9027
.pdfбыть меньше расстояния между точками F1 и F2 : MF1 MF2 F1F2 . Будем предполагать, что это неравенство строгое, то есть 2a 2c , или a c .
Для получения уравнения необходима система координат. В качестве оси абсцисс мы возьмём прямую, проходящую через точки F1 и F2 , считая её
направленной от F1 к F2 ; начало координат поместим в середине отрезка F1F2 (рис. 2.4).
20
В этой прямоугольной декартовой системе
координат |
для произвольной |
точки |
M |
эллипса |
||
координаты |
обозначим |
через |
x и |
y . |
Фокусы, |
|
оказавшись теперь на оси Ox |
симметрично |
|||||
относительно |
начала, |
будут |
иметь |
координаты |
||
F1 c;0 , |
F2 |
c;0 . Чтобы получить теперь уравнение |
эллипса, нужно в записи его определения заменить расстояния MF1 и MF2 между точками их выражениями через координаты:
x c 2 y2 x c 2 y2 2a .
По существу, это соотношение представляет собой уравнение эллипса. Ему удовлетворяют координаты точек в том и только том случае, когда точки лежат на эллипсе. Но для практического использования в таком виде уравнение неудобно. Попробуем преобразовать его. Для этого сначала уединим в уравнении первый радикал
x c 2 y2 2a x c 2 y2 .
Возведём в квадрат обе части полученного равенства
x c 2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x c 2 y2 ,
раскроем скобки и после сокращения получим
a x c 2 y2 a2 cx .
21
Возведя в квадрат обе части последнего равенства, найдём
a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 a4 2a2cx c2 x2 ,
откуда |
a2 |
c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 . |
|
|
Мы отмечали, что a c , значит a2 |
c2 0 , и |
|
можно |
ввести |
в рассмотрение новую |
величину |
b a2 c2 , чтобы придать уравнению другой вид:
b2 x2 a2 y2 a2b2 .
При этом получается |
b a . Разделив |
обе части на |
||||
a2b2 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
1. |
|
(2.1) |
|
a2 |
b2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Особенностью уравнения является то, что оно
содержит x |
и y |
только в чётных степенях, |
поэтому |
|
если точка |
x, y принадлежит |
эллипсу, |
то ему |
|
принадлежат |
и |
точки x; y , |
x; y , x, y . |
Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ox и O y , также относительно начала координат.
Оси симметрии эллипса называются его осями, а точка пересечения осей – центром эллипса.
22
Точки, в которых эллипс пересекает свои оси,
называются |
его |
вершинами. |
Положив |
|
y 0 |
в |
||||
уравнении |
(2.1), |
найдём |
две |
вершины |
|
A1 a;0 |
и |
|||
A2 a;0 на оси Ox . Положив x 0 , |
найдём две точки |
|||||||||
пересечения эллипса с осью |
O y : B1 0; b и B2 0;b |
|||||||||
(рис. 2.5). |
Итак, эллипс |
имеет |
четыре |
вершины |
||||||
A1, A2 , B1, B2 , которые ограничивают на осях отрезки |
||||||||||
A1 A2 2a |
и B1B2 2b |
(эти |
отрезки |
тоже |
принято |
|||||
называть осями эллипса). Числа a |
и |
b |
называются |
|||||||
соответственно большой и малой полуосями эллипса. |
|
Исследовав форму эллипса путём анализа его канонического уравнения, можно теперь непосредственно построить в первой четверти график
|
b |
|
|
|
|
функции y |
|
a2 x2 и, отразив его симметрично |
|||
a |
|||||
|
|
|
|
относительно осей координат, получить овальную замкнутую кривую, изображённую на рисунках 2.3, 2.4 и 2.5. Отметим, что при этом все точки эллипса лежат
23
внутри прямоугольника, образованного прямыми x a , x a , y b , y b .
Введём ещё одну величину, характеризующую форму эллипса. Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине его большой оси называется
эксцентриситетом |
|
|
эллипса: |
|
|
|
|
c |
. |
|
|
Величина |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
эксцентриситета |
|
0 1, |
|
так |
как |
|
|
a c 0 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
c2 |
|
|
a2 b2 |
|
b 2 |
|
||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
то |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b 2 |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
Видим, |
что |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
эксцентриситет определяется |
|
|
соотношением |
осей |
||||||||||||||||||||||
эллипса. |
В |
случае |
|
|
0 |
(если |
|
a b ) |
эллипс |
превращается в окружность с уравнением x2 y2 a2 . Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше
отношение b и тем больше эллипс вытянут. a
Уравнение эллипса (2.1), как и уравнение окружности, является уравнением второго порядка. Предполагая в дальнейшем использование других видов кривых второго порядка, перейдём к их рассмотрению.
2.3. Логика рассуждений для изучения новой линии будет прежней. Начинаем с определения, не зависящего от системы координат.
Пусть даны точки F1 и F2 на плоскости. Множество всех точек M , разность расстояний от которых до F1 и F2 есть величина постоянная, называется гиперболой.
24
Указанная разность берётся по абсолютному
значению и обозначается 2a . Точки F1 |
и |
F2 |
|||
называются |
фокусами |
гиперболы. Как и |
ранее, |
||
2c F1F2 |
– расстояние между фокусами. |
Таким |
|||
образом, если точка M гиперболы находится ближе к |
|||||
фокусу F2 , |
выполняется равенство |
F1M F2 M 2a , а |
|||
если M |
находится |
ближе к |
фокусу |
F1 , |
то |
F2 M F1M 2a (рис. 2.6).
Рис. 2.6
Из рассмотрения суммы сторон треугольника
MF1F2 видим, |
что |
MF1 MF2 F1F2 |
и |
||
MF2 MF1 F1F2 . |
Поэтому, в |
зависимости |
от |
||
расположения M |
по |
отношению к |
фокусам, |
||
MF1 MF2 F1F2 |
или |
MF2 MF1 |
F1F2 . |
В наших |
обозначениях получаем 2a 2c , или a c .
Для получения уравнения вводим систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2 (рис.2.7). В этой системе координаты произвольной точки M обозначим x и y , а координаты фокусов будут соответственно: F1 c;0 , F2 c;0 .
25
Рис. 2.7
Заменив расстояние F1M и F2 M между точками их выражениями через координаты, получим
x c 2 y2 x c 2 y2 2a .
Это уравнение, как и для эллипса, приводится для удобства к другому виду. Перенесём второй радикал в правую часть и возведём в квадрат обе части уравнения
x c 2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x c 2 y2 ,
раскроем скобки и после сокращения получим
xc a2 a x c 2 y2 .
Снова возводим в квадрат и сокращаем подобные слагаемые:
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2 .
26
Учитывая, что, в отличие от эллипса, для гиперболы
a c , можно ввести |
b2 |
c2 |
a2 . Тогда |
уравнение |
||||
примет вид b2 x2 a2 y2 |
a2b2 |
или |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 |
|
|
y2 |
1. |
|
(2.2) |
|
|
a2 |
b2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.
Так как уравнение (2.2) содержит x и y только в чётных степенях, то гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно
начала координат. Оси симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы.
Положив y 0 в уравнении (2.2), найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 a;0 , A2 a;0 , которые называются вершинами гиперболы.
Если взять x 0 |
в |
уравнении |
|
(2.2), |
|
то получим |
||||
y2 b2 . |
Следовательно, с |
осью |
Oy |
гипербола |
не |
|||||
пересекается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отрезок |
|
A1 A2 2a |
|
принято |
называть |
|||||
действительной |
осью |
гиперболы |
(а |
число a |
– |
|||||
действительной |
полуосью); |
отрезок |
|
B1B2 2b , |
||||||
соединяющий точки |
B1 0; b и |
B2 0;b , называется |
||||||||
мнимой |
осью |
(число |
b |
– |
мнимой |
полуосью). |
Прямоугольник со сторонами 2a и 2b основным прямоугольником гиперболы (рис.
27
Рис. 2.8
Из уравнения (2.2) следует, что если x a , то y не имеет действительных значений, то есть, у гиперболы нет точек с абсциссами a x a . Должно
выполняться условие |
x2 |
1 или |
x a . Это означает, |
a2 |
что гипербола состоит из двух частей: её точки расположены справа от прямой x a , образуя правую ветвь, и слева от прямой x a , образуя левую ветвь.
|
|
|
Наконец, из уравнения (2.2) видно, что с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
возрастанием |
x |
|
возрастает и |
, так как разность |
||||||
|
x2 |
|
y2 |
сохраняет постоянное значение. |
||||||
|
a2 |
b2 |
|
|||||||
|
|
|
Тем самым приходим к заключению: если y 0 , |
|||||||
то точка M x; y |
при возрастании x , начиная от x a , |
|||||||||
движется |
всё время «вправо» и «вверх»; если y 0, то |
|||||||||
M x; y |
движется «вправо» и «вниз». Так образуется |
неограниченная правая ветвь. При x от значения x a получается левая неограниченная ветвь гиперболы (рис.2.9).
28
Рис. 2.9
Присмотримся внимательнее к тому, как точка M «уходит в бесконечность». В математическом анализе используется понятие асимптотического приближения какой-либо кривой Г к прямой l , называемой асимптотой этой кривой. Это понятие вводится, если возможно неограниченное удаление точки M по бесконечной ветви линии Г , при котором расстояние от точки данной кривой до этой прямой стремится к нулю (рис. 2.10).
Рис. 2.10
29