Задача 8

заданной системы следует:

1.Последовательно продифференцировать оба уравнения системы по переменной x , а затем по переменной y .

приложение).

Решение задачи

1.Продифференцируем оба уравнения системы по переменной x .

2. Теперь продифференцируем оба уравнения системы по

∂u

переменной y . Получим систему относительно неизвестных ∂y

∂v

и ∂y .

13

3.Для решения полученных систем используем формулы Крамера. Определители этих систем равны и вычисляются по правилу

Вспомогательные определители первой системы равны

Теперь найдем решение первой системы, используя формулы Крамера

14

Полученные формулы для частных производных имеют смысл при x2 + y2 ≠ 0 . В точке (0, 0) функции u (x, y ) и v (x, y ) не

дифференцируемы.

Задача 9.1

Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением

Задача 9.2

Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением

x2 − y2 + 4z2 + 2xy − yz − 2 = 0 в точке M0 (1, −1, −1).

Справочный материал

Если поверхность задана явным уравнением z = f (x, y), то уравнения касательной плоскости и нормали к этой поверхности в точке M0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) имеют вид:

z= z0 + ∂∂xz (x0 , y0 )(x − x0 )+ ∂∂yz (x0 , y0 )(y − y0 )

-уравнение касательной плоскости;

-канонические уравнения нормали.

Вэтих уравнениях z0 = f (x0 , y0 ) - значение функции f (x, y) в

точке касания.

Если поверхность задана неявно зависимостью F(x, y, z)= 0 , то

15

- уравнение касательной;

Решение задачи 9.1

Поверхность задана явным уравнением z = f (x, y). Частные производные имеют вид

Решение задачи 9.2

Поверхность задана неявно уравнением F(x, y, z)= 0 , где

F (x, y, z)= x2 − y2 + 4z2 + 2xy − yz − 2 .

Частные производные имеют вид

16