9027

Аналогично, после выполнения поворота системы координат на угол j = 900 уравнение

y2 x2 1 b2 a2

Оно определяет гиперболу, вершины и фокусы которой лежат на оси Oy . Эта гипербола называется

сопряжённой по отношению к гиперболе (2.2). Асимптоты у этих гипербол одни и те же (рис. 2.23).

Рис. 2.23

50

Для знакомого уравнения параболы y = x2 выполним тот же поворот на угол j = 900 (рис. 2.24) и

получим в новых координатах уравнение xў= yў2 ,

соответствующее тому выбору осей, который использовался ранее при выводе канонического уравнения.

Рис. 2.24

каноническому виду рассмотрим поворот на угол

преобразования, получим в новой системе координат каноническое уравнение равносторонней гиперболы

xў2 - yў2 = 1. Её асимптотами являются исходные оси

6 6

координат O x и Oy (рис. 2.25).

51

Рис. 2.25

После проделанной работы мне захотелось понять, имеет ли какую-либо математическую трактовку моё интуитивное представление об эллипсе как о «смятой» окружности. Можно ли деформировать кривые, описывая это формулами?

Все рассмотренные ранее преобразования не искажают фигуру. А мне нужно было сжать окружность. Для этого могли помочь преобразования, не сохраняющие углы и расстояния между точками. В частности, формулами

при 0 < k < 1 задаётся сжатие, а при k > 1 - растяжение. Прямолинейность при этом сохраняется. Например, после преобразования

уравнение 2x + y = 6 приобретает вид xў+ yў= 3 . И то, и другое — уравнения прямой.

Применим преобразование сжатия к окружности

предположения подтвердились.

Аналогичным преобразованием можно любой эллипс растянуть в окружность.

53

ГЛАВА 3

БУТЫЛКА НА ЯЗЫКЕ ФОРМУЛ или

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

3.1. Следующий шаг к решению исходной задачи представляет собой переход к аналитической геометрии в пространстве. Если здесь задана прямоугольная декартова система координат, то положение любой точки однозначно определяется тремя числами - её координатами. Начнём с самого простого: рассмотрим линейное уравнение, включающее три текущие координаты x y и z :

Оно задаёт в пространстве плоскость и называется

общим уравнением плоскости. Коэффициенты

уравнения представляют собой координаты вектора ur

N = {A; B;C}, перпендикулярного к плоскости и

(рис. 3.1).

55

Cz + D = 0 – параллельна ей. Аналогично – при двух других нулевых коэффициентах перед переменными

(рис. 3.3).

56

Рис. 3.3

58

Если в уравнении (3.1) D = 0 , то оно задаёт плоскость, проходящую через начало координат. Для её построения достаточно рассмотреть прямые, которые получаются при пересечении плоскости с координатными плоскостями (рис.3.4).

Рис. 3.4

Допустим, что нулевыми оказываются коэффициент при одной из переменных и свободный коэффициент. Например, A = D = 0 . В этом случае уравнение (3.1) приобретает вид By + Cz = 0 и задаёт

плоскость, проходящую через ось Ox . Для её построения достаточно добавить ещё одну прямую – например, линию пересечения плоскости с координатной плоскостью yOz . При B = D = 0 или

C = D = 0 ситуации аналогичны (рис. 3.5).

59