Функция

f2 (x, y)= 3 ln5 (1 − x3 y3 )

симметрична относительно

своих переменных. Поэтому производную

∂f2

можно получить из

∂y

производной

∂f2

, заменив в ней x

на y , а y

на x .

∂x

1

(−3x3 y2 ).

∂f2 = 5 ln 3 (1 − x3 y3 )

2

∂y

3

1 − x3 y3

Складывая

∂f1

и

∂f2

, получим

∂y

∂y

∂f

tg2

y

ln(cos xy )

1

− y

= e

y

ln cos

xy +

∂y

x

2 tg

2 y

2

x

cos

x

x

+ tg

2 y

1

(−sin

xy )

x

1

+

x

cos

xy

2

y

+

5 ln

1

3

(1 − x3 y3 )

(−3x3 y2 ).

2

3

1 − x3 y3

Задача 2

Оцените абсолютную и относительную погрешности при

вычислении значения функции

z =

x3 + y

в точке

(x, y), если

x =1 ± 0,03 ,

y = 3 ± 0,07 .

Справочный материал

Модуль абсолютной погрешности

при вычислении значения

функции z0 = f (x0 , y0 ),

если

значения

аргументов

x0 и y0

вычислены с

погрешностями

x

и

y ,

не

превосходит модуля

≤

∂z

(x0 , y0 )

x

+

∂z

(x0 , y0 )

y

.

∂x

∂y

Относительная

погрешность

ε

равна отношению модуля

абсолютной погрешности к истинному значению функции z0 , т.е.

ε =

или в процентах ε =

100% .

z0

z0

Решение задачи

Поскольку

x0 =1,

y0 = 3 ,

x

= 0,03,

y

= 0,07 ,

то,

вычислив

∂z

= 3x2

,

∂z

(1; 3)=

3

,

∂x

∂x

4

2

x3 + y

∂z

=

1

,

∂z

(1; 3)=

1

,

∂y

x3 + y

∂y

4

2

получим оценку для абсолютной погрешности.

≤

3

0,03 + 1

0,07 = 0,04 .

4

4

Поскольку

z0 = f (x0 , y0 )=

13 +3 = 2 ,

то

относительная

погрешность ε =

≤

0,04 100% = 2% .

z0

2

Задача 3

Написать формулы для производных ∂u

и

∂u

для функции

∂t

∂s

u = arctg x + y +

x2 + y2 cos z , если x = x (s),

y = y (t, s), z = z (t) .

z

Справочный материал

u = u(x, y, z),

Если задана функция

трех

переменных

а

переменные x, y и z являются

функциями

независимых

переменных t и s , т.е. x = x(t, s),

y = y(t, s),

z = z(t, s), то

Поскольку

∂u

=

1

2

1

+ cos z

1

2x ,

∂x

1 +

x+ y

z

2

x

2

+ y

2

z

∂u

=

1

2

1

+ cos z

1

2 y ,

∂y

1 +

x+ y

z

2

x

2

+ y

2

z

∂u

=

1

x + y

x2 + y2 sin z ,

∂z

x+ y 2

−

z2

−

1 +

z

∂x

= 0,

∂z

= 0 , то

∂t

∂s

∂u

1

1

y

∂y

=

2

+ cos z

+

∂t

1 +

x+ y

z

x

2

+

y

2

∂t

z

1

x +

y

x2

+ y2

dz

.

+

x+ y 2

−

z2

−

sin z

dt

+

1

z

∂u

1

1

x

dx +

=

+ cos z

∂s

x+ y 2

z

x

2

+ y

2

ds

1 +

z

1

1

y

∂y .

+

+ cos z

x+ y 2

z

x

2

+ y

2

∂s

1 +

z

Задача 4

Найти

все

производные

второго

порядка

для

функции

u = x3 y3z4 + z2 y2 x4 +sin(x + y − 2z).

Справочный материал

Для функции трех переменных

u = u(x, y,

z)

определены три

частные производные первого порядка

∂u

(x, y, z), ∂u

(x, y, z) и

∂x

∂y

∂u (x, y, z)

,

которые

в свою

очередь

являются

функциями

∂z

x,

y и z . Следовательно, каждую из них можно снова

переменных