |
||||||
|
x2 + y2 + z2 − 2x + 2 y − 4z −10 = 0 , в стационарных точках. |
||||||||||||
12. |
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x − 2 y −3 |
в области 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1, 0 ≤ x + y ≤1.
13.При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверхность.
32
Вариант 3
1. Вычислить |
|
∂z |
и |
|
∂z |
для |
функции: |
|
∂x |
|
∂y |
||||
|
|
|
|
|
|
||
z = (sin |
xy )ln ( x2 +y2 ) +arcsin |
x − y . |
|
|
2.Оценить абсолютную и относительные погрешности при вычислении
значения функции z = x y |
, при |
x = 2 ±0,1, y = 3 ±0,3 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(x + y |
)+ 1 |
|
y |
|
|
3. Вычислить |
∂u |
и |
∂u |
, |
если |
u = |
1 |
x |
, |
||||
|
∂t |
|
∂s |
|
|
4 |
z |
3 |
|
|
x= x (t), y = y (t, s), z = z (s) .
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u = ex2y −z3 + 15 x5 y6z7 .
5. |
Вычислить |
d 2u для функции u = (x + 2 y) ex−y . |
6. |
Вычислить |
y′ и y′′, если y(x) задана неявно: y = tgx2 y3 . |
|
|
1− x |
7.Вычислить частные производные ∂∂xz и ∂∂yz функции z(x, y), заданной неявно: ex + y +z = z − y .
xv − u = y
8. Функции u(x, y) и v(x, y) заданы параметрически: .
u − yv = 0
Вычислить частные производные ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂vx и ∂∂yv .
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z = ex cos y в точке M0 (1, π,−e) .
10. |
Исследовать функцию z = 3x2 − x3 +3y2 +4 y на экстремум. |
||||
11. |
Найти |
значения функции |
z = z(x, y), |
заданной |
неявно |
|
x2 + y2 + z2 −2x + 2 y −4z −10 = 0 , в стационарных точках. |
||||
12. |
Найти |
наибольшее и |
наименьшее |
значения |
функции |
|
z = x2 + y2 −12x +16 y при x2 + y2 ≤ 25 . |
|
|
13.При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полукруглым поперечным сечением, поверхность которой равна S, имеет наибольшую вместимость?
33
Вариант 4
1. Вычислить частные производные ∂∂xz и ∂∂yz для функции
z = (cos xy)ln ( x2 + y) + 1 |
arccos 1 − xy . |
4 |
|
2.Оценить абсолютную и относительные погрешности при вычислении
значения функции z = |
x2 + y2 |
при x = 3 ±0,1; y = 4 ±0,05 . |
|
|||||||
3. Вычислить |
∂u |
, |
∂u |
, |
если |
u = 2 tg( |
z |
)+ x3 y4 z2 |
, |
|
∂t |
∂s |
|||||||||
|
|
|
|
|
x−y |
|
|
x = x(s), y = y(t, s), z = z(t).
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u= x y z + x6 y7 z8 .
5.Вычислить d 2u для функции u = x4 y5 + xy .
6. Вычислить y′ и y′′, если y(x) задана неявно: y = ln( x − y ) .
7.Вычислить ∂∂xz и ∂∂yz , если z(x, y) задана неявно: x + y + z = ez .
|
|
e ux |
y |
|
8. Функции u(x, y) |
и v(x, y) |
|
|
|
заданы параметрически: |
v |
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
||
|
|
e |
|
Вычислить частные производные ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂vx и ∂∂yv .
= x
.
= 1
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z = y tg |
x |
в точке M |
0 |
(ѓОa |
, a, a). |
|
a |
||||||
|
|
4 |
|
10.Исследовать z = xy + 50x + 20y на экстремум при x > 0, y > 0 .
11.Найти значения функции z(x, y), заданной неявно зависимостью
x2 + 3y2 4z2 − x + y − xy + xz −1 = 0 , в стационарных точках.
12.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + y2 в области x2 + y2 ≤100 .
13. На сфере x2 + y2 + z2 =1 найти точку, сумма |
квадратов |
расстояний до которой от n данных точек, i = 1,..., n , |
была бы |
минимальной. |
|
34
Вариант 5
|
∂z |
|
|
|
|
y |
ln ( x2 |
−y3 ) |
|
|
x y |
|
1. Вычислить |
и |
∂z |
, если |
z = (ctg |
|
) |
|
+ arctg 1 |
+ |
|
. |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
x |
|
|
|
|
x+y |
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения z = sin x cos y при |
x = 30o ±2o, |
y = 60o ±1o . |
|||||||
3. Написать формулы для производных |
|
∂u |
и |
|
∂u |
функции |
|||
|
∂t |
|
∂s |
||||||
u = 3 |
x − y |
−arcsin(x + y − z) , |
x = x(s), |
y = y(t), |
z = z(t, s) . |
||||
|
|||||||||
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
|
u = z sin(xy) + |
xy |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1−z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Вычислить d 2u |
для функции u = xex − y . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
Вычислить y′и y′′для функции y(x), если y = arctg |
y |
. |
|
|||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||
|
Функция z(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
задана неявно: |
|
sin(x − y + z) = x2 |
+ y + 3z . |
|||||||||||||
|
Вычислить частные производные |
∂z |
|
и |
∂z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Функции u(x, y) |
и v(x, y) заданы параметрически: |
u −v = 2x |
. |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux +vu = 0 |
|
|
|
Вычислить частные производные |
∂u |
|
, |
∂u |
, |
∂v |
и |
∂v |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
∂x |
|
∂y |
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z = arctg |
x |
в точке M |
0 |
(1,1, |
π |
). |
|
y |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
10. Исследовать |
функцию |
|
z = x2 + y2 − 2ln x −18ln y |
на |
|
экстремум при x > 0, |
y > 0 . |
|
|
|
z(x, y), |
|
|
|||||
11. |
Найти |
значения |
функции |
|
|
|
заданной |
неявно |
|||||
|
2x2 + y2 +2z2 + x − y +2z −6xy −3 = 0 , в стационарных точках. |
||||||||||||
12. |
Найти |
наибольшее |
и наименьшее |
значения |
функции |
||||||||
|
z = x2 + y2 + xy в области |
|
x |
|
+ |
|
y |
|
≤ 1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
13.Тело состоит из прямого кругового цилиндра, завершённого прямым конусом. При данной полной поверхности тела, равной Q ,
определить его измерения так, чтобы объём тела был бы наибольшим.
35
Вариант 6
1. Вычислить частные производные |
∂z |
и |
∂z |
для |
функции |
|
∂x |
∂y |
|||||
|
|
|
|
cos x 1
z = (tg xy) y + 3 arcsin (x y − 3x) .
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
z = 3 x2 + y при x = 4 ± 0,01, y = 11± 0,02.
3. Написать |
формулы для производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
||
∂t |
∂s |
|
|||||
u = e |
z |
+ ln(z − x) , если x = x(t, s), |
y = y(s), |
z = z(t) . |
|||
x+y |
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u = xe yz − cos (x + y − z) .
5. |
Вычислить d 2u для функции u = ex − y |
x . |
|
|
sin(x − y) |
|
|
|||||||||||
6. |
Вычислить y′ и y′′ для функции y(x), если y |
= |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
Функция z(x, y) задана неявно: |
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
||||||||
7. |
|
sin(x + z) = 3z + x − y . |
||||||||||||||||
|
Вычислить частные производные |
∂z |
|
и |
|
∂z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xu + v = y |
||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
. |
Функции u(x, y) и v(x, y)заданы параметрически: |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− y |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||
|
Вычислить частные производные |
∂u |
, |
∂u |
, |
∂v |
и |
|
∂v |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением x( y + z)(xy − z) + 8 = 0 в
точке M0 (2, 1, 3) .
10.Исследовать функцию z = x3 +3xy2 −15x −12 y на экстремум.
11.Найти значения функции z(x, y), заданной неявно зависимостью
x2 + 2 y2 + 2z2 + y − x +6xy − yz = 0 , в стационарных точках.
12. Найти наибольшее |
и наименьшее значения функции |
||||
z = 4x2 + y2 −2 y при |
|
|
x |
|
≤1 , 0 ≤ y − x ≤1 , 0 ≤ x + y ≤1. |
|
|
13. Найти прямоугольник данного периметра 2 p , который вращением вокруг одной из сторон образует тело наибольшего объёма.
36
Вариант 7
1. Вычислить частные производные |
∂z |
|
и |
∂z |
для функции |
||||
|
|
||||||||
∂x |
|||||||||
∂y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
z = ( ln(x + y)) |
tg |
x |
+ arctg (x + y − x ) . |
|
|
|
|||
y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = 3 2x2 + y , если x = 2 ±0,02 , |
y =1±0,03 |
||||||
3. Написать |
формулы для производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
||
∂t |
∂s |
|
|||||
u = arctg |
z |
+sin(x + y) , при x = x(t, s), |
y = y(s), |
z = z(t, s) . |
|||
|
|||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
|
u = (cos yx) z |
− |
z2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Вычислить d 2u для функции u = cos(x − y)x . |
|
|||||||||||||||||||
6. |
Вычислить |
y′ |
|
и |
y′′ |
для |
функции |
|
|
y(x) |
заданной неявно |
||||||||||
|
y = exy + x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Функция |
z(x, y) |
задана |
неявно: |
|
|
ln(x − 2 y + z) = x − z . |
||||||||||||||
|
Вычислить частные производные |
∂z |
|
и |
∂z |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
||||||
8. |
Функции |
u(x, y) |
и |
|
v(x, y) |
|
|
|
|
заданы |
параметрически: |
||||||||||
|
sin(ux) = |
y |
|
|
|
|
∂u |
|
∂u |
|
|
|
∂v |
|
|
|
∂v |
|
|
||
|
|
|
. Вычислить |
, |
, |
|
|
и |
. |
|
|||||||||||
|
cos(vy) = 2x |
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂x |
|
|
∂y |
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
2 |
x |
+ 2 |
y |
= 8 в точке M 0 (2,2,1) . |
z |
z |
10.Исследовать функцию z = 2x3 − xy2 +5x2 + y2 на экстремум.
11.Найти значения функции z(x, y), заданной неявно зависимостью
x2 + y2 + 4z2 + x + 2 y + 3z + xy − 2 = 0 , в стационарных точках.
12.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x + 2y в
области 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x + y ≤ 2.
13.При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с круглым поперечным сечением, поверхность которой равна Q , имеет наибольшую вместимость?
37
Вариант 8
1. Вычислить частные производные
z = (ctg |
y |
)cos( x+ y)+ |
1 |
|
1 |
|
|
arctg |
. |
||||
x |
|
|
||||
|
4 |
|
x−y |
∂z ∂x
и ∂∂yz для функции
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения z = |
x |
при |
x = 2 ±0,01, y = 3 ±0,05 . |
|
||||||||
|
|
|
y +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Написать |
формулы |
для |
производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
|||||
|
∂t |
∂s |
|
|||||||||
u = 5 |
z |
+ arccos (x +2y |
), |
при x = x(t) |
y = y(s), |
z = z(s, t) . |
||||||
x−y |
||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
|
u = (sin yz) x2 |
− |
|
|
y −x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Вычислить d 2u для функции u = |
|
y2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Вычислить y′ и y′′ |
для функции y(x), если y = tg( |
x |
)+ x2 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y −1 |
|
7. |
Вычислить |
|
∂z |
|
и |
∂z |
|
. функции z(x, |
y), если x − y + 3z = exyz . |
|||||||||||||||||
|
∂x |
∂y |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
Функции |
|
u(x, y) |
и |
v(x, y) |
|
|
заданы |
параметрически: |
|||||||||||||||||
|
2u −x |
= 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂u |
|
|
∂v |
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
. Вычислить |
, |
, |
и |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
( |
)x |
= v |
− y |
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
∂y |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z 2 + 4z + x2 = 0 в точке M0 (0,1,− 4) .
10.Исследовать функцию z = (2x2 + y2 ) e−( x2 + y2 ) на экстремум.
11.Найти значения функции z(x, y), заданной неявно зависимостью
3x2 + y 2 + 3z 2 + z − y + xy − 4 = 0, в стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 3x + 4y − 2 при −1 ≤ x ≤1, 0 ≤ y − x ≤1, 0 ≤ x + y ≤1.
13. В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллепипед наибольшего объёма.
38
Вариант 9
|
∂z |
|
∂z |
, если z = (cos yx) |
ln2 |
(x |
) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. Вычислить |
и |
|
|
y |
+arccos 1 |
− |
. |
|||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = sin2 x tg y |
при x = |
π |
± 0,02, |
y = |
π |
± 0,03. |
||||||||||
|
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
3. Написать |
формулы |
для производных |
∂u |
и |
∂u |
для |
|
функции |
||||||||
|
∂t |
|
∂s |
|
|
|||||||||||
|
2 x−y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = e |
z |
+ tg |
при |
x = x(t, s), |
y = y(t), |
|
z = z(s) . |
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u = ln (xy − z2 ) + 1 |
x − y − z . |
2 |
|
5.Вычислить d 2u для функции u = y5x4 − exy .
6. |
Вычислить |
y′ |
и |
|
y′′ |
|
для функции |
y(x), |
заданной |
|
неявно |
|||||||||||
|
y = x arcsin |
x − y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
Функция |
|
z(x, y) |
|
|
задана |
|
|
неявно |
зависимостью: |
||||||||||||
|
2x − y +2z = z − y + x . Вычислить частные производные |
∂z |
|
и |
|
∂z |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
−vy =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Вычислить |
∂u |
, |
∂u |
|
, |
∂v |
|
и |
|
∂v |
, если: |
e x |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∂x |
∂y |
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
− vx = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z = x 2 −2xy + y 2 − x +2 y в точке M 0 (1, 1, 1)
10.Исследовать функцию z = x2 + ( y −1)2 на экстремум.
11.Найти значения функции z(x, y), заданной неявно зависимостью
4x 2 +2 y + z 2 + y +2z − xy − xz − yz = 0 , в стационарных точках.
12.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x2 − y2 в области x2 + y2 ≤16 .
13.В данный прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой H вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма.
39
Вариант 10
|
|
∂z |
|
|
∂z |
, если z = (ln(x − y))sin2 |
x |
|
+ 3arctg |
2x + y |
. |
|||||||||
1. |
Вычислить |
и |
y |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
2. |
Оценить |
абсолютную и относительную |
|
|
погрешности при |
|||||||||||||||
|
вычислении |
|
значения |
z = x2 + y2 |
|
|
при |
x = 4 ±0,05 , |
||||||||||||
|
y = 3 ±0,07 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Написать |
формулы для |
производных |
∂u |
и |
|
∂u |
для функции |
||||||||||||
∂t |
|
|
∂s |
|||||||||||||||||
|
u = sin( |
|
z |
)− |
1 |
ln(x + y − z) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x + y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
|
x |
|
x |
2 |
− yz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = tg |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y+z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Вычислить d 2u ля функции u = sin2 (x − 2 y) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
Вычислить |
y′ |
и |
y′′ |
для функции |
y(x), |
заданной |
неявно |
|||||||||||||||
|
y = cos (y |
)+ |
x2 + y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Функция z(x, y) задана неявно: |
|
sin(x − y + z) = z + 2y − x . |
||||||||||||||||||||
|
Вычислить частные производные |
∂z |
|
|
и |
|
∂z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux − vy = 0 |
|
|||
8. |
Функции u(x, y) и v(x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
y) заданы параметрически: u |
|
v |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вычислить частные производные |
∂u |
|
, |
∂u |
, |
|
∂v |
и |
∂v |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z=1 + x2 + y2 в точке. M 0 (1, 1, 3) .
10.Исследовать функцию z = (x − y +1)2 на экстремум.
11. Вычислить значения функции, заданной неявно зависимостью x2 + y2 + 2z2 − y − x − z + xz +8 = 0 , в стационарных точках.
12.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = y2 − x2 в
области x2 + y2 ≤ 9.
13.Данное положительное число a разложить на три слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
40
Вариант 11
|
∂z |
|
∂z |
|
z = (tg |
x − y )ln |
x |
− arccos |
x − y |
. |
1. Вычислить |
и |
, если |
y |
|||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
x−y2 |
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения z = (x + y)exy |
при x =1±0,2 , y =1±0,01 . |
|
|
||||||
3. Написать |
формулы |
для |
∂u |
и |
∂u |
, |
если |
||
|
∂t |
|
∂s |
||||||
u = 1 ln( |
x − y + z) −sin(x − z + y) |
|
при |
x = x(t) , |
|
y = y(s) , |
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z= z(t, s)
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u= cos2(xyz) − 15 x −z y .
5. Вычислить дифференциал второго порядка для функции u = e x2 + y2 .
6. |
Вычислить |
y′ |
и |
|
y′′ |
|
для |
функции |
|
|
|
y(x), |
заданной неявно |
|||||||||||
|
y = sin(xy) + |
|
y2 − x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
Функция |
|
|
z(x, |
y) |
|
задана |
|
неявно |
зависимостью: |
||||||||||||||
|
ln(x − y − z) = 2x − y + z . |
|
Вычислить |
|
|
∂z |
|
и |
∂z |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xu |
+ yv =1 |
|
||||||||
8. |
Вычислить |
∂u |
|
|
∂u |
|
|
∂v |
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
, |
, |
|
и |
|
, если |
|
|
|
v |
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
u |
− |
|
|
= 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
x2 + y2 − z2 =−1 в точке M 0 (2, 2, 3) .
10.Исследовать функцию z = x2 + xy + y2 −3x −6 y на экстремум.
11. Вычислить значения функции z(x, y), заданной зависимостью x2 +10 y2 − z + xz +4 yz +4 = 0 , во всех стационарных точках.
12. Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
z = x2 + y2 − 2xy в области x + y ≤1. |
|
|
13. На плоскости даны три точки (x1, y1 ), (x2 , y2 ), (x3, y3 ) с массами
m1 , m2 , m3 . При каком положении точки P(x, y) момент инерции системы относительно этой точки будет наименьшим.
41
|
|
|
|
Вариант 12 |
sin(xy) |
|
|
∂z |
|
∂z |
|
x |
|
1. Вычислить |
и |
, если z = ctg |
|
|||
|
∂x |
|
∂y |
|
y |
|
−arcsin x+y .
x
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = x ln |
y |
,при y = e ±0,1, |
x =1±0,2. |
|||||||||||
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
∂u |
|
|
||
3. Написать |
формулы |
для |
производных |
|
и |
|
для функции |
|||||||
∂t |
∂s |
|||||||||||||
|
|
+ cos ( |
|
|
) при |
|
|
|
||||||
u = e |
x+27 |
z |
|
x = x(t, s), |
y = y(t) , |
z = z(t, s) . |
||||||||
y |
|
|||||||||||||
|
|
|
y −x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u = y −xy2z2 − sin (xy − z 2) .
5.Вычислить d 2u , если u = x−x y .
6. Вычислить y′ и y′′ для функции y(x), заданной неявно
y
y = 13 x2 e x .
7. |
Функция |
|
z(x, y) |
|
задана |
|
|
|
неявно |
зависимостью: |
||||||||
|
cos(z − x) = y +3z − x . Вычислить |
∂z |
|
и |
∂z |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vx +uy = 2 |
|
|||||||
|
|
∂u |
|
∂u |
|
∂v |
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Вычислить |
, |
, |
и |
, если: |
|
− y = 3 |
|
||||||||||
|
|
∂x |
∂y |
∂x |
|
∂y |
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
v |
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
|
z = ln(x2 + y2) в точке M 0(1,0,0) . |
10. |
Исследовать функцию z = e2x+3y (8x2 −6xy +3y2 ) на экстремум. |
11. |
Вычислить значения функции z(x, y), заданной зависимостью |
x2 + 4z2 − x + xy +6 yz + 2 = 0 , во всех стационарных точках.
12.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = y − x в области −1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤1 .
13. В |
эллипсоид |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1 |
вписать |
прямоугольный |
4 |
|
|
|||||||
|
|
1 |
9 |
|
|
|
параллелепипед наибольшего объёма.
42
Вариант 13
|
∂z |
|
∂z |
|
x tg xy |
|
1 |
|
x |
|
||
1. Вычислить |
|
и |
|
, если z = cos |
|
|
− |
|
arctg |
|
. |
|
∂x |
∂y |
y |
2 |
y +x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
z = e y sin x при x = |
π |
±0,01, y =1 ±0,02. . |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3. Написать формулы для производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
|||
∂t |
|
∂s |
u = 3xz−y +ln(x + y − z) при x = x(t, s), y = y(t, s), z = z(t, s) .
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
|
u = sin 2(x + yz) + 2x |
3y 4z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
Вычислить d 2u для функции u = (x + y)e x + y . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
Вычислить |
y′ |
и |
|
y′′ |
для функции y(x), |
заданной |
|
неявно |
||||||||||
|
y = x 2ln(x − y) . |
y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
Функция |
|
z(x, |
|
задана |
неявно |
зависимостью: |
||||||||||||
|
ez−x = 2z + x2 |
+ y2 . Вычислить частные производные |
∂z |
|
и |
|
∂z |
. |
|||||||||||
|
∂x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|||
|
|
∂u |
|
∂u |
|
|
∂v |
|
|
∂v |
|
cos(x −u) |
= yv |
|
|
|
|
|
|
8. |
Вычислить |
, |
|
, |
|
и |
, если: |
|
= xu |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∂x |
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
sin(v − y) |
|
|
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением z = arctg xy в точке M 0 (1,1, π4 ) .
10.Исследовать функцию z = xy ln(x2 + y2 ) на экстремум.
11.Вычислить значения функции z(x, y), заданной неявно
зависимостью |
|
x2 + 2 y2 + z2 + x − y − z + 2 yz = 0 , |
во всех |
||||||||||||||
стационарных точках. |
|
||||||||||||||||
12. Найти наибольшее и наименьшее значения |
функции |
||||||||||||||||
z = x2 − y2 , |
|
x |
|
+ |
|
y |
|
≤ 2 в области |
|
x |
|
+ |
|
y |
|
≤ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длины рёбер 12a , найти параллелепипед с наибольшим объёмом.
43
Вариант 14
1. Вычислить частные производные |
∂z |
и |
∂z |
для функции |
|
∂x |
∂y |
||||
|
|
|
z = (sin |
2x |
)ln |
x |
− 2arccos (x − y − x) . |
|
y |
|||||
|
|||||
|
y |
|
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
|
значения z = |
x2 + 2xy , при |
x = 2 ± 0,01, |
|
y = 15 ± 0,2. |
||||||||||||||||||||||||||
3. |
Написать |
формулы |
для |
производных |
|
∂u |
|
и |
|
∂u |
для |
функции |
|||||||||||||||||||
|
|
|
∂s |
||||||||||||||||||||||||||||
|
u = tg (x + y |
)− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
e y −zx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
Вычислить |
|
|
все |
производные |
второго |
|
|
порядка |
для |
функции |
||||||||||||||||||||
|
u = x yz + y xy + z xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
Вычислить d 2u для функции u = (x − 2y) sin(xy) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить |
|
|
y′ |
|
|
|
и |
y′′для |
функции |
y(x), |
|
заданной |
неявно: |
|||||||||||||||||
|
y = |
1 |
x2 arctg |
|
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
Функция |
|
|
|
z(x, y) |
задана |
неявно |
|
|
зависимостью: |
|||||||||||||||||||||
|
4 y−z = x2 + y2 + z2 . Вычислить частные производные |
∂z |
и |
∂z |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
∂u |
|
∂v |
|
∂v |
|
|
x e y =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
Вычислить |
|
, |
|
, |
и |
, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂x |
∂y |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением z = y + ln |
x |
в точке |
|
y |
|||
|
|
M0(1,1,1) .
10.Исследовать функцию z = (x2 + y2 ) e−( x2 +y2 ) на экстремум.
11. Вычислить значения z(x, y) заданной неявно зависимостью 2x2 + y2 + 3y + z2 − x − z + 3yz = 0 , в стационарных точках.
12. Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значение |
функции |
z = x2 + 2 y2 − x в области |
x2 + y2 ≤100, y ≥ 0 . |
|
13.Внутри четырёхугольника найти точку, сумма квадратов расстояний до которой от вершин была бы наименьшей.
44
|
|
|
|
Вариант 15 |
y−x )− |
|
|
|
|
1. Найти |
∂z |
и |
∂z |
, если z = [cos( y − x )]sin ( |
1 |
arctg |
y − x |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
4 |
|
2x |
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = xy − xy, при x = 3 ±0,3, y = 4 ±0,4 .
3. Написать формулы для производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
∂t |
∂s |
u = ln (2x − z ) + 1 arctg y |
при x = x(s), y = y(t), z = z(t, s) . |
|
5 |
x |
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
|
u = sin2 (xy − z) + |
z− |
x |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
||
5. |
Вычислить |
дифференциал |
второго |
порядка |
для |
функции |
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = (x + y) e y . |
|
|
|
y(x), |
|
|
||||
6. |
Вычислить |
y′ и |
y′′ для |
функции |
заданной |
неявно |
y = x2 − y2 cos(xy) .
7. |
Функция |
|
z(x, y) |
|
задана |
|
|
неявно |
зависимостью: |
|||||||
|
sin(2x − y + z) = x + y − z . Вычислить |
|
∂z |
и |
∂z |
. |
|
|||||||||
|
|
∂x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
||
8. |
Вычислить |
∂u |
, |
∂u |
, |
∂v |
и |
∂v |
, если |
ux + vy = 2 |
|
|||||
|
−vx = y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∂x |
∂y |
∂x |
|
∂y |
u |
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
|
z = x tg |
y |
в точке M0 (1, |
π |
,1) . |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
10. |
Исследовать функцию z = x3 + y3 −3xy на экстремум. |
|
||||||
11. |
Вычислить |
значения |
функции, заданной |
неявно зависимостью |
||||
|
x2 + 4 y2 + z2 −2x +3y − z + yz − yx = 0 , в стационарных точках. |
|||||||
12. |
Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
||
|
z = x2 + y2 + 2xy при 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 3 , 0 ≤ x + y ≤ 3 . |
13. Из всех треугольников с основанием a и с угл αомпри вершине найти треугольник с наибольшей площадью.
45
Вариант 16
|
∂z |
|
∂z |
|
x ln ( x−y) |
|
1 |
|
x |
|
|
1. Вычислить |
|
и |
|
, если z = tg |
|
+ |
|
arcsin |
|
. |
|
∂x |
∂y |
2 |
2x+y |
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции z = 3 y2 − x3 , при x = 2 ±0.05, y = 4 ± 0.08 .
3. Написать формулы для производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
∂t |
∂s |
u = y ez−x +arccos |
z |
при x = x(s), y = y(t, s), z = z(t, s) . |
|
x−y |
|||
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u = cos2 (z x y) + z xy .
5. |
Вычислить |
d 2u для функции u = |
2x |
. |
|
||||
|
|
|
y −1 |
|
6. |
Вычислить |
y′ и y′′ для функции y(x), заданной зависимостью |
y = x y x2 − y2 .
xz
7.Функция z(x, y) задана неявно зависимостью e y = x + y − z .
Вычислить частные производные ∂∂xz и ∂∂yz .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
=1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂u |
|
∂u |
|
∂v |
|
∂v |
|
y e x |
||||
8. Вычислить |
, |
, |
и |
, если |
|
|
|
|
|||||
∂x |
∂y |
∂x |
∂y |
v |
|
||||||||
|
|
|
|
|
x e |
|
= 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением z = x2 + y 2 в точке
M0 (1,2,5) .
10.Исследовать функцию z = x2 −( y −2)2 на экстремум.
11. Вычислить значения функции z(x, y), заданной зависимостью 4x2 + y2 + z2 − x − y − xy −4 = 0 , в стационарных точках.
12.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2y + x в
области y ≥ x2 , y − 2x ≤ 3.
13.Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной стенок δ и внутренней ёмкостью V так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.
46
Вариант 17
|
|
|
|
|
y |
)cos |
x |
|
|
|
y |
|
1. Вычислить |
∂z |
и |
∂z |
, если z = (sin |
y |
− |
1 |
arccos |
. |
|||
|
∂x |
|
∂y |
|
x |
|
|
4 |
|
2 y−x |
|
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = sin2 (x − y) при x = 60o ±1o , |
y = 30o ±2o. |
|||||||||
3. Написать формулы |
для |
производных |
∂u |
и |
∂u |
|
для функции |
|||
∂t |
∂s |
|||||||||
u = 1 ln ( y −3z) +arcsin |
x |
|
|
|
|
|||||
|
при x = x(s), y = y(t), z = z(t, s) . |
|||||||||
2z |
||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
|
|
x−y |
||
|
u = 2xyz −sin |
|
|
. |
|
|
z |
||
|
|
|
||
5. |
Вычислить d 2u для функции u = y sin(2x − y) . |
|||
6. |
Вычислить y′ |
и |
y′′для функции y(x), заданной неявно |
y = x2 tg xy .
7. Функция |
z(x, y) |
задана |
неявно |
зависимостью: |
ln (z + x − y) = z2 + y2 − x2 . Вычислить ∂∂xz и ∂∂yz .
|
∂u |
|
∂u |
|
∂v |
|
∂v |
|
v −u = y |
8. Вычислить |
, |
, |
и |
, если |
|
||||
|
∂x |
|
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
|
ux + yv = 0 |
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением x2 + y2 + z2 =169 в точке
M0 (3, 4,12) .
10.Исследовать функцию z = x4 + y4 − x2 − 2xy − y2 на экстремум.
11. Вычислить значения функции, заданной неявно зависимостью
x2 + y2 + z 2 − y − z − |
2y z −1 = 0, во |
всех стационарных |
точках. |
|
|
12. Найти наибольшее |
и наименьшее |
значения функции |
1 − z = 3y2 + x2 при 0 |
≤ x ≤1, −1 ≤ y ≤ 0, 0 ≤ x − y ≤1 . |
13.Найти прямоугольный параллелепипед с длиной диагонали d , имеющий наибольший объём.
47
Вариант 18
|
∂ |
|
∂ |
|
sin |
y |
|
|
|
y |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
|
z |
|
z = (ln( y −2x)) |
x |
+ |
1 |
|
|
|
|
1. Вычислить |
∂x |
и |
∂y |
, если |
2 arctg x+2 y . |
|||||||
|
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = y x |
при x = 2 ±0,01, y = 5 ±0,02 |
||||||||||
3. Написать |
формулы |
для |
производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
||||
∂t |
∂s |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u = |
x3y2 |
− 1 arctg |
|
y |
, |
если x = x(t, s) , |
y = y(s) , z = z(t) . |
||||
z |
|
x +z |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
|
u = cos2( |
x − yz) − x yz |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Вычислить d 2u для функции u = sin 2(3x + y) . |
|
|
|
|
|
|||
6. |
Вычислить |
y′ и y′′ |
для функции |
y(x), |
заданной |
неявно |
|||
|
y = 1 arctg |
y − x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
z(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Функция |
задана |
неявно |
зависимостью: |
|||||
|
3x−y+z = y − 2x + 3z . Вычислить частные производные |
∂z |
и |
∂z |
. |
||||
|
∂x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
u |
|
8. Функции u(x, y) |
и v(x, y) |
|
x |
y |
заданы параметрически: e |
y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e v x |
Вычислить частные производные ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂vx и ∂∂yv .
1.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
=x
=1
поверхности, заданной уравнением z − 12 arctg xy = 0 в точке
M0(1,1, π8) .
9.Исследовать функцию z = 2x4 + y4 − x2 −2 y2 на экстремум.
10. Вычислить значения функции, заданной неявно зависимостью
4x2 + y2 + 2z 2 + x + y + z + 2 = 0, в стационарных точках.
11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = y2 −2x2 в области x2 + y2 ≥1, x2 + y2 ≤100 .
12.Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот, площадь которого наибольшая.
48
Вариант 19
|
∂z |
|
∂z |
|
ctg |
x |
|
1 |
|
y +3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. Вычислить |
∂x |
и |
∂y |
, если |
z = (tg xy) |
1−y |
+ |
4 |
arccos |
2 y−x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = tg x cos y при x = 45o ±1o, y = 60o ±0,5o .
3. Написать формулы для производных ∂∂ut и ∂∂us для функции
u = ex−y+z − 12 arcsin x−z y , если x = x(s), y = y(t), z = z(t, s) .
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u = z x y + x − y − z .
5.Вычислить d 2u для функции u = xy6 −cos2 (x4 y3) .
6. |
Вычислить y′ и |
y′′ |
для функции |
|
y(x), |
заданной неявно |
|||
|
y = 4xy |
x + y . |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Функция |
z(x, |
y) |
задана |
неявно |
|
зависимостью: |
||
|
z = 2 y − x +sin (4x − y |
2 + z) . Вычислить |
∂z |
и |
∂z |
. |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
() ( ) sin(ux) = y
8.Функции u x, y и v x, y заданы параметрически: cos(vy) = x
Вычислить частные производные ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂vx и ∂∂yv .
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z3 −4xz + y2 −4 = 0 в точке |
M0 (1,−2,2) . |
|
10. Исследовать функцию |
z = (5x +7 y −25) e−( x2 +xy+y2 ) |
на |
экстремум.
11. Вычислить значения функции, заданной неявно зависимостью x2 + y2 + 4z2 − x − y + z + yz = 0 в стационарных точках.
12. Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
z = x2 + y2 − xy + 1 в области y ≥ x2 −1, y ≤ 4. |
|
13.Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти такой, периметр которого имеет наименьшее значение.
49
Вариант 20
1.Вычислить ∂∂xz и ∂∂yz , если z = [tg (1 − xy)]ln xy −arcsin 1−yxx .
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = 2x + y2 , если x = 2 ±0,01; y = 4 ±0,02 .
3. Написать формулы для производных |
|
∂u |
и |
∂u |
для функции |
|
|
∂t |
∂s |
||||
u = (13 )z−2x +cos (y2+zx |
), если x = x(s), |
|
|
|
||
y = y(t, s), z = z(t, s) . |
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u = 12 sin2 (1 − xyz)+ y−x3z .
5. |
Вычислить дифференциал d 2u для функции u = y |
+ x4 |
y . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
6. |
Вычислить |
|
y′ и |
y′′ |
для |
функции |
y(x), |
заданной: |
||||||||||||||
|
|
|
y = |
1 |
|
sin (1 − xy) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Функция |
|
z(x, y) |
|
задана |
|
|
неявно |
|
|
зависимостью: |
|||||||||||
|
e x2 + y +2z |
= z 2 + y − x . |
Вычислить частные производные |
∂z |
|
и |
||||||||||||||||
|
∂x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∂z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Функции u(x, y) и v(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xu − v = y |
||||||||||
8. |
заданы параметрически: |
yv − x = 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
Вычислить частные производные |
∂u |
, |
|
∂u |
, |
∂v |
и |
∂v |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
2x2 + y2 − z2 + xy − yz + 2xz = 2 в точке M 0 (1,0,0) .
10. Исследовать функцию z = x2 + xy + y2 −4ln x −10ln y на
экстремум.
11. Вычислить значения функции, заданной неявно зависимостью x2 + 2 y2 + z2 + x + y + z + x z = 0 , во всех стационарных точках.
12.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =1 − x − y
вобласти x2 + y2 ≤ 4 .
13.Из всех треугольников, имеющих данный периметр P . найти наибольший по площади.
50
Вариант 21
|
∂z |
|
∂z |
, если z = [cos(x − |
xy )]sin |
y |
− 1 arctg |
x−2 y |
. |
1. Вычислить |
и |
x |
|||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
3 |
3 x |
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = exy |
при x = 5 ± 0,1; |
y = 0 ± 0,05. |
||||||
3. Написать формулы для |
производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
|||
∂t |
∂s |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
u = ln(x2 − y2 + z) − |
1 |
sin(x + y − z2 ) , при |
x = x(t, s) , y = y(t, s), |
|||||
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
z= z(t, s) .
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u = 3cos2(xyz) − x −2z y .
|
Вычислить d 2u для функции u = (x − y) e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Вычислить y′ |
и y′′ |
для функции y(x) |
, если y = |
1 |
|
|
|
|
y |
||||||||||||
6. |
|
|
|
arctg |
|
. |
||||||||||||||||
|
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
z(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−x |
|||||||
7. |
Функция |
|
|
задана |
|
неявно |
|
|
|
зависимостью |
||||||||||||
|
cos (x − y2 + z) + x2 − z3 + y = 0. Вычислить |
|
∂z |
|
и |
∂z |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
= y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂u |
|
∂u |
|
|
∂v |
|
∂v |
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
Вычислить |
, |
, |
|
и |
, если |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂x |
|
∂x |
∂y |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z − 2x + ln xy + 1 = 0 в точке M 0 (1,1,1) .
10.Исследовать функцию z = x2 y (2 − x + y) на экстремум.
11.Вычислить значения функции z(x, y), заданной неявно
зависимостью |
x2 +4 y2 +2z2 + x − y +2 yz +1 = 0 , |
во всех |
||||
стационарных точках. |
|
|
|
|
||
12. Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
|
z = x − x2 + y2 в области x2 + y2 ≤ 9 . |
|
|
13.На гиперболе x2 − y2 = 4 найти точку, наименее удалённую от точки P(0,2).
51
|
|
|
|
|
Вариант 22 |
|
|
|
||
1. Вычислить |
∂z |
и |
∂z |
, если |
z = (sin |
y |
)ln ( x+y) |
+arcsin |
x − y |
. |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
x |
|
2 xy |
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = x2 − y2 при x = 5 ±0,1; y = 4 ±0,05 .
3. Написать формулы |
для производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
|||
∂t |
∂s |
|||||||
u = cos (yxz−x |
)−e |
x+z |
, если x = x(s), y = y(t), z = z(t, s) . |
|||||
y |
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции:
u = x2 − y3z 4 − 4xyz .
5. |
Вычислить d 2u для функции u = cos2(x − 2y) . |
|
||||||||||||||
6. |
Вычислить |
y′ |
|
и |
y′′для |
функции |
|
y(x), заданной неявно: |
||||||||
|
y = 3 x − y e |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Функция z(x, y) задана неявно: ln(x + 2y − z) = x + 3y − 2z 2 . |
|||||||||||||||
|
Вычислить частные производные |
∂z |
и |
∂z |
. |
|
||||||||||
|
∂x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
||
|
|
∂u |
|
|
|
∂u |
|
∂v |
|
∂v |
|
|
cos(u − x) = 2 y |
|
||
8. |
Вычислить |
, |
|
, |
и |
, если |
|
|
|
. |
||||||
|
|
∂x |
|
∂y |
∂x |
|
∂y |
|
|
sin(vy) = x |
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением x2 + y2 + z 2 − 3 = 0 в точке
M0 (1,1,1) .
10.Исследовать функцию на экстремум z = 2x2 − x +( y +1)2 .
11.Вычислить значения функции z(x, y), заданной неявно
зависимостью |
x2 + 2 y2 + z2 − x + y + yz + 2 = 0 , во всех |
стационарных точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z= 5x − 3y в области y ≥ x , y ≥ −x , y ≤ 4 .
13.В эллипс x2 + 3y2 =12 вписать равнобедренный треугольник с
основанием, параллельным большой оси эллипса так, чтобы площадь треугольника была наибольшей.
52
Вариант 23
|
∂z |
|
∂z |
|
x |
sin ( xy) |
|
1 |
|
x+ y |
|
|
1. Вычислить |
и |
, если z = tg |
|
− |
arccos |
|
|
. |
||||
|
∂x |
|
∂y |
|
y |
4 |
|
2 3 |
y |
|
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = y ln |
x |
при x =1 ± 0,05 ; y = e ± 0,1 |
|||||||||
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Написать формулы |
для |
производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
|||||
∂t |
∂s |
||||||||||
|
|
sin(y+z x |
)+ z ln( |
|
|
|
|
|
|||
u = |
1 |
x − |
|
y ) при x = x(s) , y = y(t, s), z = z(t) . |
|||||||
4 |
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции:
u = z yx − sin( y x − z) .
5. |
Вычислить d 2u для функции u = 1 sin 2 |
(xy) . |
||||||||||||||||
|
|
|
y′ |
|
|
|
y′′ |
|
|
|
3 |
|
y(x), заданной неявно: |
|||||
6. |
Вычислить |
|
и |
|
для |
функции |
||||||||||||
|
y = x y tg |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Функция z(x, y) |
|
задана |
неявно: |
3x − y + z = 4x + y2 −2z . |
|||||||||||||
|
Вычислить частные производные |
∂z |
и |
∂z |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
∂u |
|
|
∂u |
|
|
∂v |
|
|
∂v |
|
|
|
u − xv = 2 |
|||
8. |
Вычислить |
, |
|
, |
|
и |
, если |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∂x |
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
v + yu = 3 |
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x(x − y) + y(x − z) + z(x + y) −2 = 0 в точке M0 (1,0,1).
10.Исследовать функцию z = y2 +3x2 + y − x на экстремум.
11.Вычислить значения функции z(x, y), заданной неявно
зависимостью |
x2 + y2 +3z2 + x + y − xz + 4 = 0 , |
во |
всех |
||||
стационарных точках. |
|
|
|
|
|
||
12. Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
|
функции |
|
z = 2x2 + y2 −4x + y |
в области x2 + 4 y2 ≤ 4 . |
|
|
13. На параболе y 2 = 4x найти точку, наименее удалённую от прямой x − y + 4 = 0.
53
Вариант 24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y |
ln |
|
|
y − x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. Вычислить |
∂z |
и |
∂z |
, если |
z = (ctg |
) |
|
x − |
1 |
arcsin |
. |
|||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
2x |
|
|
2 |
|
2x |
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
|
значения функции z = ex cos y |
при x =1 ±0,05,; y = |
π |
±0,01. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
∂u |
|
|
|
||
3. |
Написать |
формулы |
|
для |
|
|
производных |
|
|
|
и |
|
|
для |
функции |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂t |
∂s |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u = x cos( yz) − 1 arctg |
|
|
|
|
если x = x(t), y |
= y(t, s),z = z(s) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
x−y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
Вычислить все частные производные второго порядка для функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u = (cos z)xy − |
1 |
|
|
|
x−y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Вычислить d 2u для функции u = (x + y) e |
2y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить |
|
y′ |
|
|
и |
|
y′′ |
для |
функции |
|
y(x), |
заданной |
неявно: |
|||||||||||||||||||||||
|
y = 3x2 sin ( yx) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Функция |
|
z(x, y) |
|
задана |
неявно. ln ( y − x + z) = 5x + y −2z |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычислить частные производные |
∂z |
и |
|
∂z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(xu) = 3y |
|
|
|
||||||||||||
8. |
Вычислить |
|
∂u |
|
|
∂u |
|
|
∂v |
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
, |
|
, |
|
и |
|
|
, если |
v |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
y |
= x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
x2 + 2 y2 + 3z2 + 2xy + 2xz + 4 yz = 6 в точке M0 (1,0,1) .
10.Исследовать функцию z = ex−2 y (2x + y) на экстремум.
11.Вычислить значения функции z(x, y), заданной неявно
зависимостью 3x2 + 2y2 + z 2 + z + xy + yz + 3 = 0, |
во всех |
||||
стационарных точках. |
|
|
|||
12. Найти |
наибольшее |
и наименьшее значения |
функции |
||
z = |
1 |
x2 |
− y2 +5x − y |
в области 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤1. |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
13.Какой сектор следует вырезать из круга радиуса R , чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости.
54
Вариант 25
1. Вычислить частные производные
z = (cos(1 − xy))tg( xy) −arctg |
xy |
. |
|
2x−3y |
|||
|
|
∂∂xz и ∂∂yz для функции
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения |
|
функции |
z = 2x2 −3y2 +3 , |
|
при |
x = 3 ±0,1 , |
||||||||||
y = 2 ±0,2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Написать |
|
формулы |
для производных |
∂u |
|
и |
|
∂u |
|
для функции |
||||||
∂t |
∂s |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u = |
1 |
tg ( |
z |
)−( |
1 |
) |
z2 −x |
x = x(t, s), y = y(t, s), z = z(t) . |
||||||||
y |
||||||||||||||||
y |
x |
2 |
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
|
u = 2x |
sin |
y |
|
|
|
|
y −3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Вычислить d 2u для функции u = (2x + y) cos(xy) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить y′ |
и y′′ |
для функции y(x), если y = |
2 |
arcctg |
|
x |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
1−y |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
7. |
Функция |
z(x, |
y) |
задана |
неявно |
|
1 |
|
|
= x2 − y − z . |
Вычислить |
||||||||||||||||||||
5z−y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
частные производные |
|
и |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u−x |
= 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
∂u |
|
|
|
∂v |
|
|
|
∂v |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
Вычислить |
, |
|
, |
|
|
и |
|
, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
vy |
= x −u |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
|
|
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1 в точке M |
0 |
(0,0,4). |
|
|
4 |
|
16 |
|||||||
|
9 |
|
|
|
|
|||||
10. |
Исследовать функцию z = y 2 + x 2 − xy +2x − y на экстремум. |
|||||||||
11. |
Вычислить |
значения |
функции z(x, y), заданной зависимостью |
x2 +4 y2 +2z2 + x − y + z +2 = 0 , в стационарных точках.
12.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 4 −3x +2 y в области x2 + y2 ≤ 9 .
13.Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершённый сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объём его равен V .
55
Вариант 26
1. Вычислить |
∂z |
и |
∂z |
, если |
z = (ln(x − y))tg |
y |
− |
1 |
arctg |
x−y |
. |
x |
|||||||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
2 |
|
y |
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = sin x cos 2y при x = π2 ±0.05, y = π6 ±0.1 .
3. Написать формулы для производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
∂t |
∂s |
u= e2 y−x +cos z−x , если x = x(t, s) , y = y(t) , z = z(s) . z y
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u= (xy) − .2z−ytg
|
1−x |
x |
|
|
|
|
5. |
Вычислить d 2u для функции |
u = (3x − 2y) sin(x − y) . |
||||
6. |
Вычислить y′ и y′′ |
для функции y(x), если y = y − x sin (xy) . |
||||
7. |
Функция |
z(x, y) |
задана |
неявно: cos (x − y2 + z) = ( |
1 |
)x +z |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
Вычислить частные производные ∂∂xz и ∂∂yz .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux + vy = 0 |
||||
|
∂u |
|
∂u |
|
∂v |
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
8. Вычислить |
, |
, |
и |
, если: |
u |
+ |
v |
=1 |
|||||
|
∂x |
∂y |
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением |
1 |
( x + y + z ) =1 в точке |
|
3 |
|
M0 (1,1,1).
10.Исследовать функцию z = y2 x3(4 − y − x) на экстремум.
11.Вычислить значения функции z(x, y), заданной неявно
|
зависимостью |
2x2 + y2 + 3z 2 + y − xz + yz − 4 = 0, |
во всех |
||
|
стационарных точках. |
|
|
|
|
12. |
Найти наибольшее и |
наименьшее |
значения |
функции |
|
|
z = 2x2 + 4y2 − xy в области 0 ≤ x ≤ 1 , −1 ≤ y ≤ 0. |
|
|||
13. |
На параболе |
y = 2x2 + 1 |
найти точку, |
наименее удалённую от |
|
|
точки P(10, 0). |
|
|
|
56
Вариант 27
|
∂z |
|
∂z |
|
x ln ( x3 |
−y3 ) |
|
|
1. Вычислить |
|
и |
|
, если z = ctg |
|
|
− arccos 1 |
+ xy . |
∂x |
∂y |
|
||||||
|
|
|
y |
|
|
|
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = x y , если x = 3 ±0,1, |
y = 2 ±0,4 . |
|||||||||
3. Написать формулы для |
производных |
∂u |
и |
∂u |
для функции |
|||||
∂t |
∂s |
|||||||||
|
sin(2x−y) |
|
3z |
|
|
|
|
|
|
|
u = |
−2 y−x , если |
x = x(t, s) , y = y(t, s) , |
z = z(t) . |
|||||||
z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
|
u = x cos( yz2) − |
|
|
x −2y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
z |
|
|
|
|
|
|
)(x2 |
|
|
||||
5. |
Вычислить d 2u для функции u = cos(y |
− y2 ). |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
6. |
Вычислить |
y′ |
и |
|
y′′ |
|
для функции y(x), заданной неявно |
|||||||||||||
|
y = exy x2 + 2 y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
Функция z(x, y) задана |
неявно:. ln( y − z − 2x) = x − y2 + 3z . |
||||||||||||||||||
|
Вычислить частные производные |
∂z |
и |
∂z |
. |
|
|
|||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
||||
|
|
∂u |
|
∂u |
|
∂v |
|
|
∂v |
|
|
sin(xv) |
= 1 + y |
|
||||||
8. |
Вычислить |
, |
, |
и |
, если: |
|
= v − x |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∂x |
∂y |
∂x |
|
∂y |
cos(uy) |
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением x2 + y2 + z 2 − xy = 1 в точке
M0 (1,1,0).
10.Исследовать функцию z = x3 + y3 − 6xy на экстремум
11.Вычислить значения функции z(x, y), заданной неявно
зависимостью x2 + y2 + z2 +8xz − z + 4 = 0 , в стационарных
точках.
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z= 10 − x − y в области x2 + y2 ≤ 64 .
13.Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.
57
Вариант 28
|
∂z |
|
∂z |
|
y cos( xy) |
|
1 |
|
x |
|
|
||
1. Вычислить |
|
и |
|
, если z = tg |
|
|
− |
|
arcctg |
|
|
|
. |
|
∂x |
|
∂y |
|
x |
|
4 |
|
1− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = ctg x − tg y , при |
x = |
|
π |
±0.01, |
y = |
π |
±0.1 |
|||||||
4 |
4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Написать |
формулы |
для производных |
|
∂u |
|
|
и |
∂u |
для |
|
функции |
|||
|
∂t |
|
|
∂s |
|
|
||||||||
u = |
z2 |
−ez −x + y |
, если x = x(s), |
y = y(t), |
z = z(t, s) |
|||||||||
cos(xy) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
|
u = z 2 sin (y |
) |
− 3 1 − xyz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2y2 ). |
|
|
|||||
5. |
Вычислить d 2u для функции u = e x − y |
|
|
|||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить |
|
y′ |
|
и |
y′′ |
для |
функции |
|
y(x), заданной |
неявно |
|||||||||||||
|
y = sin(xy) |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
Функция |
z(x, y) |
задана |
неявно: |
|
ln( y − z 2x) = |
|
1 |
. |
|||||||||||||||
|
z − y +4x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить частные производные |
∂z |
и |
∂z |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uy − vx = 1 |
|
|
|||||||
|
|
∂u |
|
|
∂u |
|
∂v |
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Вычислить |
, |
|
, |
и |
, если: |
|
u |
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∂x |
|
∂y |
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
− e |
|
= x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
v |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
xx
=e y + e z − y в точке M0 (0,1,1).
10. |
Исследовать функцию |
z =1 − x2 + y2 на экстремум. |
|
|||
11. |
Вычислить |
значения |
функции |
z(x, y), заданной |
неявно |
|
|
зависимостью |
2x2 + 2 y2 + z2 + 6 yz − z + 6 = 0 . |
во |
всех |
||
|
стационарных точках. |
|
|
|
z(x, y). |
|
12. |
Найти наибольшее и наименьшее значения функции |
|||||
|
заданной |
неявно |
z + 2 = x2 − 5y2 , |
в |
области |
0 ≤ x ≤ 2, y − x ≤ 0.
13. В шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объёма.
58
|
|
|
|
Вариант 29 |
|
|
||
1. Вычислить |
∂z |
и |
∂z |
, если z = (ln(x2 − y2 ))sin xy+ |
1 |
arccos |
y |
. |
|
∂x |
|
∂y |
2 |
|
x−y |
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = ln |
x |
|
, при |
x = e ± 0,1; |
y =1 ± 0,01. |
|
||||||
y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Написать формулы |
для |
производных |
∂u |
и |
∂u |
функции |
||||||
∂t |
∂s |
|
||||||||||
u = |
1 |
ln(x − y + z2 ) + sin(x+2 y) |
, |
|
|
|
|
при |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
x= x(t), y = y(t, s), z = z(t, s) .
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u = cos(xy − z 2) − |
x |
. |
|
||
|
y −z2 |
5.Вычислить d 2u для функции u = sin(xy )(x2 + y2 ).
6. |
Вычислить y′ |
и y′′ |
для функции y(x), если y = 2xy x2 − y2 . |
|||||||
7. |
Функция |
z(x, |
y) |
задана |
неявно |
|
|
зависимостью |
||
|
cos( y + 2x −3z) = x2 + y2 + z2 . Вычислить |
∂z |
|
и |
∂z |
. |
||||
|
∂x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (xu) |
|
|
∂u |
|
∂u |
|
∂v |
|
∂v |
|
|
|
8. Вычислить |
, |
, |
и |
, если: |
|
|||||
∂x |
∂y |
∂x |
∂y |
|||||||
|
|
|
|
|
sin ( y − |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= vy v) = ux .
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
|
x2 + y2 + xy − yz + z2 + xz = 3 |
в точке M0 (1,1,0). |
10. |
Исследовать функцию z = e x +2y (x2 − xy + 2y2) на экстремум. |
|
11. |
Вычислить значения функции |
z(x, y), заданной зависимостью |
x2 + y2 +4z2 +4xz −2z +2 = 0 , в стационарных точках.
12.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x, y), заданной неявно z −4 = 5x + 4 y , в области x2 + y2 ≤ 4 .
13.В прямой круговой конус с углом 2α в осевом сечении и радиусом основания R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
59
Вариант 30
1. Вычислить |
∂z |
и |
∂z |
, если z = [cos(xy)]ln |
x2 −y2 − 1 tg |
x − y |
. |
|
∂x |
|
∂y |
|
3 |
xy |
2.Оценить абсолютную и относительную погрешности при вычислении
значения функции z = sin x +cos y , при x = |
π |
±0.1 , |
y = |
π |
±0.2 . |
|||||||||||
6 |
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂u |
|
|
|||||
3. Написать формулы для |
производных |
|
и |
для |
функции |
|||||||||||
∂t |
|
|
∂s |
|
||||||||||||
u = |
1 |
ex−y+z2 |
+cos |
z−x |
|
, если x = x(t, s) , |
y = y(s) , |
z = z(t) . |
||||||||
|
2 y |
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислить все частные производные второго порядка для функции
u = x3−yz2 −sin2 (xyz) .
5. |
Вычислить d 2u для функции u = e2x−3y (x −4 y) . |
|
|||||||||||||||||||
6. |
Вычислить |
y′ |
и |
y′′ |
для функции y(x), |
заданной неявно |
|||||||||||||||
|
y = |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
arctg |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
Функция z(x, y) |
задана неявно |
z = y −2x +sin(zx) . Вычислить |
||||||||||||||||||
|
частные производные |
∂z |
|
и |
∂z |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
∂u |
|
|
∂u |
|
∂v |
|
|
|
∂v |
|
|
uy −vx = 2 |
|
|
|||
8. |
Вычислить |
, |
, |
и |
|
, если |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
∂x |
|
∂y |
cos (ux) = sin(vy) |
|
9.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
ln (x2+zy )+ z − y = 0 в точке M 0 (1,1,1).
10. |
Исследовать функцию z = 3y2 + (2x −1)2 на экстремум/ |
|
||||||
11. |
Вычислить |
значения |
функции |
z(x, y), заданной |
зависимостью |
|||
|
2x2 + 2 y2 + z2 + 4xz + z −2 = 0 , в стационарных точках. |
z(x, y), |
||||||
12. |
Найти |
наибольшее |
и наименьшее значения |
функции |
||||
|
заданной |
неявно |
z + 1 = x2 + x + y2 − 4y , |
в |
области |
|||
|
−1 ≤ x ≤ 0 , y − x ≤ 1 . |
суммы m -й |
|
n -й |
|
|||
13. |
Найти |
наименьшее |
значение |
и |
степеней |
|||
|
(m > 0, n > 0) двух положительных чисел, произведение которых |
постоянно и равно a .
60