9027

Интересно, что гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, является линейчатой поверхностью – его можно сформировать из прямых

(рис. 3.33).

Рис. 3.33

Гиперболический параболоид с уравнением (3.8) имеет две системы прямолинейных образующих, определяемых уравнениями

Поверхность гиперболического параболоида можно также получить «механическим» образом. Пусть

одна парабола z x2 расположена в плоскости xOz , а другая парабола z y2 – в перпендикулярной ей

90

плоскости yOz . «Заставим» теперь нижнюю параболу скользить вершиной по верхней параболе, перемещаясь параллельно плоскости yOz . Эта скользящая парабола и образует гиперболический параболоид (рис. 3.34).

Рис. 3.34

3.10. Завершим обзор поверхностей второго порядка полной их классификацией. Всякое уравнение второго порядка в пространстве с помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат может быть приведено к одному из видов, соответствующих рассмотренным поверхностям:

91

3.11. Наиболее интересные задачи, связанные с разобранными вопросами, - это получение формы тел при пересечении нескольких поверхностей. Рассмотрим для примера процесс построения тела, сформированного пересечением поверхностей, заданных уравнениями

Уравнение (3.9) определяет в пространстве эллипсоид вращения с полуосями a 3, b c 2 . Его общий вид изображен на рисунке 3.19. Уравнение (3.10) задаёт параболоид вращения, который, в отличие от изображённого на рисунке 3.29, симметричен относительно оси Ox . Здесь параболы получаются в сечениях координатными плоскостями xOz и xOy

(рис. 3.35), а в сечениях плоскостями x h , если h 0 - окружности (рис. 3.36).

Поскольку ось Ox является осью вращения и для

параболоида и эллипсоида совпадут, то есть поверхности пересекутся. Для этого выразим из (3.10) y2 z2 109 x и подставим в (3.9): 2x2 5x 18 0 .

Из двух решений квадратного уравнения оставляем положительное x 2 .

93

Рис. 3.35

Рис. 3.36

94

Итак, эллипсоид и параболоид пересекутся при x 2 по окружности с уравнением y2 z2 209 .

Можно изобразить пересечение поверхностей в координатной плоскости xOz (рис. 3.37) – это парабола

Рис. 3.37

Обе поверхности можно теперь построить в одних координатных осях (рис. 3.38) и изобразить вид тела, получающегося при их пересечении (рис. 3.39).

Перейдём к следующей задаче. Построим тело на пересечении параболоида вращения с уравнением

y 2 . Как обычно, формируем сечениями указанные поверхности: рис. 3.40, рис. 3.41

95

Рис. 3.38

Рис. 3.39

96

Рис. 3.40

Рис. 3.41

97

Рис. 3.42

На пересечении поверхностей прорисовывается тело (рис. 3.42), форму которого можно уточнить,

параболоиду (рис. 3.43).

Ещё один пример - задача получения формы тела на пересечении двух параболических цилиндров с

уравнениями z 4 y2 и y x2 , срезанных

2

координатной плоскостью xOy .

98

Рис. 3.43

Образующие первого цилиндра параллельны оси Ox , второго – оси Oz . Изобразим для начала параболы,

получающиеся в сечениях цилиндров координатными плоскостями (рис. 3.44).. В координатной плоскости

получающегося тела остаётся часть параболы z 4 y2 от вершины K (0;0; 4) до точки P(0;2;0) . Окончательную форму тела изображаем рисунком 3.45.

99